Processamento Digital de Sinais: Propriedades dos Sistemas LTI e Filtros Ideais

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS PDS Prof Vicente Idalberto Becerra Sablón Sumario 1 Propriedades dos Sistemas LTI 2 Filtros Ideais TEMA SINAIS E SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Referências Bibliográficas 1 Diniz Paulo S R et al Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2014 Cap 1 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788582601242pageid2 2 Nalon José A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca Grupo GEN 2009 Cap1 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788521626152pageid26 Referências Bibliográficas Complementares 3Lathi BP Sinais e Sistemas Lineares Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2006 Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecac ombrreaderbooks978857780391 0pageid238 4 Roberts Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Disponível em Minha Biblioteca Grupo A 2009Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecac ombrreaderbooks978856330857 3pageid95 Objetivos Entender as Propriedades dos Sistemas LTI Resumo Sistemas LTI Sistemas LIT podem ser completamente descritos através da sua resposta ao impulso ℎ 𝑛 𝑇 𝛿𝑛 A Equação é chamada de soma de convolução e é representada pela notação operacional Conhecendose a resposta do sistema ao impulso é possível obter a resposta a qualquer outro sinal de entrada simplesmente efetuandose a operação dada PROPRIEDADES DOS SISTEMAS LTI LINEARES e INVARIANTES NO TEMPO Como todos os sistemas LTI são descritos pela Soma de Convolução as propriedades dessa classe de sistemas são definidas pelas propriedades da Convolução de Tempo Discreto Portanto a resposta ao impulso hn e uma caracterização completa das propriedades de um sistema LIT especifico PROPREIDADE 1 Comutativa COMUTATIVIDADE A ordem dos operadores não altera o resultado xn hn hn xn Essa propriedade pode ser mostrada aplicandose uma substituição de variáveis ao índice do somatório na Equação da convolução Especificamente com m n k PROPREIDADE 1 Comutatividade Como não existe nenhuma diferença entre os operandos isso quer dizer que um sistema com resposta ao impulso hn e sinal de entrada xn vai se comportar exatamente da mesma forma que um sistema com resposta ao impulso xn e sinal de entrada hn Dito de outra forma isso significa que a distinção entre sinal de entrada e filtro é apenas uma interpretação não tendo significado matemático Os dois sistemas são equivalentes Representação Esquemática da Propriedade Comutativa PROPREIDADE 2 Distributiva Conexão Paralela de Sistemas Essa propriedade e um resultado direto da linearidade e da comutatividade da Convolução PROPREIDADE 2 Distributiva Conexão Paralela de Sistemas Associação Paralela de Sistemas LTI Sistema Equivalente Na pratica essa propriedade indica que o sistema composto pela aplicação paralela de dois sistemas diferentes pode ser condensado em um único sistema cuja resposta ao impulso seja dada pela soma das respostas ao impulso dos sistemas originais O contrario também é verdade ou seja um sistema qualquer pode ser decomposto em vários subsistemas atuando em paralelo PROPREIDADE 3 Associativa Conexão em Cascata de Sistemas Além disso como a operação de Convolução e Comutativa a Equação anterior e equivalente a Se dois sistemas LIT com respostas ao impulso h1n e h2n são colocados em cascata em qualquer ordem a resposta ao impulso total equivalente hn e PROPREIDADE 3 Associativa Conexão em Cascata de Sistemas a Associação em cascata de dois sistemas LIT b Cascata equivalente c Sistema único equivalente PROPREIDADE 3 Associativa Conexão em Cascata de Sistemas Muitas vezes é desejável aplicar a saída de um sistema a um outro sistema Por exemplo o resultado de um processamento de áudio pode ser alimentado a um amplificador ou a saída de um filtro seletivo pode ser alimentada a um cancelado de eco Sistemas subsequentes podem ser combinados em um único sistema por meio da propriedade do cascateamento PROPREIDADE 4 Elemento Neutro O elemento neutro da Convolução e dos sistemas LTI é a função impulso ou seja A propriedade do deslocamento se propaga do impulso para a função com ele convolvida Essa propriedade do deslocamento do impulso pode ser escrita como PROPREIDADE 5 Sistemas Causais Um sistema LTI será causal se e somente se PROPREIDADE 6 Sistemas Estáveis Estabilidade Um sistema LIT será estável se Resposta ao impulso deve ser finita ou em outras palavras a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável PROPREIDADE 7 Sistemas INVERTIVEIS DESCONVOLUÇÃO ou Sistemas Inversos PROPREIDADE 7 Sistemas INVERTIVEIS DESCONVOLUÇÃO ou Sistemas Inversos PROPREIDADE 8 Representação no domínio da frequência de sinais e sistemas de tempo discreto Resposta a Sinais Senoidais Uma das propriedades mais importantes de sistemas LTI é a chamada fidelidade das funções senoidais A resposta de um sistema linear e invariante com o tempo quando a entrada é uma senoide é uma senoide de mesma frequência possivelmente com fase e amplitude modificadas A resposta do sistema a esse sinal será lembrando que a Convolução é comutativa PROPREIDADE 8 Representação no domínio da frequência de sinais e sistemas de tempo discreto Resposta a Sinais Senoidais Para uma frequência fixa 𝑤 portanto 𝐻𝑤 será um valor único e determinado Logo O resultado é uma função senoidal de mesma frequência w com amplitude e fase modificadas Por esse motivo muitas vezes as funções senoidais são chamadas de autofunções de sistemas lineares em analogia aos autovetores e autovalores da álgebra matricial A função Hw é por isso mesmo chamada resposta em frequência do sistema linear e invariante com o tempo PROPREIDADE 8 Representação no domínio da frequência de sinais e sistemas de tempo discreto Resposta a Sinais Senoidais FILTROS IDEAIS Uma classe importante de sistemas LTI inclui aqueles sistemas para os quais a resposta em frequência é unitária em uma certa faixa de frequências e é nula nas frequências restantes correspondendo aos filtros ideais seletivos em frequência Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no domínio da frequência como passabaixa passaalta passafaixa e rejeitafaixa FILTROS IDEAIS Filtro passabaixas ideal Um filtro passabaixas permite no sinal de saída apenas baixas frequências que correspondem a variações suaves na amplitude do sinal FILTROS IDEAIS Filtro passaaltas Um filtro passaaltas ao contrario permite no sinal de saída apenas altas frequências que correspondem a variações bruscas na amplitude do sinal resultante FILTROS IDEAIS Filtro passabanda Um filtro passafaixa permite apenas frequências intermediarias enquanto um filtro rejeitafaixa bloqueia essas frequências Filtro rejeitafaixa FILTROS IDEAIS FILTROS A forma da filtragem é definida pela resposta de frequência Hω que depende da escolha de parâmetros do sistema como os coeficientes do filtro Assim com uma escolha apropriada de parâmetros podemos projetar filtros seletores de frequência que deixam passar sinais contendo componentes de frequência em algumas bandas e atenuando sinais contendo componentes de frequência em outras bandas FILTROS Um filtro é um sistema LTI usado para desempenhar a função de filtragem seletora de frequência Filtragem é usada em processamento digital de sinais em uma grande variedade de formas como remoção de ruído equalização análise espectral de sinais etc FILTROS A característica fundamental de um filtro é sua frequência de corte wc que indica quais as frequências que serão aceitas e quais serão rejeitadas Um filtro passabaixas rejeita frequências acima de wc Um filtro passaaltas rejeita frequências abaixo dessa Filtros que têm banda de rejeição em faixa contêm duas frequências de corte que indicam a banda de rejeição Esses filtros ideais têm características de ganho constante na banda de passagem normalmente tomados como unitários e ganho zero na banda de corte Outra característica de um filtro ideal é uma resposta de fase linear Todos os filtros ideais têm características de magnitude constante e fase linear dentro da banda de passagem Em todos os casos tais filtros não são fisicamente realizáveis mas servem como idealizações matemáticas para filtros práticos Group Delay Transformadas Laboratório Próxima Semana