Análise de Resposta Transiente em Sistemas LIT

Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 25 3 Análise de Resposta Transiente Os sistemas LIT Lineares e Invariantes no Tempo podem ser representados pelas suas funções de transferência na forma m n a s a s a s a b s b s b s b s D N s s G n n n n m m m m onde 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 O denominador Ds é chamado de polinômio característico do sistema Fatorando Ds a função de transferência Gs pode ser escrita na forma pn s p s p s p s N s K s D N s G s 3 2 1 Onde os valores p1 p2 p3 pn são as raízes do polinômio característico e portanto os pólos do sistema Dependendo unicamente do sistema os pólos poderão ser reais ou complexos conjugados Considerando a título de exemplo que o sistema seja submetido a uma entrada impulso unitário entrada Us1 e expandindo a resposta em frações parciais temse Resposta 𝑌𝑠 𝐴1 𝑠 𝑝1 𝐴2 𝑠 𝑝2 𝐴3 𝑠 𝑝3 𝐴𝑛 𝑠 𝑝𝑛 Consequentemente no domínio do tempo a resposta será 𝑦𝑡 𝐴1 𝑒p1𝑡 𝐴2 𝑒p2𝑡 𝐴3 𝑒p3𝑡 𝐴𝑛 𝑒p𝑛𝑡 Assim se os pólos p1 p2 p3 pn forem complexos sempre serão conjugados e a resposta apresentará comportamento oscilatório 31 Relação entre a localização dos Pólos no Plano S e a Resposta Transiente A parte real dos pólos define a taxa de decaimento exponencial de cada um dos termos da resposta Quando o tempo for suficientemente longo tal que o efeito de todos os pólos na resposta dinâmica for desprezível dizse que o sistema atingiu em regime permanente A ocorrência de pólos complexos conjugados significa a presença de um termo oscilatório na função resposta como exposto pela relação de Euler Em casos que os pólos complexos são dominados pelos pólos reais o comportamento oscilatório se torna desprezível Na figura a seguir podese avaliar a relação entre a localização do pólo no plano s e a correspondente resposta ao impulso Como os pólos complexos ocorrem aos pares por simplicidade foram omitidos o terceiro e quarto quadrantes Notase que se a parte real de um único pólo for positiva a resposta apresentará um comportamento exponencial crescente o que caracteriza os sistemas instáveis Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 26 Quando a parte real é nula não há amortecimento e o comportamento será oscilatório com amplitude constante Para os sistemas discutidos neste texto o interesse principal será nos sistemas estáveis ou seja aqueles cujos todos os pólos apresentem parte real negativa ou seja pertençam ao semi plano esquerdo do plano s SPE A resposta de sistemas lineares invariantes no tempo pode ser dividida em duas partes o regime transiente e o regime permanente Note que quanto mais à esquerda estiverem localizados os pólos mais rapidamente o sistema atinge o chamado regime permanente Como os pólos próximos a eixo imaginário são os mais lentos é dito que eles dominam a resposta Durante o regime transiente ocorrem as variações significativas da função resposta que no caso dos sistemas LIT estáveis apresentarão uma parcela devido a função excitação e outra parcela relacionada à resposta impulsiva do sistema No regime permanente as características da função resposta estão estabelecidas e não são observadas diferenças significativas com o decorrer do tempo Note que no caso de uma excitação senoidal a função resposta de um sistema LIT em regime permanente será senoidal de mesma frequência porém com amplitude e fase diferentes da função excitação 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 05 04 03 02 01 0 01 02 03 04 05 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 005 01 015 02 025 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 002 004 006 008 01 012 014 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 02 015 01 005 0 005 01 015 02 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 0 5 10 15 20 25 30 R e 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 001 0 001 002 003 004 005 006 007 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 004 002 0 002 004 006 008 01 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 005 0 005 01 015 02 025 03 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 002 0 002 004 006 008 01 012 014 016 j Im Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 27 32 Sistemas de 1a Ordem Sistemas de primeira ordem são sistemas compostos por um único armazenador de energia e são modelados por equações diferenciais lineares de primeira ordem Note que o polo sempre será real A equação diferencial generalizada que representa estes sistemas é 𝜏 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝑦𝑡 𝐾 𝑥𝑡 Onde xt entrada ou excitação yt saída ou resposta Aplicandose a transformada de Laplace na equação é obtida a função de transferência 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 𝐾 𝜏 𝑠 1 Onde K Ganho DC sensibilidade estática ou simplesmente ganho Constante de tempo do sistema dada em segundos 321 Resposta ao Degrau Considerando Xs um degrau de amplitude A então s A Xs e a resposta yt será 𝑦𝑡 𝐾 𝐴 1 𝑒𝑡 𝜏 Note que o Em t ocorreram 632 das variações o Considerase que o sistema atingiu o regime permanente em t4 quando 98 das variações já ocorreram e o O valor de regime permanente é y yss kA Gs Xs Ys 𝐾 𝜏𝑠 1 Xs Ys Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 28 ts yt das variações 0 0 0 05 039 K A 39 0632 K A 632 2 085 K A 085 3 095 K A 095 4 098 K A 098 5 099 K A 099 K A 100 Figura 1 Resposta a entrada degrau de um sistema de 1a ordem tTal Saída yt Resposta ao Degrau Unitário Sistema de 1 Ordem 0 1 2 3 4 5 6 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0632 Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 29 33 Sistemas de 2a Ordem Sistemas de segunda ordem são sistemas compostos por dois armazenadores de energia e são modelados por equações diferenciais lineares de segunda ordem 𝑑2𝑦𝑡 𝑑𝑡2 2 𝜉 𝜔𝑛 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 𝜔𝑛 2 𝑦𝑡 𝐾 𝑥𝑡 Aplicando Transformadas de Laplace nos dois lados da equação diferencial obtém se a função de transferência que pode ser escrita na forma geral 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 𝐾 𝜔𝑛 2 𝑠2 2 𝜉 𝜔 𝑠 𝜔𝑛2 Note que são necessários dois parâmetros para definir a dinâmica dos sistemas de 2ª ordem n Frequência natural rads Coeficiente de amortecimento E o ganho que define o comportamento de regime permanente K ganho DC sensibilidade estática ou simplesmente ganho Do ponto de vista de resposta transiente os sistemas de 2a ordem apresentam três comportamentos distintos de interesse em sistemas de controle considerando o coeficiente de amortecimento Estes comportamentos como esperado estão relacionados com a localização dos pólos no plano s Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 30 331 Caso Sobre Amortecido 1 Neste caso os pólos da função de transferência são reais e distintos o que é equivalente a dizer que o fator de amortecimento 1 e a FT pode ser expressa na forma 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 𝐾1 1 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 𝐾1 1 𝑠 𝑎 𝑠 𝑏 Os polos p1 a e p2 b são obtidos fatorandose o polinômio característico da função de transferência Note que 𝐾1 𝐾 𝑎 𝑏 Este tipo de sistema de 2ª ordem pode ser considerado e estudado como dois sistemas de 1ª ordem associados em cascata Para uma entrada degrau 𝑋𝑠 𝐴 𝑠 a saída será 𝑌𝑠 𝐾1 𝐴 1 𝑠 𝑠 𝑎 𝑠 𝑏 E a resposta no domínio do tempo será 𝑦𝑡 𝐾1 𝐴 1 𝑎 𝑏 1 1 𝑎 𝑏 𝑏 𝑒𝑎𝑡 𝑎 𝑒𝑏𝑡 Agrupando os termos 𝑦𝑡 𝐾 𝐴 1 𝐴 𝑒𝑎𝑡 𝐵 𝑒𝑏𝑡 Gs Xs Ys 1 𝑠 𝑎 Xs Ys 1 𝑠 𝑏 𝐾1 Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 31 332 Caso Criticamente Amortecido 1 Neste caso os pólos da função de transferência são reais iguais o que é equivalente a dizer que o fator de amortecimento 1 e a FT pode ser expressa na forma 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 𝐾1 1 𝑠 𝜔𝑛2 Então para uma entrada degrau 𝑋𝑠 𝐴 𝑠 temse 𝑌𝑠 𝐺𝑠 𝑋𝑠 𝐾 𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠 𝜔𝑛2 E a resposta no domínio do tempo será 𝑦𝑡 𝐾 𝐴 1 𝑒𝜔𝑛𝑡 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝜔𝑛𝑡 0 05 1 15 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Resposta ao Degrau Sistemas Criticamente e Sobre Amortecidos Tempo s Amplitude Step Response Time sec Amplitude 1 14 2 Gs Xs Ys 𝐾1 𝑠 𝜔𝑛2 Xs Ys Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 32 333 Caso Sub Amortecido 1 Neste caso os pólos da função de transferência são complexos conjugados o que é equivalente afirmar que o fator de amortecimento 0 1 e os polos serão 𝑠12 𝜎 𝑗𝜔𝑑 𝑠12 𝜉𝜔𝑛 𝑗 𝜔𝑛 1 𝜉2 E a resposta no domínio do tempo será 𝑦𝑡 𝐾 𝐴 1 𝜔𝑛 𝜔𝑑 𝑒𝜎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡 𝜙 Ou 𝑦𝑡 𝐾 𝐴 1 1 1 𝜉2 𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 1 𝜉2 𝑡 𝜙 𝜔𝑛 Frequência natural rads 𝜉 Coeficiente de amortecimento 𝜔𝑑 𝜔𝑛 1 𝜉2 Frequência natural amortecida rads 𝜎 𝜉𝜔𝑛 Fator de amortecimento s1 Tempo Saída yt Resposta ao Degrau Unitário Sistema de 2 ordem 0 5 10 15 0 02 04 06 08 1 12 14 16 02 04 06 08 Gs Xs Ys 𝐾1 𝑠 2𝜉𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 Xs Ys Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 33 34 Especificação de Resposta Transiente Na análise e projeto de sistemas de controle a especificação da resposta à uma entrada de teste é dividida em duas partes a resposta transiente e o comportamento de regime permanente Forma geral especificase a resposta sub amortecida ao resposta ao degrau com as seguintes características Ultrapassagem máxima ou sobre sinal percentual overshoot 𝑀𝑃 𝑦pico 𝑦𝑠𝑠 𝑦𝑠𝑠 100 Tempo de Pico peak time 𝑡𝑝 tempo entre a aplicação do degrau e a ocorrência do pico Tempo de Acomodação settling time 𝑡𝑠 tempo entre a aplicação do degrau e a resposta atingir regime permanente Geralmente o regime permanente é definido em algum valor percentual das variações da saída como 95 98 e 99 Tempo de subida rise time 𝑡𝑟 intervalo de tempo para o sinal de saída variar de 10 a 90 do valor de regime permanente Alguns autores consideram o tempo para o sinal atingir 100 pela primeira vez Período de Oscilação Amortecida 𝑇𝑑é o período de oscilação da resposta tempo entre dois picos ou entre dois vales Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 34 Para um sistema de 2ª ordem sub amortecido estes pontos podem ser obtidos pelas seguintes relações exceto tr para o qual não há uma aproximação simplificada razoável Sobre sinal 𝑀𝑃 𝑦𝑝𝑖𝑐𝑜𝑦𝑠𝑠 𝑦𝑠𝑠 𝑒 𝜉𝜋 1𝜉2 Sobre sinal percentual 𝑀𝑃 𝑀𝑃 100 Tempo de Pico 𝑡𝑝 𝜋 𝜔𝑑 Período de oscilação 𝑇𝑑 2𝜋 𝜔𝑑 Tempo de Acomodação 2 𝑡𝑠 4 𝜉𝜔𝑛 Obs proximação razoável para 02 08 Análise de Resposta Transiente Paulo E Silveira 35 35 Exercícios 1 Determine os parâmetros K n e para os seguintes sistemas e classifique os quanto ao amortecimento 10 2 25 2 s s F s 2 6 5 2 s s F s 2 6 3 8 2 s s F s 2 Para o sistema representado pelo diagrama de blocos a seguir determine as características e resposta do ramo direto e de malha fechada quando a K1 b K10 Compare os resultados Rs Cs K 1 3 3 s 50 80 1 s 3 Para o sistema anterior ajuste o valor do ganho K tal que o sistema apresente as seguintes características a Sobre sinal de 10 para entrada degrau Calcule as demais características da resposta b Sobre sinal de 30 para entrada degrau Calcule as demais características da resposta e compare com os resultados do item a c Tempo de acomodação de 10 segundos É possível Referências Bibliográficas DAZZO John J HOUPIS Constantine H Análise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares 3a Ed Editora Guanabara OGATA Katsuhiko Engenharia de Controle Moderno 4a Ed Pearson PrenticeHall 2003 NISE Norman S Control Systems Engineering 4th Ed John Wiley and Sons 2004 FRANKLIN Gene POWELL J David EMAMINAEINI Abbas Feedback Control of Dynamic Systems PrenticeHall 2005