Laboratório de PDS - Sistemas LTI e Convolução Linear

Processamento Digital de Sinais Lab3 Sistemas LTI Convolução Prof Vicente I Becerra Sablón 1 1 Introdução 11 Convolução Linear Um sistema linear e invariante LTI caracterizado por uma resposta ao impulso hn a saída yn para uma entrada xn é dada pela soma da convolução definida como Se conhecermos a reposta ao impulso de um sistema por exemplo um filtro digital podemos calcular a saída yn realizando a convolução da entrada xn com a resposta ao impulso hn Exercício 1 Dadas às sequências x 3 11 7 0 1 4 2 3 n 3 h 2 3 0 5 2 1 1 n 4 Onde novamente os termos em negrito indicam a origem do eixo das abscissas a Utilize a função y convxh para calcular a convolução linear entre as duas funções Solução x 3 11 7 0 1 4 2 h 2 3 0 5 2 1 y conv x h y 6 31 47 6 51 5 41 18 22 3 8 2 Processamento Digital de Sinais Lab3 Sistemas LTI Convolução Prof Vicente I Becerra Sablón 2 As sequências podem ser vistas na Fig1 Fig 1 b Trace o gráfico de yn Observações O problema do uso da função conv é que não sabemos na resposta onde está a origem da sequência A função conv assume que as duas funções se iniciam no instante n0 Para fazer uma convolução entre sequências devemos considerar Processamento Digital de Sinais Lab3 Sistemas LTI Convolução Prof Vicente I Becerra Sablón 3 Para tanto devemos criar uma nova função convmxnxhnh esta função retorna o valor de yn function yny convmxnxhnh Modifica a função conv para o PDS yny convmxnxhnh y resultado da convolução ny vetor posição de y x primeiro sinal com nx nx vetor posição de x h segundo sinal com nh nh vetor posição de h nyb nx1nh1 nye nxlengthx nhlengthh ny nybnye y convxh Exercício 2 Repita o Exercício 1 utilizado a função convmxnxhnh Solução x 3 11 7 0 1 4 2 nx 33 h 2 3 0 5 2 1 nh 14 y ny convm x nx h nh y 6 31 47 6 51 5 41 18 22 3 8 2 ny 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Observe que A amplitude 51 está no ponto de origem ny 0 Processamento Digital de Sinais Lab3 Sistemas LTI Convolução Prof Vicente I Becerra Sablón 4 yn Processamento Digital de Sinais Lab3 Sistemas LTI Convolução Prof Vicente I Becerra Sablón 5 Relatório LAB 2 PARTE II SISTEMAS LTI Soma da Convolução APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Apresentar um relatório contendo Titulo 1 Fundamentação Teórica 2 Procedimento e Resultados Experimentais 21 Comentar anexar os resultados dos Exercícios realizados no Laboratórios 22 Use o MATLAB para resolver os exercícios 3 e 4 Exercício 3 Usando a função convmm e as seguintes sequencias x1n un 10 un 20 x2n 2δn 2 5un 10 x3n 5un 2 6un 3 33 Mostre que a convolução linear tem as seguintes propriedades como válidas a Comutatividade x1nx2n x2nx1n b Associatividade x1nx2nx3n x1nx2nx3n c Distributividade x1nx2n x3n x1nx2n x1nx3n d Identidade xn δn n0 xn n0 Exercício 4 Usando o MATLAB e as funções e códigos dos laboratórios 1 e 2 resolva as seguintes questões da Prova 1 Questão 1 Questão 2 Questão 4 Questão 5 Questão 8 Anexe uma cópia da folha de rosto da prova assinada por você e pelo professor 3 Conclusões mencionar a referencia bibliográfica utilizada 4 Bibliografia Consultada Nota Os relatórios deverão ser apresentados completos Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 1 1 Adição de Sinais Códigos do MATLAB É uma operação sample by sample A implementação é realizada utilizando operador x1n e x2n devem ter o mesmo comprimento Não é possível usar o operador no caso de o Sequências de diferentes comprimentos o Sequencias de igual comprimento mais com amostras em diferentes posições Para ter x1n e x2n com o mesmo comprimento utilizaremos os operadores e Exercício 1 Criar uma Função para Adição de Sequências sigadd function yn sigaddx1n1x2n2 Implementa ynx1n x2n yn sigaddx1n1x2n2 y e a sequencia soma de comprimento n x1 e a primeira sequência de comprimento n1 x2 e a segunda sequência de comprimento n2 n2 pode ser diferente de n1 n minminn1minn2maxmaxn1maxn2 duração de yn y1 zeros1 lengthn inicialização y2 y1 inicialização y1findnminn1nmaxn11 x1 x1 com duração y y2findnminn2nmaxn21 x2 x2 com duração y y y1 y2 soma 2 Multiplicação de Sinais Códigos do MATLAB É uma operação sample by sample multiplicação ponto A implementação é realizada utilizando operador x1n e x2n devem ter o mesmo comprimento Não é possível usar o operador no caso de o Sequências de diferentes comprimentos o Sequencias de igual comprimento mais com amostras em diferentes posições Para ter x1n e x2n com o mesmo comprimento utilizaremos os operadores e Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 2 Exercício 2 Criar uma Função para Multiplicar Sequências sigmult function yn sigmultx1n1x2n2 Implementa ynx1n x2n yn sigmultx1n1x2n2 y e a sequencia multiplicação de comprimento n x1 e a primeira sequência de comprimento n1 x2 e a segunda sequência de comprimento n2 n2 pode ser diferente de n1 n minminn1minn2maxmaxn1maxn2 duração de yn y1 zeros1 lengthn inicialização y2 y1 inicialização y1findnminn1nmaxn11 x1 x1 com duração y y2findnminn2nmaxn21 x2 x2 com duração y y y1y2 multiplicação 3 Deslocamento de Sinais Exercício 3 Criar uma Função para realizar o deslocamento no tempo sigshift function yn sigshiftx m n0 implementa ynxnn0 yn sigshiftx m n0 n m n0 y x Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 3 4 Inversão Exercício 3 Criar uma Função para realizar a inversão Códigos do MATLAB A implementação é realizada utilizando a função fliplr x para as amostras e fliplrn para a posição das amostras function yn sigfoldxn implementa ynxn yn sigfoldxn y fliplrx n fliplrn Exercício 4 Seja xn 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 Onde o valor em negrito corresponde ao centro da sequência Utilizando as funções desenvolvidas nos exercícios 1 2 e 3 implemente e trace o gráfico das seguintes sequências a x1n 2xn 5 3xn 4 b x2n x3 n xnxn 2 Solução n 210 x 17 611 a Para gerar x1n Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 4 Códigos do MATLAB para a primeira parte da equação deslocamos xn em 5 e na segunda parte deslocamos xn em 4 e somamos ambas as partes O deslocamento e adição das partes podem ser facilmente realizados com as funções sigshift e sigadd n 210 x 17 611 x11 n11 sigshiftx n 5 x12 n12 sigshiftx n 4 x1 n1 sigadd2x11n113x12 n12 stem n1 x1 titleSequencia xlabel n ylabel x1n b Para gerar x2n Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 5 Códigos do MATLAB para a primeira parte da equação pode ser convertida em xn3 invertemos e deslocamos xn em 3 na segunda parte da equação multiplicamos xnxn2 ambas com iguais comprimentos mais com amostras em diferentes posições somamos ambas as partes a inversão deslocamento multiplicação e adição das partes podem ser facilmente realizados com as funções sigfold sigshift sigmult e sigadd x21 n21 sigfoldx n x21 n21 sigshiftx21 n213 x22 n22 sigshiftx n2 x22 n22 sigmultx n x22 n22 x2 n2 sigaddx21 n21 x22 n22 stem n2 x2 titleSequencia xlabel n ylabel x2n Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 6 5 Parte Par componente simétrica e Parte Impar componente impar de uma Sequência Qualquer sequência discreta real pode ser representada Onde a parte par ou componente simétrica é e a parte impar ou componente assimétrica Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 7 Exercício 5 Criar uma função que realize a decomposição de uma sequência em parte par e impar function xe xo m evenoddxn Real signal decomposition into even and odd parts xe xo m evenoddxn if anyimagx 0 errorx is not a real sequence end m fliplrn m1 minmn m2 maxmn m m1m2 nm n1m1 n1 1lengthn x1 zeros1lengthm x1n1nm x x x1 xe 05x fliplrx xo 05x fliplrx Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 8 Exercício 6 Seja a sequência a Decompor a sequência em parte par e parte impar Solução Códigos do MATLAB A sequência é um pulso retangular em 0 n 9 n 010 x stepseq 0010 stepseq 10010 xexom evenodd xn subplot111 subplot221 stem nx title Pulso Retangular xlabeln ylabelxn axis1010012 subplot222 stem mxe title Parte par xlabeln ylabelxen axis1010012 subplot224stem mxotitle Parte impar xlabeln ylabelxon axis1010012 0 5 10 0 02 04 06 08 1 Pulso Retangular 10 5 0 5 10 0 05 1 Pulso Retangular n xn Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 9 10 5 0 5 10 0 05 1 Parte par 10 5 0 5 10 05 0 05 Parte impar Processamento Digital de Sinais Lab2 Operações em Sequências Prof Vicente I Becerra Sablón 10 6 Relatório Lab 2 PARTE I Operações com Sequência APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Apresentar um relatório contendo 1 Título 2 Fundamentação Teórica mencionar a referência bibliográfica utilizada 3 Procedimento e Resultados Experimentais 31 Use o MATLAB para 1 Plote a seguintes sequências a xn n2 un 5 un 6 10δn 5 n 5 b xn 20 05nun 4 un 10 5 n 5 2 Seja xn 1 2 4 6 5 8 10 gere e plote as seguintes sequências a xn 3xn 2 xn 4 2xn b xn 5x5 n 4xn 4 3xn 4 Conclusões mencionar a referencia bibliográfica utilizada 5 Bibliografia Consultada Nota Os relatórios deverão ser apresentados completos Relatório Análise e processamento de sinais discretos em Matlab 1 Fundamentação Teórica O processamento de sinais discretos é uma área da engenharia que envolve a manipulação de sinais digitais para fins de análise e processamento Esses sinais podem ser obtidos de diversas fontes como sensores instrumentos imagens e outros O processamento de sinais discretos é amplamente utili zado em diversas áreas como telecomunicações processamento de imagem processamento de áudio controle de processos entre outras 1 2 3 4 5 Para a análise e processamento de sinais discretos em Matlab é possível utilizar diversas funções e ferramentas disponíveis na biblioteca de processa mento de sinais da Matlab como convolução filtragem modulação trans formada discreta de Fourier DFT entre outras 2 Construção das Rotinas nos Exercícios Neste trabalho construímos uma série de funções elementares no Matlab que usaremos para elaborar algumas questões finais Primeiramente representa remos as operações e posteriormente executaremos os tais cálculos 21 Operações do Matlab As operações que faremos no Matlab são a soma de sinais a multiplicação de sinais a translação dos sinais por um passo d a inversão da ordem e a decom posição em um sinal par e um sinal ímpar Todos os códigos correspondem a exercícios a seguir 1 Soma de Sinais a rotina para gerar o sinal que é a soma de x1n com x2n é dada por Função de gera o sinal pela soma de dois sinais anteriores x1n e x2n function yn sigaddx1n1x2n2 duração de yn n minminn1minn2maxmaxn1maxn2 1 y1 zeros1 lengthn inicialização y2 y1 inicialização k 1 for iminnmaxn if i minn1 i maxn1 y1k x1iminn11 end k k 1 end k 1 for iminnmaxn if i minn2 i maxn2 y2k x2iminn21 end k k 1 end y y1 y2 soma end 2 Produto de sinais a rotina para gerar o sinal que é o produto de x1n com x2n é dada por Função de gera o sinal pela soma de dois sinais anteriores x1n e x2n function yn sigaddx1n1x2n2 duração de yn n minminn1minn2maxmaxn1maxn2 y1 zeros1 lengthn inicialização y2 y1 inicialização k 1 for iminnmaxn if i minn1 i maxn1 y1k x1iminn11 end k k 1 end k 1 for iminnmaxn if i minn2 i maxn2 y2k x2iminn21 2 end k k 1 end y y1 y2 soma end 3 Translação d de sinal rotina para tomar um sinal n x e gerar um novo sinal porém que começa minn d e termina em maxn d é dado por implementa ynxnn0 function yn sigshiftx m n0 n m n0 y x end 4 Inversão da ordem de um sinal rotina para tomar um sinal n x e gerar um novo sinal que estará de trás para frente e é dada por implementa ynxn function yn sigfoldxn y fliplrx n fliplrn end 5 Decomposição em sinais par e ímpar rotina para tomar um sinal n x e gerar um par de sinais n1 x1 e n2 x2 pares e ímpares no sentido onde um sinal é para se xn xn e ímpar se xn xn Este código é dado por Decomposição do sinal real em uma parte par e uma parte ímpar function xe xo m evenoddxn if anyimagx 0 errorx is not a real sequence end m fliplrn m1 minmn 3 m2 maxmn m m1m2 nm n1m1 n1 1lengthn x1 zeros1lengthm x1n1nm x x x1 xe 05x fliplrx xo 05x fliplrx end 3 Procedimentos Experimentais Nesta seção vamos nos propor a resolver dois problemas dados por 1 Plote a seguintes sequências a xn n2 un 5 un 6 10 δn 5 n 5 n 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 u5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 delta 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 nn sigmultnnnn w sigaddu5nu6n P1 sigmultnnnwn P1T1 sigmultnnnwn P2T2 sigaddP1n10deltan plotgenerateP2T2 O resultado desta plotagem é dado pelo seguinte gráfico 4 Figura 1 O sinal resultante é dado acima b Plote a seguintes sequências n 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 u4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 u10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 delta 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 z5 zeros1lengthn for i minnmaxn z5iminn1 05i end w sigaddu4nu10n P1T1 sigmult20z5nwn plotgenerateP1T1 O resultado desta plotagem é dado pelo seguinte gráfico 5 Figura 2 O sinal resultante é dado acima 2 Seja xn 1 2 4 6 5 8 10 gere e plote as seguintes sequências a xn 3 xn 2 xn 4 2 xn n 0 1 2 3 4 5 6 x 1 2 4 6 5 8 10 x1n1 sigshiftxn2 x2n2 sigshiftxn4 P1T1 sigaddsigadd3x1n1x2n2n2xn plotgenerateP1T1 O gráfico resultante desta operação é 6 Figura 3 O sinal resultante é dado acima b xn 5 x5 n 4 xn 4 3 xn n 0 1 2 3 4 5 6 x 1 2 4 6 5 8 10 x1n1 sigshiftxn5 x2n2 sigshiftxn4 P1T1 sigaddsigadd5x1n14x2n2n3xn plotgenerateP1T1 O gráfico resultante desta operação é 7 Figura 4 O sinal resultante é dado acima 4 Conclusões O trabalho realizado utilizando o Matlab foi uma experiência muito enri quecedora na área de processamento de sinais discretos Foi possível aplicar conceitos fundamentais e operações elementares como somas multiplicação convolução inversão entre outras em sinais discretos Os resultados obtidos foram bastante satisfatórios e permitiram a elabo ração de composições decomposições em parte par e ímpar de sinais além de outras operações que contribuíram para aprofundar o conhecimento dos discentes envolvidos Através deste trabalho os estudantes puderam compreender na prática conceitos teóricos importantes em processamento de sinais desenvolver ha bilidades em programação e ainda obter resultados interessantes que podem ser aplicados em diversos campos da engenharia Em resumo a realização deste trabalho utilizando o Matlab foi uma ex 8 celente oportunidade de aprendizado e contribuiu significativamente para a formação dos estudantes envolvidos Referências 1 A V Oppenheim Discretetime signal processing Pearson Education India 1999 2 F S Hillier and G J Lieberman Introdução à pesquisa operacional McGraw Hill Brasil 2013 3 J G Proakis Digital signal processing principles algorithms and ap plications 4E Pearson Education India 2007 4 S O SERIES Schaums outline of theory and problems of digital signal processing 5 S K Mitra Digital signal processing a computerbased approach McGrawHill Higher Education 2001 9