Transformadas de Laplace para Engenharia

Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 1 1 Transformadas de Laplace para Engenharia Na modelagem matemática de sistemas dinâmicos frequentemente utilizase equações diferenciais para descrever o comportamento do sistema Uma parcela considerável dos problemas de engenharia é de sistemas lineares e invariantes no tempo LTI que podem ser representados através de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes invariantes no tempo A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática muito útil para resolver este tipo de equação e conhecer o comportamento dinâmico de um sistema A vantagem do método é que equações diferenciais no domínio do tempo são convertidas em equações algébricas facilmente manipuláveis em outro domínio o da frequência como será visto posteriormente 11 Definição da Transformada de Laplace Seja um sinal físico que pode ser representado pela função no domínio do tempo denotada por ft A transformada de Laplace de ft doravante denotada por L ft Fs é definida por dt e f t s F st Entretanto para sistemas físicos causais por natureza é comum definir os sinais e sistemas dinâmicos considerando somente o tempo positivo ou t0 Matematicamente isto resulta da multiplicação da função degrau unitário ut pela função ft ou seja ft será nula para tempos t0 A função degrau unitário é muito importante será estudada como exemplo de aplicação A integral de Laplace pode então ter seu limite de integração inferior alterado de para zero quando recebe o nome de Transformada Unilateral de Laplace Nas aplicações de Sistemas de Controle usualmente e neste texto é utilizada a seguinte definição 0 dt e f t s F st Onde sj variável complexa sendo é parte real e a parte imaginária t Variável real que representa o tempo ft Função no domínio do tempo tal que ft0 para t0 Analisandose o expoente st sabese que o mesmo deve ser adimensional para que tenha significado físico de onde concluise que a variável s deve ter mesma dimensão de frequência T1 recebendo o nome de frequência complexa Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 2 A transformada de Laplace pode então ser entendida como uma mudança de domínio onde uma função no domínio do tempo é transformada em outra no domínio da frequência O retorno do domínio da frequência para o domínio do tempo é obtido pela transformada inversa de Laplace denotada por L1 Fs ft e definida por j j est ds F s j f t F s L 2 1 1 111 Algumas transformadas úteis As transformadas abaixo são de algumas das funções excitação mais comumente empregadas em sistemas de controle e estão aqui relacionadas somente para definir estas funções e utilizálas como exemplo de aplicação da definição de transformadas de Laplace Função degrau é definida por 0 para t A 0 para t f t 0 0 0 1 s A e s A dt A e f t L st st Um caso especial da função degrau é quando A1 quando a função recebe o nome de degrau unitário ut Função pulso Seja a função 𝑓𝑡 0 𝐴 0 𝑡 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 𝑡 𝑇 𝑡 𝑇 t o t A ft t A f t t ft A T Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 3 Esta função pode ser entendida como um degrau positivo de altura At0 sobreposto de um degrau negativo atrasado de t0 segundos tal que a área abaixo da curva seja A t0 𝐿𝑓𝑡 𝐴 𝑠 1 𝑒𝑇𝑠 Função impulso unitário ou delta de Dirac t A função impulso é um caso particular da função pulso quando T 0 e A L f t No caso especial em que A1 a função é chamada de Delta de Dirac t e 1 L t Raramente será necessário resolver a integral para obter a transformada de Laplace de um determinado sinal ou sua inversa sendo mais indicada a consulta a tabelas de pares de transformadas de Laplace onde se encontra a representação do sinal no domínio do tempo e sua correspondente no domínio da frequência Entretanto as tabelas disponíveis não contemplam todos os sinais e suas combinações e desta forma é conveniente conhecer as propriedades básicas de transformadas de Laplace Estas propriedades são úteis quando uma função não tabelada pode ser convertida em uma soma de outras funções todas tabeladas 112 Propriedades das Transformadas de Laplace As propriedades das Transformadas de Laplace são úteis para obter transformadas de funções não tabeladas mas que podem ser obtidas a partir de funções tabeladas Linearidade Superposição e Homogeneidade Considere a e b constantes reais ou complexas e ft e gt funções no domínio do tempo a propriedade da superposição estabelece que b G s a F s b g t L a f t Mudança de escala Quando se pretende normalizar a resposta no domínio do tempo para unificar o comportamento de diversos sistemas físicos em um único modelo matemático é conveniente utilizar uma mudança de escala Note que o fator de escala a deve ser positivo a F a s a t L f Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 4 Deslocamento no tempo 𝐿𝑓𝑡 𝐿 𝑢𝑡 𝐿 𝑒𝐿𝑠 𝐹𝑠 Quando este tipo de comportamento ocorre em sistemas físicos o tempo de atraso L é chamado de tempo morto ou atraso de transporte Multiplicação por at e deslocamento em frequência A multiplicação da função no domínio do tempo por eat tem o efeito de substituir a variável s por sa na função no domínio da frequência onde a pode ser uma constante real ou complexa 𝐿𝑒𝑎𝑠 𝑓𝑡 𝐹𝑠 𝑎 Diferenciação no tempo Diferenciar no domínio do tempo equivale a multiplicar por s no domínio da frequência 0 f s F s dt df t L Onde f0 é o valor da função no tempo t0 A forma geral para diferenciação no tempo pode ser obtida aplicando a propriedade sucessivamente 0 0 2 1 f s f s F s s dt d y t L n n n n n Onde 0 0 0 f f f são os valores iniciais de ft e de suas derivadas até a ordem n1 Integração no tempo Integrar no domínio do tempo equivale a dividir por s no domínio da frequência s f s F s dt f t L 0 1 Onde 0 1 f é o valor da integral em t0 Convolução A operação matemática chamada convolução definida pela integral t t d g f t d g t f g t t f 0 0 Que tem como transformada de Laplace G s F s g t L f t Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 5 Teorema do valor inicial Relaciona o comportamento da função ft próximo a t0 com o comportamento de sFs quando s lim lim 0 s F s t f s t Teorema do valor final Relaciona o comportamento da função ft quando t com o comportamento de sFs quando s0 O teorema é válido quando os limites existem ou seja quando a parte real dos pólos da função Fs é negativa e permitese um polo simples na origem para Fs lim lim 0 s F s t f s t Este teorema é aplicado quando se deseja conhecer o comportamento do sistema em regime permanente domínio do tempo sem a necessidade de obter a transformada inversa Expansão em Frações Parciais Em problemas de engenharia as transformadas de Laplace geralmente aparecem na forma s D N s F s Onde Ns é um polinômio de grau m e Ds um polinômio de grau n e para sistemas físicos n m Considerando que as tabelas de transformadas de Laplace não comtemplam todas as funções nem sempre é possível obter diretamente a transformada inversa consultando uma tabela A expansão em frações parciais ajuda a resolver este problema separando a função Fs em uma soma de funções mais simples que apresentam pares de transformada tabelados Uma vantagem do método é que os efeitos de cada um dos polos do polinômio característico podem ser avaliados independentemente Por outro lado o polinômio característico deve ser fatorado antes de ser aplicado o método 113 Frações parciais de funções com polos simples Seja a função Fs que pode ser fatorada na forma abaixo e que os polos p1p2 pn são todos distintos podendo ser reais ou complexos conjugados m n p s p s p s z s z s z s K s D N s s F n m 2 1 2 1 Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 6 Utilizando o teorema de Heaviside a expressão acima pode ser expandida em 2 2 1 1 n n p s a p s a p s a s D N s F s E os coeficientes ak k12n são os resíduos nos polos p1 p2 pn e são obtidos através de k n m k k k k p s p s p s p s z s z s z s p s p s s D N s p s a 2 1 2 1 O teorema de Heaviside também é aplicado quando a função envolve polos múltiplos quando os coeficientes são obtidos de maneira diferente desta ver FRANKLIN 1994 Entretanto não é de aplicação simples e direta Atualmente diversos pacotes de simulação computacional oferecem ferramentas para obter os coeficientes de expansão em frações parciais Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 7 Exercícios 1 Aplicando as propriedades de Transformadas de Laplace e considerando que A e são constantes determine t L A e t L A sen cos t L A e t 5 3 3 1 s L 5 3 3 2 1 s e L s 10 5 10 2 1 s s s L 10 5 10 2 1 s s L 10 8 10 2 1 s s L 10 8 10 2 1 s s s L 2 Determine o valor de ft quando t 10 10 F s s 10 25 s s F s 10 10 F s s 10 2 5 2 s s s F s 10 8 2 10 2 s s s F s 10 8 30 2 s s s F s 3 Determine a convolução das funções abaixo aplicando as propriedades de Transformadas de Laplace 5 1 u t f t t t e e t f 22 10 2 3 2 t f t 1 5 t t e e t f 22 10 2 3 2 t f t 5 cos 2 1 3 2 u t t f 5 1 u t f t 3 1 3 2 t e t f 4 Obtenha a função no domínio do tempo utilizando expansão em frações parciais quando necessário Determine ainda os valores iniciais e finais das funções 5 20 10 400 s s s F s 3 10 30 45 2 s s s s F s Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 8 12 Resolução de Equações Diferenciais O método de Transformadas de Laplace é particularmente útil para se obter a solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes O método pode ser resumido em três passos e é amplamente aplicado na resolução de a equações diferenciais lineares de ordem n submetidas a n1 condições iniciais Neste caso somente a título de exemplo será aqui aplicada a uma equação diferencial de segunda ordem definida genericamente pelo problema de valor inicial abaixo 0 0 2 2 0 0 y y y y f t c y t dt dy t b dt d y t a Onde a b e c são coeficientes constantes y0 e y0 condições iniciais da função resposta yt função resposta a ser determinada ft função excitação 1o Passo Aplicar a Transformada de Laplace e suas propriedades na equação diferencial convertendoa em uma equação algébrica no domínio da frequência 2 L f t c y t dt b d y t dt L a d y t 0 0 0 2 F s c Y s y b s Y s y s y Y s a s 2o Passo Manipular a equação resultante de maneira a isolar a variável de interesse Ys c b s s a y a c b s s a y b a s s F c b s s a s Y 2 0 2 0 2 1 Note que a primeira parcela está relacionada com a transformada da função excitação Fs e as outras parcelas estão relacionadas com as condições iniciais O polinômio comum a todas as parcelas que aparece no denominador é conhecido como equação ou polinômio característico do sistema e suas raízes são os chamados pólos do sistema e não dependem da função excitação Fs Transformadas de Laplace para Engenharia Paulo E Silveira 9 3o Passo Aplicar a Transformada Inversa de Laplace e obter o resultado yt 1 y t Y s L Note que a resposta completa formada pelas respostas forçada e natural são obtidas simultaneamente Isto é uma vantagem quando comparada a outros métodos tradicionais de resolução A obtenção da transformada inversa muitas vezes requer a realização de uma expansão em frações parciais para facilitar a utilização de funções tabeladas Exercícios 1 Resolver as equações diferenciais utilizando Transformadas de Laplace 𝑑𝑦𝑡 𝑑𝑡 2𝑦𝑡 𝛿𝑡 𝑦0 0 𝑦𝑡 2𝑦𝑡 𝛿𝑡 𝑦0 5 5𝑦𝑡 7𝑦𝑡 2 𝑡 3 𝑢𝑡 𝑦0 4 2𝑦𝑡 8𝑦𝑡 3𝑦𝑡 3 𝑢𝑡 𝑦0 𝑦0 0 2𝑦𝑡 4𝑦𝑡 3𝑦𝑡 3 𝑢𝑡 𝑦0 𝑦0 0 𝑦𝑡 2𝑦𝑡 51 𝑒2𝑡 𝑢𝑡 𝑦0 0 Referências Bibliográficas DAZZO John J HOUPIS Constantine H Análise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares 3a Ed Editora Guanabara DORF Richard C BISHOP Robert H Sistemas de Controle Modernos 8a Ed Editora LTC Rio de Janeiro 2001 FRANKLIN Gene F POWELL J David EMAMINAEINI Abbas Feedback Control of Dynamic Systems 3rd Ed AddisonWesley 1994 OGATA Katsuhiko Modern Control Enginnering 3rd Ed PrenticeHall 1997