Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

Modelagem matemática de sistemas dinâmicos aula do dia 169 Modelos matemáticos de sistemas A análise e projeto de sistemas de controle requer que tenhamos modelos matemáticos quantitativos dos sistemas físicos que queremos controlar Um modelo matemático pode consistir em equações diferenciais eou algébricas A solução dessas equações descreve a dinâmica do sistema ou seja como o sistema responde à sua entrada esperada Um sistema pode consistir em um único componente ou pode consistir em muitos tipos diferentes de componentes mecânicos elétricos hidráulicos térmicos etc Sistemas lineares e não lineares Um modelo matemático pode ser linear ou não linear dependendo do sistema e da faixa de operação que está sendo modelada Se um sistema não for linear pode ser possível linearizar o modelo antes de aplicar a análise do sistema linear A extensão em que esta abordagem é aplicável depende da força e do tipo de não linearidades Modelos matemáticos podem ser desenvolvidos usando princípios físicos Usando esta abordagem o engenheiro escreve as equações diferenciais eou algébricas que são utilizadas para descrever a dinâmica do sistema Função de transferência As transformadas de Laplace são usadas para converter as equações diferenciais em funções de transferência Esta abordagem é limitada pela capacidade do analista de descrever a física do sistema especialmente para sistemas complexos e estimar todos os parâmetros importantes Exemplo sistema massamolaamortecedor Consideremos um corpo de massa m suspenso por uma mola e um amortecedor m massa do bloco k constante elástica da mola c coeficiente do amortecedor Rt força externa entrada lu comprimento não esticado da mola xeq posição de equilíbrio da massa x posição da massa em relação a posição de equilíbrio saída ሶ𝑥 velocidade da massa ሷ𝑥 aceleração da massa Equilíbrio estático do sistema Usando as equações de equilíbrio estático podese mostrar que a posição de equilíbrio do sistema sob seu próprio peso é Equação de movimento Usando a segunda lei de Newton podese mostrar que a equação diferencial do movimento é onde x é medido a partir da posição de equilíbrio Observe que as forças estáticas não estão presentes nesta equação A solução desta equação descreve a resposta forçada do sistema A resposta natural do sistema é descrita resolvendo a equação com entrada nula Rt 0 Parâmetros do sistema A massa do sistema m a constante elástica da mola k e o coeficiente de amortecimento c são os parâmetros do sistema Os dois primeiros são geralmente mais fáceis de medir ou estimar do que o terceiro Equação e resposta característica do sistema A equação diferencial do movimento representa um modelo matemático do sistema Tem três tipos diferentes de soluções dependendo dos valores dos parâmetros m c e k O tipo de solução é determinado pelas raízes da equação característica do sistema Para o sistema molamassaamortecedor podese mostrar que a equação característica é ou onde e Raízes da equação característica Em geral as raízes da equação característica podem ser escritas na forma As raízes podem ser reais ou complexas dependendo do valor de A tabela abaixo mostra os três tipos possíveis de movimentos Amortecimento Tipo de raiz Tipo de movimento Forma da solução complexa conjugada subamortecido reais distintas superamortecido reais iguais criticamente amortecido