Propriedades de Sistemas de Controle

Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 33 4 Propriedades de Sistemas de Controle 41 Sistemas de Malha Aberta e de Malha Fechada Os sistemas de controle de malha aberta fazem uso de um dispositivo de atuação para controlar diretamente o processo sem usar qualquer mecanismo de retroação também chamado de realimentação Qualquer atitude de correção visando atingir o valor desejado na variável de saída depende da atuação do operador FIGURA 1 Sistema em malha aberta Os sistemas de malha fechada utilizam a medida da variável de saída controlada para tomar atitudes de correção através do atuador buscando atingir o valor desejado referência Esta operação é realizada de forma automática sem necessidade de interferência do operador Figura 2 O controlador deve ser projetado e ajustado sintonizado para atender as especificações de desempenho solicitadas na definição do projeto do sistema de controle Dentre as especificações de desempenho geralmente as mais utilizadas são os requisitos o Resposta transitória em muitos casos se referem à entrada de posição set point ou estática e são especificados o tempo de subida tempo de estabelecimento sobre sinal máximo permitido o Regime permanente define o erro em regime permanente aceitável para determinado tipo de entrada e o Rejeição de perturbação define o tempo para que seja eliminado ou reduzido o efeito causado pela perturbação Saída Referência ATUADOR PROCESSO COMPARADOR MEDIÇÃO CONTROLADOR FIGURA 2 Sistema em malha fechada A resposta de um sistema uma entrada desejada set point por exemplo é chamado de problema servo e a resposta a uma entrada de perturbação é chamado de problema regulador Ainda analisando as figuras 1 e 2 notase que o sistema em malha fechada é mais complexo e seu custo será maior devido aos elementos adicionados neste caso o elemento de medição e controlador Saída Referência ATUADOR PROCESSO Vazão Referência Inversor Motor Bomba Centrífuga Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 34 42 Estabilidade Absoluta A estabilidade é a característica mais importante de um sistema de controle e referese à capacidade do sistema fornecer uma saída limitada quando for excitado por uma entrada limitada Tais sistemas são também denominados BIBO bounded input bounded output Para sistemas lineares a estabilidade está associada a localização dos polos de malha fechada no plano s Um sistema para ser estável deve apresentar todos os polos de malha fechada no semiplano esquerdo do plano s chamado SPE Ou seja todos os polos devem apresentar parte real negativa Seja um sistema genérico escrito na forma 𝐺𝑠 1 𝑠 𝑎1 𝑠 𝑎2 𝑠 𝑎𝑛 Considerando que os polos são reais distintos os termos podem ser expandidos em 𝐺𝑠 𝐴1 𝑠 𝑎1 𝐴2 𝑠 𝑎2 𝐴𝑛 𝑠 𝑎𝑛 A resposta impulsiva deste sistema é composta pelos termos exponenciais dos polos do sistema e será 𝑦𝑡 𝑔𝑡 𝐴1 𝑒𝑎1𝑡 𝐴2 𝑒𝑎2𝑡 𝐴𝑛 𝑒𝑎𝑛𝑡 Portanto a presença de um único polo no semiplano direito SPD é suficiente para que um termo exponencial seja crescente e o sistema instável Na Figura 3 temse a resposta impulsiva de sistemas lineares onde se pode verificar o efeito da presença de polos instáveis FIGURA 3 Resposta impulsiva sistemas estáveis e instáveis Time sec Amplitude Impulse Response 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 From U1 To Y1 instável pólos complexos estável pólos complexos instável pólos reais Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 35 43 Critério de Estabilidade de Routh O critério de Routh permite determinar se um sistema apresenta e quantos são os polos no SPD Considerando que um sistema em malha fechada seja representado por uma função de transferência na forma n n n n o m m m m o a s a s a s a b s b s b s b G s 2 2 1 1 2 2 1 1 onde a e b são constantes e nm O procedimento para determinar a estabilidade segundo Routh é o Escrever o polinômio característico na forma 0 2 2 1 1 n n n n o a s a s a s a o Se houver um coeficiente negativo ou zero na presença de demais coeficientes negativos então haverá uma ou mais raízes com parte real positiva SPD o Se todos os coeficientes forem negativos multipliqueos por 1 tornandoos todos positivos o Organize os coeficientes na forma 4 2 0 a a a s n 5 3 1 1 a a a s n 3 2 1 2 b b b s n 2 1 2 c c s 1 1 d s 1 0 e s Os coeficientes bn cn e etc são determinados por 1 3 0 2 1 1 3 1 2 0 1 a a a a a a a a a a b 1 5 0 4 1 1 5 1 4 0 2 a a a a a a a a a a b 1 7 0 6 1 1 7 1 6 0 3 a a a a a a a a a a b 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 b b a a b b b b a a c 1 3 1 5 1 1 3 1 5 1 2 b b a a b b b b a a c 1 4 1 7 1 1 4 1 7 1 3 b b a a b b b b a a c Este processo deve ser efetuado até a nésima linha Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 36 O critério de Routh estabelece que o número de raízes no SPD é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh Exemplo 1 Conclua sobre a estabilidade do sistema representado pela função de transferência de acordo com o arranjo de Routh 1 2 7 3 2 1 2 2 3 4 s s s s s G s 1 47 1 1 67 5 2 3 1 7 2 0 1 2 3 4 s s s s s Como não ocorreu troca de sinal não há polos no SPD e o sistema é estável Exemplo 2 Conclua sobre a estabilidade do sistema representado pela função de transferência de acordo com o arranjo de Routh 20 10 3 1 2 2 3 s s s s G s 20 50 20 1 10 3 0 1 2 3 s s s s Resp dois polos no SPD O critério de estabilidade de Routh geralmente é utilizado quando pretendese determinar se um parâmetro do sistema pode causar instabilidade como nos exercícios a seguir Exercícios Determinar a faixa de ganhos para qual o sistema é estável 𝐺𝑠 2 𝑠 025 𝐾 3 𝑠3 4 𝑠2 2 𝑠 05 𝐾 𝐺𝑠 2 𝑠 𝐾 3 𝑠3 𝑠2 1 03 𝐾 𝑠 𝐾 𝐺𝑠 2 𝑠 𝐾 3 𝑠4 09 𝑠3 2 𝑠2 1 2 𝐾 𝑠 𝐾 Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 37 44 Erro em Regime Permanente Os erros tratados neste tópico não estão associados às imperfeições nos elementos do sistema mas sim a capacidade que os sistemas de controle apresentam de seguir determinadas entradas em regime estacionário Para o estudo do sinal de erro o sistema pode ser redesenhado somente para tornar mais explicito o sinal de interesse Figura 4 Sistema de controle generalizado Em diversas literaturas para o estudo de erro em regime permanente são utilizados sistemas com realimentação unitária sem que isto cause perda da generalidade Uma vantagem deste tipo de representação é que o sinal de saída de referência e o erro atuante estão todos na mesma unidade Uma das classificações para os sistemas de controle referese à habilidade de seguir determinadas entradas Um sistema que segue uma entrada degrau com erro em regime permanente nulo pode não acompanhar uma entrada rampa também com erro nulo As entradas de testes mais comuns são de posição estática ou degrau velocidade rampa e aceleração parábola Esta característica depende da estrutura do sistema e principalmente da presença e da posição de integradores na função de transferência de malha aberta Seja uma função de transferência de malha aberta genérica representada na forma 𝐺𝐻𝑠 𝐾 𝑇𝑎 𝑠 1 𝑇𝑏 𝑠 1 𝑇𝑚 𝑠 1 𝑠𝑁 𝑇1 𝑠 1 𝑇2 𝑠 1 𝑇𝑞 𝑠 1 O termo sN do denominador mostra o número de integradores puros ou de polos na origem do sistema de malha aberta e N é chamado de tipo da função de transferência Assim um sistema tipo 0 não apresenta integradores puros e um sistema tipo 1 apresenta um único integrador Será visto que o aumento do tipo do sistema reflete na ampliação da capacidade do sistema de acompanhar entradas mais complexas porém pode causar efeitos desastrosos nas características transientes e mesmo na estabilidade de malha fechada Deve ser ressaltado que o tipo do sistema não é necessariamente a ordem do sistema 𝐺𝑠 𝐻𝑠 Rs Cs Es Bs 𝐺𝑠 𝐻𝑠 Rs Cs Es Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 38 Considerando o sistema generalizado da Figura 4 a função de transferência de malha fechada é 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐺𝑠 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 E a função de transferência da entrada para o erro é 𝐸𝑠 𝑅𝑠 1 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 E a equação para o erro é 𝐸𝑠 1 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑅𝑠 Pelo teorema do valor final podese determinar o valor do erro em regime permanente 𝑒𝑠𝑠 lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑠0 𝑠 𝐸𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑅𝑠 Importante Esta análise é válida somente para sistemas estáveis Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 39 441 Erro para entradas de posição entrada degrau ou estática É o erro em regime permanente que o sistema apresenta quando for excitado por uma entrada degrau ou entrada limitada 𝑒𝑠𝑠𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑠0 𝑠 𝐸𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 1 𝑠 𝑒𝑠𝑠𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑡 𝑒𝑡 1 1 𝐺𝐻0 A constante de erro estático de posição é definida por 𝐾𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 lim 𝑠0 𝐺𝐻𝑠 𝐺𝐻0 E substituindo na equação anterior 𝑒𝑠𝑠𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 lim 𝑡 𝑒𝑡 1 1 𝐾𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 Analisando a forma generalizada para malha aberta podese concluir que Sistema tipo 0 𝐾𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 lim 𝑠0 𝐺𝐻𝑠 lim 𝑠0 𝐾𝑇𝑎𝑠1𝑇𝑏𝑠1𝑇𝑚𝑠1 𝑇1𝑠1𝑇2𝑠1𝑇𝑞𝑠1 𝐾 Sistema tipo 1 ou mais 𝐾𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 lim 𝑠0 𝐺𝐻𝑠 lim 𝑠0 𝐾𝑇𝑎𝑠1𝑇𝑏𝑠1𝑇𝑚𝑠1 𝑠𝑇1𝑠1𝑇2𝑠1𝑇𝑞𝑠1 Podese concluir que um sistema do tipo 0 estáveis acompanham entrada degrau com erro finito e constante e sistemas do tipo 1 ou superior estáveis acompanham entrada degrau com erro nulo Na Figura 5 podem ser vistas as respostas de sistemas tipos 0 1 e 2 estáveis para entrada degrau unitário Figura 5 Resposta ao degrau unitário de sistemas tipo 0 1 e 2 Time sec Amplitude Resposta ao Degrau 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 16 sistema tipo 0 sistema tipo 1 sistema tipo 2 Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 40 442 Erro para entrada de velocidade rampa O erro em regime permanente que o sistema apresenta quando for excitado por uma entrada rampa será 𝑒𝑠𝑠𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑠0 𝑠 𝐸𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 1 𝑠2 𝑒𝑠𝑠𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑡 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 𝑠 𝐸𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 1 𝑠 𝐺𝑠𝐻𝑠 A constante de erro estático de velocidade é definida por 𝐾𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐 lim 𝑠0 𝑠 𝐺𝐻𝑠 E substituindo na equação anterior 𝑒𝑠𝑠𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐 𝑙𝑖𝑚 𝑡 𝑒𝑡 1 𝐾𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐 Podese concluir que um sistema do tipo 0 não acompanham entrada rampa sistemas tipo 1 acompanham entrada rampa com erro finito e sistemas do tipo 2 ou superior estáveis acompanham entrada degrau com erro nulo Na Figura 6 podem ser vistos exemplos de respostas de sistemas tipos 0 1 e 2 estáveis para entrada rampa unitária Figura 6 Resposta à rampa de sistemas tipo 0 1 e 2 Time sec Amplitude Resposta à Entrada Rampa 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 tipo 0 tipo 1 tipo 2 Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 41 Analogamente às análises anteriores pode ser determinado o coeficiente de erro estático para entrada de aceleração Kacel No Quadro 1 são mostradas as equações dos erros em estado estacionário para sistemas tipo 0 1 e 2 quando são excitados com entradas de posição velocidade e aceleração Quadro 1 Quadro Comparativo para erro em regime permanente Entrada Degrau Posição 1 r t Entrada Rampa Velocidade t r t Entrada parábola Aceleração 2 2t r t Sistema tipo 0 1 1 𝐺𝐻0 Sistema tipo 1 0 lim 𝑠0 1 𝑠 𝐺𝑠𝐻𝑠 Sistema tipo 2 0 0 lim 𝑠0 1 𝑠2 𝐺𝑠𝐻𝑠 Este quadro é útil para esclarecer as necessidades quanto ao número de integradores necessários em função da resposta desejada Devese ressaltar que esta análise não traz qualquer informação sobre o regime transiente e é válida somente para sistemas estáveis em malha fechada As constantes de erro Kposição Kveloc e Kacel estão relacionadas à habilidade em regime permanente do sistema acompanhar entradas e são indicadores de desempenho de estado estacionário Tornase desejável maximizar estas constantes para melhorar as características de regime permanente sempre lembrando que isto pode prejudicar o comportamento transiente Por este estudo notase que uma maneira de melhorar o desempenho de regime permanente é aumentar o tipo do sistema pela inserção de integradores Entretanto esta solução pode levar o sistema à instabilidade devido à inserção de polos de malha aberta na origem s0 que em malha fechada deslocamse para o semiplano direito do plano s Sistemas de Tipo 2 ou superior são em geral difíceis de estabilizar através de estratégias simples de controle e requerem compensadores mais sofisticados que melhorem a margens de estabilidade Candidatos naturais a esta tarefa são os compensadores em avanço de fase e os que incluem termos derivativos Propriedades de Sistemas de Controle 2020 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 42 443 Exercício Seja o controle de nível representado pelo diagrama de blocos Considerando somente o problema servo Ds 0 Inversor Bomba Reservatório Controlador Amplificador Ganho 10VV Sensor de pressão 100 mVmca Ds Rs Ref m Ls Nível m K 1 3 91 s 3 60 1 s 01 10 1 Potenciômetro Determine o valor de do ganho K para que sistema apresente erro em regime permanente igual ou inferior a 5 para entrada degrau Verifique o comportamento de regime transiente para entrada degrau Caso o comportamento transiente seja inadequado que estrutura de controlador poderia ser utilizada para melhorar estes quesitos Considerando que é inaceitável que o sistema apresente sobre sinal para entrada degrau determine o valor de K aceitável Substitua o bloco controlador por s s K Gc 1 2 e o Determine a faixa de valores do ganho K que o sistema permanece estável o Adote 2 K Kcr e determine o erro de regime permanente para entrada degrau e para entrada rampa o O sistema apresentará comportamento oscilatório na situação do item anterior Substitua o bloco controlador por 𝐺𝑐 𝐾 𝑠025 𝑠 e determine a faixa de valores do ganho K que o sistema permanece estável o que houve Referências Bibliográficas DORF Richard C BISHOP Robert H Sistemas de Controle Modernos 8a Ed LTC Rio de Janeiro 2001 FRANKLIN Gene F POWELL J David EMAMINAEINI Abbas Feedback Control of Dynamic Systems 3rd Ed AddisonWesley 1994 OGATA Katsuhiko Modern Control Enginnering 3rd Ed PrenticeHall 1997