Processamento Digital de Sinais: Transformadas e Análises

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS PDS Prof Vicente Idalberto Becerra Sablón Sumario 1 Transformada Z 2 N2 TEMA SINAIS E SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Referências Bibliográficas 1 Diniz Paulo S R et al Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2014 Cap 2 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788582601242pageid2 2 Nalon José A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca Grupo GEN 2009 Cap3 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788521626152pageid26 Referências Bibliográficas Complementares 3Lathi BP Sinais e Sistemas Lineares Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2006 Cap 5 httpsintegradaminhabibliotecac ombrreaderbooks978857780391 0pageid238 4 Roberts Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Disponível em Minha Biblioteca Grupo A 2009Cap 16 httpsintegradaminhabibliotecac ombrreaderbooks978856330857 3pageid95 Introdução ao MATLAB para engenheiros 3ª edição Objetivos Resumo TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO EQUAÇÃO DE ANALISE TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER EQUAÇÃO DE SINTESE A transformada de Fourier é uma operação matemática linear que transforma uma descrição no domínio do tempo de um sinal em uma descrição no domínio da frequência sem perda de informação o que significa que o sinal original pode ser totalmente recuperado da descrição no domínio da frequência 𝑥𝑛 𝑋𝜔 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔𝑛0 𝑎𝑛𝑢𝑛 0 𝑎 1 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 TRANSFORMADA Z A Transformada Z é uma ferramenta matemática que permite representar sinais discretos em um domínio complexo 01 A transformada z pode ser vista como uma generalização da transformada de Fourier de tempo discreto de uma maneira bastante análoga a relação entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier de tempo continuo 02 Ela permite encontrar representações simples e uteis para cada sequencia trazendo ao mesmo tempo todo o poder da análise complexa e da teoria de series e polinômios simplificando a analise de um sistema 03 APLICAÇÕES Controle Digital yn axn bxnD cynD Donde yn es la salida del sample n xn es la entrada del sample n D es el no de samples de delay a es el coeficiente de amplitud de la entrada en n b es el coeficiente de amplitud de la entrada en nD c es el coeficiente de amplitud de la salida en nD Resolução de equações diferenciais discretas Encontrar a resposta em frequência de sistemas lineares Análise de estabilidade de sistemas lineares discretos Filtragem digital como projeto de filtros FIR e IIR DEFINIÇÃO TRANSFROMDA Z em que C representa um contorno fechado dentro da RDC da Transformada z Região de Convergência RDC da Transformada z Transformada z não converge para todas as sequências ou para todos os valores de z Para qualquer sequência dada o conjunto de valores de z para os quais a série de potências da transformada z converge é chamado de região de convergência RDC da transformada z Circunferência unitária no plano z complexo A RDC como um anel no plano z Para casos específicos o limite interno pode se estender para dentro até a origem e a RDC se transforma em um disco Em outros casos o limite externo pode se estender para fora até o infinito EXERCICIOS Metodologia 1 Representar xn 2 Calcular Xz 3 Definir a RDC Região de Convergência 1 Seja 𝑥 𝑛 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 Determine a Transformada Z da sequência Solução 1º Representar xn 𝑥 𝑛 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 1 3 𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 1 3 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑥 𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 Solução 2º Calcular 𝐚 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛𝑧𝑛 𝑛 1 0 𝑧𝑛 𝑛0 1 3 𝑛 𝑧𝑛 𝑋 𝑧 𝑛0 1 3 𝑛 𝑧𝑛 𝑛0 1 3𝑧 𝑛 1 1 1 3𝑧 𝑧 𝑧 1 3 𝑋 𝑧 𝑧 𝑧1 3 Transformada Z da sequência Xn 𝑥 𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 Solução 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆𝒈𝒊ã𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛𝑧𝑛 𝑛0 1 3𝑧 𝑛 1 1 1 3𝑧 𝑧 𝑧 1 3 𝑥 𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 Para a convergência de 𝑋𝑧 o critério é Então 1 3𝑧 1 1 3𝑧 1 1 3 𝑧 𝑧 1 3 Portanto a região de convergência e 𝒛 𝟏 𝟑 Sequência Transformada RDC an un 1 1 a z1 z a Considere o sinal xn an un em que a denota um número real ou complexo Por ser não nula somente para n 0 este é um exemplo da classe de sequências laterais direitas que são sequências que começam em algum instante N1 n ou seja eles ocupam o lado direito de um gráfico da sequência Da Equação Xz n to an un zn n0 to an Para a convergência de Xz exigimos que n0 to a z1n Assim a RDC é a faixa de valores de z para os quais a z1 1 ou de modo equivalente z a No interior da RDC a série infinita converge para Xz n0 to a z1n 1 1 a z1 z z a z a A transformada z da sequência xn an un tem uma RDC para qualquer valor finito de a Para a 1 xn é a sequência degrau unitário com a transformada z Xz 1 1 z1 z 1 2 Seja a 1 na seqencia 𝑥 𝑛 𝑎𝑛𝑢 𝑛 Determine a Transformada Z da sequência Fazer em Grupo Solução 1º Representar xn 𝑥 𝑛 𝑢 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑥 𝑛 1 𝑛𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 Solução 2º Calcular 𝐚 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 𝑢𝑛𝑧𝑛 𝑛 1 0 𝑧𝑛 𝑛0 1 𝑛𝑧𝑛 𝑋 𝑧 𝑛0 1 𝑛𝑧𝑛 𝑛0 1 𝑧 𝑛 1 1 1 𝑧 𝑧 𝑧 1 𝑋 𝑧 𝑧 𝑧1 Transformada Z da sequência Xn 𝑥 𝑛 1 𝑛𝑢𝑛 𝑢𝑛 Solução 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆𝒈𝒊ã𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 1 𝑛𝑢𝑛𝑧𝑛 𝑛0 1 𝑧 𝑛 1 1 1 𝑧 𝑧 𝑧 1 𝑥 𝑛 1 𝑛𝑢𝑛 Para a convergência de 𝑋𝑧 o critério é Então 1 𝑧 1 1 𝑧 1 1 𝑧 𝑧 1 Portanto a região de convergência e 𝒛 𝟏 Sequência Transformada RDC 3 Seja 𝑥 𝑛 𝛿𝑛 Determine a Transformada Z da sequência Fazer em Grupo 𝛿 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 Solução 1º Representar xn Solução 2º Calcular 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝛿𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 1 0 𝑧𝑗𝜔𝑛 1 𝑧0 𝑛1 0 𝑧𝑛 1 A FZ de um impulso unitário é uma constante com o valor da amplitude do impulso Função Real Solução 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆𝒈𝒊ã𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 1 𝑧0 𝑧0 1 𝑥 𝑛 𝛿𝑛 Para a convergência de 𝑋𝑧 o critério é Então Sequência Transformada RDC 4 Seja 𝑥 𝑛 𝛿𝑛 2 Determine a Transformada Z da sequência Fazer em Grupo 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 2 𝜹 𝒏 𝟓 ቊ𝟏 𝒏 𝟐 𝟎 𝒏 𝟐 1º Representar xn 2º Calcular 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑍 𝛿𝑛 2 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 1 0 𝑧𝑛 1 𝑧2 𝑛3 0 𝑧𝑛 𝑋 𝜔 𝑧2 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 Sequência Transformada RDC 5 Seja 𝑥 𝑛 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 4 𝑛 𝑢 𝑛 Determine a Transformada Z da sequência Fazer em Grupo 1º Representar xn 𝑥 𝑛 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 4 𝑛 𝑢 𝑛 Solução 2º Calcular 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 𝑛 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 1 4 𝑛 𝑢 𝑛 𝑍𝑛 𝑋 𝑧 𝑛 2 1 2 𝑛 1 4 𝑛 𝑢 𝑛 𝑍𝑛 𝑛0 2 1 2 𝑛 1 4 𝑛 𝑍𝑛 𝑋 𝑧 2 𝑛0 1 2 𝑛 𝑍𝑛 𝑛0 1 4 𝑛 𝑍𝑛 2 𝑛0 1 2𝑍 𝑛 𝑛0 1 4𝑍 𝑛 𝑋 𝑧 2 1 1 1 2𝑍 1 1 1 4𝑍 2 𝑍 𝑍 1 2 𝑍 𝑍 1 4 Solução 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆𝒈𝒊ã𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝒛 Para a convergência de 𝑋𝑧 o critério é 𝑋 𝑧 𝑍 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧𝑛 Solução 3º Calcular 𝐚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆𝒈𝒊ã𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿𝒛 𝑋 𝑧 2 𝑍 𝑍 1 2 𝑍 𝑍 1 4 Para a convergência de Xz ambas as somas na Equação devem convergir o que requer que tanto 𝑍 1 2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑍 1 4 Assim a RDC é a região de superposição 𝑧 1 2 A região de convergência deve satisfazer ambas as expressões RESUMO A Transformada Z é uma ferramenta matemática que permite representar sinais discretos em um domínio complexo Tabela 31 Alguns pares comuns de transformada z Sequência Transformada RDC 1 δn 1 Todo z z 1 2 un 1 1 z1 z 1 3 un 1 1 z1 z a 4 δn m zm Todo z exceto 0 se m 0 ou se m 0 5 an un an 1 az1 z a 6 an un 1 1 1 a z1 z a 7 n an un an 1 1 az12 z a 8 nan un 1 a z1 1 az12 z a 9 cosω0 nun 1 cosω0 z1 z 1 10 senω0 nun sinω0 z1 z 1 11 rn cosω0 nun rn 1 2r cosω0 z1 r2 z2 z r 12 rn senω0 nun rn r senω0 z1 z r 13 an 0 n N 1 0 caso contrário z 0 Exemplo 310 Por fim analisemos a sequência xn 12n un 13n un 1