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Engenharia Elétrica ·
Controle e Servomecanismos
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LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 46 5 Análise e Projeto pelo Lugar Geométrico das Raízes O comportamento dinâmico de um sistema de controle pode ser analisado pela localização dos polos e zeros de malha fechada no plano s Em um sistema de controle é comum ajustar o comportamento do sistema através de um ou mais parâmetros geralmente ganhos com ações proporcional integral ou derivativa os clássicos controladores PID Na figura 51 é mostrado um sistema que permite o ajuste e um ganho que causa uma mudança no mapa de polos de malha fechada podendo levar os polos e zeros para uma posição que proporcione o comportamento desejado do sistema O método do lugar das raízes é uma técnica que mostra a trajetória dos polos do sistema de malha fechada no plano s à medida que se varia algum parâmetro do sistema Rs Ys Gs Kc Figura 51 Sistema de controle com ajuste de um parâmetro 51 Construção do Lugar Geométrico das Raízes O traçado do LGR foi desenvolvido em uma época na qual não existiam os computadores digitais mas ainda hoje é uma técnica bastante útil na análise e no projeto de sistemas de controle lineares O LGR é construído tendo por base os polos e zeros de malha ABERTA e permite visualizar a trajetória dos polos de malha FECHADA de acordo com a variação de algum parâmetro do sistema frequentemente um ganho 𝐾𝑐 variando de 0 a como o sistema da Figura 51 Utilizando o diagrama de malha fechada clássico Figura 52 no qual foi explicitado um ganho 𝐾𝑐 K do controlador a função de transferência de malha fechada é Figura 52 Sistema de controle em Malha Fechada 𝑌𝑠 𝑅𝑠 𝐾𝑐 𝐺𝑠 1 𝐾𝑐 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 𝐺𝑠 𝐻𝑠 Rs Cs Es Bs LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 47 A equação característica do sistema é o denominador da FTMF e os polos de malha fechada são obtidos igualando o denominador a zero da forma 1 𝐾𝑐 𝐺𝑠 𝐻𝑠 0 Notase que avaliar 1 𝐾 𝐺𝑠 𝐻𝑠 0 equivale a comparar a função de transferência de malha aberta com 1 𝐾𝑐 𝐺𝑠 𝐻𝑠 1 Representando em coordenadas polares k inteiro k H s G s e H s s G ou H s s G 1 2 180 arg 1 1 As relações acima são chamadas de condição de módulo e condição de fase respectivamente Os valores de s que satisfazem concomitantemente as condições de módulo e de ângulo são os polos de malha fechada Já o lugar geométrico dos pontos que satisfazem somente a condição de ângulo é chamado de Lugar Geométrico das Raízes O valor do ganho 𝐾𝑐 necessário para que o polo se situe em um determinado ponto sx do LGR pode ser obtido pela condição de módulo 52 Características gerais do LGR O LGR é traçado no plano complexo s o qual tem as seguintes características Os polos são marcados com o símbolo x e os zeros com o símbolo o Continuidade como os polinômios são funções contínuas o LGR também será formado por linhas contínuas no plano s Número ramos o número de ramos será o número de polos do sistema e igual à ordem do sistema Pontos de início considerando que o LGR inicia quando 𝐾𝑐0 e 𝐾𝑐 é sempre positivo o LGR começa nos polos de malha aberta Pontos de término para 𝐾𝑐 os polos tendem aos zeros de malha aberta do sistema Simetria como o polinômio característico tem somente coeficientes reais os polos ou são reais e pertencem ao eixo real ou são complexos conjugados e portanto o LGR é simétrico em relação ao eixo real Assíntotas o número de assíntotas do LGR é igual ao excesso de polos do sistema Para sistemas físicos o número de polos n é sempre igual ou superior ao número de zeros m LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 48 o O ângulo das assíntotas é obtido por o O ponto de cruzamento das assíntotas é obtido por O ganho 𝐾𝑐 que resulta em um polo desejado sx é obtido por 𝐾𝑐 𝑠 𝑝𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚 𝑠 𝑧𝑖 𝑖1 𝑠𝑠𝑥 Diversas bibliografias descrevem procedimentos para o traçado manual do LGR entretanto com o advento de recursos computacionais esta tarefa atualmente é realizada por softwares específicos como o Matlab ou o Octave 53 Traçado do LGR utilizando o Matlab eou Octave A Control System Toolbox do Matlab e o Octave contém rotina para o traçado do LGR e esta rotina pede que a equação característica do sistema esteja representada na forma 1 𝐺𝑠 𝐻𝑠 0 1 𝐾𝑐 𝑛𝑢𝑚𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑠 Ou seja requer que a função de transferência de malha aberta GsHs esteja representada na forma de uma razão de polinômios e que o parâmetro a ser variado 𝐾𝑐 apareça como fator multiplicativo Uma vez traçado o LGR em um projeto desejase conhecer qual o valor do ganho Kc que proporciona um determinado conjunto de polos aplicandose a condição de módulo 210 360 180 i m n i m n i m n z p s m i i n i i 1 1 LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 49 Exemplo 1 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 1 𝑠𝑠3𝑠8 Número de polos n3 Número de zeros m0 Logo Excesso de polos 3 três ramos Pontos de início para 𝐾𝑐 0 polos de malha aberta o s0 o s3 o s8 Pontos de término o o módulo dos três polos tende a infinito Utilizando o Matlab ou o Octave num1 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 8 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function 1 s3 11 s2 24 s rlocusg traçando o LGR LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 50 Exemplo 2 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 𝑠8 𝑠𝑠3𝑠5 Número de polos n3 Número de zeros m1 Logo Excesso de polos 2 dois ramos Pontos de início para 𝐾𝑐0 polos de malha aberta o s0 o s3 o s5 Pontos de término o um polo tende ao zero de malha aberta em s8 o dois polos tendem a infinito num1 8 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 5 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function s 8 s3 8 s2 15 s rlocusg traçando o LGR LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 51 Exemplo 3 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 𝑠5 𝑠𝑠3𝑠8 Número de polos n3 Número de zeros m1 Logo Excesso de polos 2 dois ramos Pontos de início para 𝐾𝑐0 polos de malha aberta o s0 o s3 o s8 Pontos de término o um polo tende ao zero de malha aberta em s5 o dois polos tendem a infinito Utilizando o Matlab ou o Octave num1 5 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 8 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function s 5 s3 11 s2 24 s rlocusg traçando o LGR LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 52 Exemplo 4 Para o sistema anterior estime o ganho 𝐾𝑐 que proporcione polos dominantes com frequência natural de n5 rads e coeficiente de amortecimento 07 Resolução Gráfica Manual o Traçar a circunferência de raio 5 rads o Traçar a reta de amortecimento constante de 07 o Verificar se o ponto pertence ao LGR do sistema Octave rlocusg sgrid075 o Se pertencer determine os polos desejados e aplique a condição de módulo para obter o valor de K o Se não pertencer a especificação não pode ser atingida o Como o ponto não pertence a título de exemplo será escolhido o ponto que resulta em n5 rads Assim os polos desejados são 𝑠𝑥 𝑠1 24 𝑗 44 𝑜𝑢 𝑠𝑥 𝑠2 24 𝑗 44 Substitua qualquer um destes polos já que são complexos conjugados em 𝐾𝑐 1 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝑠𝑠𝑥 𝑠 𝑝𝑖 𝑛 𝑖1 𝐾 𝑠 𝑧𝑖 𝑛 𝑖1 𝑠𝑠𝑥 LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 53 𝑠𝑥 0 𝑠𝑥 3 𝑠𝑥 8 1 𝑠𝑥 5 24 𝑗 44 24 𝑗 44 3 24 𝑗 44 8 1 24 𝑗 44 5 𝐾𝑐 𝐾𝑥 5 444 712 511 309 Kc ganho do controlador Atenção se o resultado de K será sempre real pois é o cômputo dos módulos de cada parcela 𝑠 𝑝𝑖 e 𝑠 𝑧𝑖 Caso opte por utilizar 𝐾𝑥 1 𝐾 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝑠𝑠𝑥 e avaliar módulo após a aplicação de ssx o resultado pode não ser um número real devido às aproximações Lembre ainda que se o polo desejado não pertencer ao LGR o resultado será impreciso É recomendável verificar se o polo satisfaz à condição de módulo Utilizando o Octave Encontrando Kc sx2444j polo desejado spisx311sx224sx produtório dos polos szisx5 produtório dos zeros Kcabsspiszi determinando Kc Kc 3101 Verificando kc3101 num1 5 denconv1 0conv1 31 8 gtfnumden s 5 y1 s3 11 s2 24 s ftmffeedbackKcg1 𝐾𝑐 𝑠 8 𝑠 𝑠 3 𝑠 5 Yin Yout LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 54 3101 s 1551 y1 s3 11 s2 5501 s 1551 poleftmf ans 6 1552 0i 24224 43961i 24224 43961i stepftmf Ponto importante Cuidado se o ganho de malha aberta da planta foi removido quando o ganho Kx encontrado já está considerando o ganho do sistema 𝐾𝑥 𝐾𝑐 𝐾𝐹𝑇𝑀𝐴 Assim o ganho do controlador deve ser definido como 𝐾𝑐 𝐾𝑥 𝐾𝐹𝑇𝑀𝐴 Observação No Matlab a função rlocfind g permite encontrar o ganho desejado diretamente sobre o LGR
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em coordenadas polares k inteiro k H s G s e H s s G ou H s s G 1 2 180 arg 1 1 As relações acima são chamadas de condição de módulo e condição de fase respectivamente Os valores de s que satisfazem concomitantemente as condições de módulo e de ângulo são os polos de malha fechada Já o lugar geométrico dos pontos que satisfazem somente a condição de ângulo é chamado de Lugar Geométrico das Raízes O valor do ganho 𝐾𝑐 necessário para que o polo se situe em um determinado ponto sx do LGR pode ser obtido pela condição de módulo 52 Características gerais do LGR O LGR é traçado no plano complexo s o qual tem as seguintes características Os polos são marcados com o símbolo x e os zeros com o símbolo o Continuidade como os polinômios são funções contínuas o LGR também será formado por linhas contínuas no plano s Número ramos o número de ramos será o número de polos do sistema e igual à ordem do sistema Pontos de início considerando que o LGR inicia quando 𝐾𝑐0 e 𝐾𝑐 é sempre positivo o LGR 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Octave num1 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 8 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function 1 s3 11 s2 24 s rlocusg traçando o LGR LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 50 Exemplo 2 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 𝑠8 𝑠𝑠3𝑠5 Número de polos n3 Número de zeros m1 Logo Excesso de polos 2 dois ramos Pontos de início para 𝐾𝑐0 polos de malha aberta o s0 o s3 o s5 Pontos de término o um polo tende ao zero de malha aberta em s8 o dois polos tendem a infinito num1 8 definindo o numerador denconv1 0conv1 31 5 definindo o denominador gtfnumden montando a FTMA Retorna Transfer function s 8 s3 8 s2 15 s rlocusg traçando o LGR LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 51 Exemplo 3 Traçar o LGR para o sistema abaixo cuja função de transferência de malha aberta é 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝐾𝑐 𝑠5 𝑠𝑠3𝑠8 Número de polos n3 Número de zeros m1 Logo Excesso de polos 2 dois ramos 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resulta em n5 rads Assim os polos desejados são 𝑠𝑥 𝑠1 24 𝑗 44 𝑜𝑢 𝑠𝑥 𝑠2 24 𝑗 44 Substitua qualquer um destes polos já que são complexos conjugados em 𝐾𝑐 1 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝑠𝑠𝑥 𝑠 𝑝𝑖 𝑛 𝑖1 𝐾 𝑠 𝑧𝑖 𝑛 𝑖1 𝑠𝑠𝑥 LGR 2021 Engenharia de Computação Mecânica Elétrica Paulo Silveira 53 𝑠𝑥 0 𝑠𝑥 3 𝑠𝑥 8 1 𝑠𝑥 5 24 𝑗 44 24 𝑗 44 3 24 𝑗 44 8 1 24 𝑗 44 5 𝐾𝑐 𝐾𝑥 5 444 712 511 309 Kc ganho do controlador Atenção se o resultado de K será sempre real pois é o cômputo dos módulos de cada parcela 𝑠 𝑝𝑖 e 𝑠 𝑧𝑖 Caso opte por utilizar 𝐾𝑥 1 𝐾 𝐺𝑠 𝐻𝑠 𝑠𝑠𝑥 e avaliar módulo após a aplicação de ssx o resultado pode não ser um número real devido às aproximações Lembre ainda que se o polo desejado não pertencer ao LGR o resultado será impreciso É recomendável verificar se o polo satisfaz à condição de módulo Utilizando o Octave Encontrando Kc sx2444j polo desejado spisx311sx224sx produtório dos polos szisx5 produtório dos zeros Kcabsspiszi determinando Kc Kc 3101 Verificando kc3101 num1 5 denconv1 0conv1 31 8 gtfnumden s 5 y1 s3 11 s2 24 s 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