Processamento Digital de Sinais: Conceitos e Definições Básicas

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS PDS Prof Vicente Idalberto Becerra Sablón Sumario 1 Sinais de Tempo Discreto Definição Representação 2 Sequências Básicas 3 Senoides de Tempo Discreto Periódicas e Aperiódicas 4 Exercícios 5 Tema da Pesquisa TG TEMA SINAI E SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Referências Bibliográficas 1 Diniz Paulo S R et al Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2014 Cap 1 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788582601242pageid2 2 Nalon José A Introdução ao Processamento Digital de Sinais Disponível em Minha Biblioteca Grupo GEN 2009 Cap1 httpsintegradaminhabibliotecacombrreade rbooks9788521626152pageid26 Referências Bibliográficas Complementares 3Lathi BP Sinais e Sistemas Lineares Disponível em Minha Biblioteca 2nd edição Grupo A 2006 Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecaco mbrreaderbooks9788577803910 pageid238 4 Roberts Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Disponível em Minha Biblioteca Grupo A 2009Cap 3 httpsintegradaminhabibliotecaco mbrreaderbooks9788563308573 pageid95 Objetivos Apresentar as definições básicas Estabelecer a notação Desenvolver e revisar os conceitos básicos associados com sinais e sistemas de tempo discreto Discutir a representação dos sinais de tempo discreto como sequências Descrever as sequências básicas como o impulso unitário o degrau unitário e as exponenciais que desempenham um papel central na caracterização dos sistemas de tempo discreto e a partir das quais podem se construir sequências mais gerais Introdução O termo sinal geralmente é aplicado a algo que transmite informação Os sinais podem por exemplo transmitir informações sobre o estado ou o comportamento de um sistema físico Como outra classe de exemplos os sinais podem ser sintetizados com a finalidade de transmitir informações entre humanos ou entre humanos e máquinas Embora os sinais possam ser representados de várias formas em todos os casos a informação está contida em variações de algum padrão Introdução Os sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes Por exemplo um sinal de voz é representado matematicamente como uma função do tempo uma imagem fotográfica é representada como uma luminosidade em função de duas variáveis espaciais Introdução Sinais digitais são aqueles para os quais tanto o tempo quanto a amplitude são discretos O processamento digital de sinais então lida com a transformação de sinais que são discretos tanto na amplitude quanto no tempo Sinais de Tempo Discreto Os sinais de tempo discreto são definidos em instantes discretos e assim a variável independente assume valores discretos ou seja os sinais de tempo discreto são representados como sequências de números Sinais de Tempo Discreto Definição É representado por uma sequência de números Uma sequencia de números 𝒙 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑜 𝒏 é𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 é 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝒙 𝒏 Onde 𝒏 é 𝒖𝒎 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒐 Sinais de Tempo Discreto Matematicamente Matematicamente 𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 ℤ onde ℤ e o conjunto dos números inteiros 𝑥 𝑛 corresponde à amplitude do sinal em cada instante 𝒏𝑻 𝑻 é 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 é 𝑠𝑒𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑒 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓 1 𝑇 Uma função discreta pode ser obtida diretamente de uma função continua pela operacao de amostragem 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 Essa expressão indica que a sequência 𝒙 𝒏 conterá os valores da funcao analógica 𝒙𝒄𝒕 nos instantes múltiplos do intervalo de amostragem Cada um desses valores e chamado de amostra Sinais de Tempo Discreto Fisicamente Sinais de Tempo Discreto Processo de Amostragem Sinais de Tempo Discreto Processo de Amostragem Sinal de Tempo Discreto Representação Gráfica Sinal de Tempo Discreto Representação Gráfica Sinal de Tempo Discreto Representação Gráfica 𝑥 𝑛 𝑥𝑐 𝑛𝑇 Sinal de Tempo Discreto Representação Gráfica Sequências Básicas Impulso Unitário delta de Kroenecker 𝛿 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 Impulso Unitário Atrasado deslocado 𝛿 𝑛 𝑘 ቊ1 𝑛 𝑘 0 𝑛 𝑘 A Figura mostra a função impulso com um atraso k 4 correspondendo a um deslocamento de 4 amostras para a direita de n 0 Obs 𝑠𝑒 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 0 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝛿 𝑛 𝑘 0 𝛿 0 1 k Degrau Unitário 𝑢 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 Degrau Unitário Examinando as Figuras notamos que o degrau unitário pode ser representado como a uma soma de impulsos unitários deslocados Degrau Unitário 𝛿 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑢 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 Função Cosseno 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝜔 2𝜋𝑓 𝑒𝑚 Τ 𝒓𝒂𝒅 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝑺 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓 𝜔 2𝜋 𝑒𝑚 Τ 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Por exemplo na Figura 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝝎 𝟐𝝅 𝟏𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂 𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝒆𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂 𝒖𝒎 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 𝒂𝒕𝒊𝒏𝒈𝒊𝒏𝒅𝒐 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒎 𝟏𝟔 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 Função Exponencial Real 𝑥 𝑛 𝑒𝑎𝑛 Função exponencial real com a 02 Função Exponencial Real 𝑥 𝑛 𝑒𝑎𝑛 a Rampa Unitária 𝑟 𝑛 ቊ𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 Sequências Básicas Representação Geral Representação de Sequência Examinando as Figuras notamos que qualquer sinal no tempo discreto equivale a uma soma de impulsos unitários deslocados cada um multiplicado por uma constante isto é o impulso deslocado de k amostras e multiplicado por xk Exemplo Represente matematicamente a sequência pn da Figura como uma soma de impulsos ponderados e deslocados 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Senoides de Tempo Discreto Periódicas e Aperiódicas Periodicidade Dizse que uma sequência é periódica se após um intervalo inteiro constante denominado período a função repete as mesmas amostras na mesma sequencia Matematicamente isso significa N é um numero inteiro que corresponde ao período da sequência 𝝎𝟎 frequência fundamental da sequência periódicas e representa a frequência de uma sequência senoidal que tem o mesmo período N da sequência original Senoides de Tempo Discreto Periódicas e Aperiódicas Usando essa definição o período da função cosseno é um inteiro N tal que 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒏 𝑵 𝒏 ℤ 𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑘 ℤ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝜔𝑁 2𝜋𝑘 𝑁 min 𝐾𝜖ℕ ቊ ቋ 2𝜋 𝜔 𝑘 Portanto nem todas as sequências senoidais são periódicas Ex Determine se cada um dos sinais discretos a seguir é periódico em caso positivo determine seu período 𝟏 𝑥𝑛 cos12𝜋 5 𝑛 𝟐 𝑥𝑛 2cos002𝑛 3 Ex Determine se cada um dos sinais discretos a seguir é periódico em caso positivo determine seu período 𝟏 𝑥𝑛 cos12𝜋 5 𝑛 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝜔 12𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑁 2𝜋 𝜔 𝑘 2𝜋 12𝜋 5 𝑘 2𝜋 12𝜋 5 𝑘 5 6 𝑘 𝑵 𝟓 𝟔 𝒌 ቐ 𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑁 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒌 𝟔 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝒂 𝒔𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 é 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒊𝒄𝒂 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑵 𝟓 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 Ex Determine se cada um dos sinais discretos a seguir é periódico em caso positivo determine seu período 𝟐 𝑥𝑛 2cos002𝑛 3 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝜔 002 𝑟𝑎𝑑 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑁 2𝜋 𝜔 𝑘 2𝜋 002 𝑘 100 𝜋 𝑘 𝑵 𝟏𝟎𝟎𝝅 𝒌 ቊ𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑵 𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝒏ã𝒐 é 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒊𝒄𝒂 Resumo Sinais de Tempo Discreto 𝑥 𝑥𝑛 𝑛 ℤ Sequências Básicas Senoides de Tempo Discreto 𝛿 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑢 𝑛 ቊ1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑥 𝑛 𝑒𝑎𝑛 𝑟 𝑛 ቊ𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑁 min 𝐾𝜖ℕ ቊ ቋ 2𝜋 𝜔 𝑘