Slide Flexão Pura-2021 1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Prof. Dr. Marcelo Carreira Prof. Dr. Marcelo Carreira Março de 2021 Março de 2021 EA35F – Resistência dos Materiais EA35F – Resistência dos Materiais 1 Objetivos Objetivos Analisar a distribuição de tensões em elementos fletidos Calcular tensões e o raio de curvatura em vigas sujeitas a flexão pura Dimensionar vigas a tensão normal Demonstrar a aplicação da teoria na solução de exemplos 3 A barra se curva fomando um arco de círculo Os planos das seções transversais passam pelo centro do círculo A face superior encurta (compressão) e a face inferior é alongada (tração) Deve haver uma linha nêutra entre as faces superior e inferior na qual não há variação no comprimento Flexão pura de vigas com um plano de simetria Fonte: [1] Flexão pura Flexão pura 4 5 Deformacao devida a flexao Deformacao devida a flexao ) ) Considere um segmento de Lembrando que o comprimento inicial da linha ef 6 dx, a deformacao dessa A m p B ae comprimento dx . linha é igual a: M f M } | \ . . 7 | : > -,|o\ Apos a deformagao, o L,—-dx [1-2] ar—as | ; \ comprimento da linha néutra é,=— € = 7 - * = permance dx. dx dx ~~ 0 : A deformagao é diretamente fi ° comprimento Se Eliminando dx encontramos: €,=— x proporcional a coordenada y jo apos a flexao é x p . . P| ; (a partir da linha néutra) | L_ do L = (p-y)do y A ! B Sy ae Lembrando que d0@= a y Pma.c My | | fF M €=-a C i _ 4) p 7 P s dx el L,=(p-»)% wenn fen n Fonte: [3] Pp LN i fi a “Nt . p mat * Observacdao: considerando momento fletor positivo ~ = 4 = 6 ~ = 4 = 7 Tensoes no regime elastico Tensoes no regime elastico Se o, < o, entao vale a lei de Hooke: go =E-¢, Que resulta em: 4 y dA=M Lembrando que é,=- 5 escrevemos: o, =H y (4) A tensao normal varia linearmente com a 2 ETI o * coordenada y em relagao a linha néutra Mas f y dA=I1, , logo: op =, __ Evy X,max,c 0.=— —~- eee ete : E_M, 5 LN Ou ainda p =—T (5) Zz oO». max, t M ° Substituindo (5) em (4) encontramos: G@ —~ 42 y (6) * I Da equagao (3) do slide 2 temos: —| 0, ydA=M, _-E ° Entdo, substituindo (4) em (3) encontramos: J E-t-y dA=M, ar = 8 ~ = ar = 9 Tensoes no regime elastico Tensoes no regime elastico Substituindo (4) na 12 equagao de equilibro do slide 2 temos f 5 -ydd =0 Observagoes a respeito da Equacao 6. Ou aind E f dA=0 a M. JY u ainda: — = =—-——_ psy x I. O equilibrio so sera satisfeito se J» dA=0 ,ouseja,se OQ. =0. . y= coordenada do ponto onde a tensao é calculada e, portanto, deve levar sinal; Logo, 0 eixo z € um eixo baricentral. Isso significa que a linha néutra passa * deve-se considerar o sinal do momento fletor. pelo CG da sec¢ao transversal a Alternativamente pode ser adotada a seguinte abordagem: y Ey O*x _ -\4 |M__|-| y| go =+ (7) I, < z=LN oe y _ May * y =distancia do ponto onde a tensao é calculada (valor em mddulo); M EO Ox ° p I, * Momento fletor em méddulo; * A tensao sera “+” se for de tragao e “—“ se for de compressao . 10 11 Exemplo 1 Exemplo 1 Uma barra de ferro fundido é submetida a um Solugao: momento fletor de 3 KN-m como mostra a M =3kN figura. Sabendo-se que EF = 165 GPae ™ °* “a a) ignorando o arredondamento das bordas da NS Posicao do eixo baricentral z secao determine: — 90 mm — a)As maximas tensdes de tracdo e de F a compressao; t _ }20 a b)O raio de curvatura da barra -_— 90 mm —il Y, =50mm fz — 40mm —— | Yy | 20 mm La —————— — iz | y, = 20mm | {0 mm 7 30 mm > | | A,-y; bs yo _ Ff (90-20)-50+(40-30)-20 _ a vA, (90-20)+(40-30) i=l Fonte: [1] 12 13 Exemplo 1 Exemplo 1 Calculo da tensao normal Momento de inércia em relagao ao eixo baricentral z . . yA Maior tragao A 12mm ; y ee A 9 2—_—_ ———_Y__ mm 18 mm | . 1 ~ X M.-y : Y= 38mm Zz 0 ».=+|——_ y M, 38mm I, v 3 3 T= 90:20" 1800-12 ar 30°40" 1200-18 12 12 Maior compressao I, =868x10°mm* 3x 10°-22 Maxima tensdo de tracdo O nix,t= >>> 3 = 16,0MPa_ (Resposta) . “ 368x10° 3x 10°-38 Maxima tenséo de compressé0 0,4, -=———g = — 131,3 MPa 868 x 10 (Resposta) 14 15 Exemplo 1 Exemplo 2 b) Uma viga simplesmente apoiada de secgao transversal retangular tem comprimento L=5 me suporta 0 carregamento mostrado na figura. Sabendo-se que a tensao E M, El, normal admissivel na flexdo 6 o,,,,=110 MPa e que b=50mm , calcule a p _ I p= M menor altura / admissivel para a secdo transversal. Especifique a resposta em Zz Zz multiplo de 50 mm. 165X 10°-868X 10° «1t4m, p= 1OdX10 86810 _ 4774105 mm (Resposta) 3x10 P=25 kN q=4kN/m Secdo transversal A | vvevspevysevpevyvy yv | h eee AS | = by le L=5m | 16 17 Exemplo 2 Exemplo 2 Solugao: Diagramas de esforgos internos Reagdes de apoio _ 14m. Esforgo cortante (kN) _ L4m ) > F,=0 A,=OkN 5, poaskw . V2,=17 q=4kN/m | ‘ Vé,=17—4-3,6=2,6 P=25kN q=4kN/m | > M,=0 { vvevepvepy=pwt«\*y yv | Vo3=2 6—25=-22.4 A | yovovovvvviy \ —A,:5+4-5-2,5+25-1,4=0 ve 32.45 —4-1.4 38 _, | - | _ =—29,45—4-1,4=- a er sa conn A, B, . L=5m . . L=5m | » F,=0 A,+B,=4-5+25 "7 + 2,6 | v(kN) B,=28kN —22,4 i ~28 18 19 Exemplo 2 Exemplo 2 Momento fletor (kN-m) 14 Propriedades geométricas da segao transversal P=25kN —_ he he : ya _b-h _50-h? 3 Ss, * S, S, M,,=0 1 . _ = T= P67 h q=4kN/m ° ° Cc dH yvvvvyvyoy=ql\by y | en h ‘ ae _h —(4-3,6-1,8)=35,28 7 Mg, C9 an |>,<2009 My,=0 ~ " b=50mm l L=5m a Dimensionamento a tensdes normais - I Mn , Mt + Momento maximo Can < cam oO — Minin’ € a 35,28 x 10 ‘h 6,48 35,28) 0,98 at I, at 2-4,167 h? 20 ar Lond = ar = 21 Exemplo 2 Flexao obliqua em segao simétrica 6 Segdes com um eixo de simetria e momento fletor no eixo z _ 4,233 X10 Og pe vi} Onise 7 4 yo = 6 tT |e. 4,233 X10 <110 h°>3,848x10* h2=196,2mm M i} Onis 2 _ _— . ~ h h=200mm (Resposta) LN coincide com a linha de agao de M Secdes com um eixo de simetria e momento fletor obliquo a esse eixo y M, ‘Z M.. y = oO, = eZ <> z M y: coordenada medida a partir ° y do eixo principal z até ponto A; A pe ci i cd I, iz z: coordenada medida a partir z do eixo principal y até o ponto Posigao da LN ? A. ~~ ar ~~ = rT = 22 23 Flexao obliqua em secao simetrica Exem plo 3 Posigao da linha néutra \ M,-z M.-y Uma viga com segao transversal T esta y d \ y O,=-—— + Fazendo o , =( temos: sujeita a um momento fletor de 1,0 B = 20° I, I, kN-m como mostra a figura. Determine: nT Ly a) As tensédes normais nos M=1,0 kN-m TF ~._M M of 7 _af. pontos A, B e D; 75 << _My2 M.-Y _¢ M,=M -sené b) o Angulo da linha néutra ™ a z M, ay y I, L M,=M-cos0 com 0 eixo horizontal. B fo A) B . 75 \ _(M-sen@)-z 4 (M_-cos8)-y _ 0 Dimensdes D | 7 \ IN I, L, em mm If | 50: 100 (M-sen0)-z (M-cos6)-y senO-z _ cos@-y senO-I, _ y I, I, I, I, cosO-I, Zz tgp i tg0 Observar que ¢ e 6 sao medidos a partir do eixo principal z I, Fonte: [1] 24 25 Exemplo 3 Exemplo 3 Componentes do momento fletor Inclinagao da linha néutra =M. —10- -= . I M,=M-cos f£ =1,0-cos20° =0,94kN-m te ="=.-1¢0 top = 34,37 120° ted = 0,500 M, =M-senf =1,0-sen20° =0,34kKN-m I, 25 Tensdes normais =tg '(0,500) $= 26,58" — (Resposta) M.-z . 10°. 10°. y o, = Moz May __034:10°100 _0,94:10°-25 __ oy ngpa ty a I, L, 25-10 34,37-10 ~ (Resposta) M=L0KN -m ] / M,-z M.- 4-10°-1 4-10°-2 bss. 75 o, = Moz, Med __0,34:10'-100 | 0,94:10°-25 __ 9 cg napg ™e 4 I, I, 25-10 34,37-10 . {so (Resposta) ‘ M,-z M.-y 0,34-10°-0 0,94-10° -100 a 75 O,) =—— + 5 5 ot _ = 2,73 MPa i 6 = a 25-10° | 34,37-10° Dimensdes pt . . (Resposta) mm | 50 100 26 27 Exercicios Exercicios 1) Uma cinta de ago, originalmente reta, passa por uma polia com 203,2 2) Uma viga em balango tem comprimento L = 2 m e suporta uma forcga mm de diametro quando instalada em uma serra de fita. Determine a concentrada P = 8 KN na extremidade livre como mostra a figura. A viga tensao maxima nessa cinta, sabendo que sua espessura é de 0,457 é feita de madeira e a secao transversal tem dimens6es de 120 mm x mm e sua largura de 15,88 mm. Use E = 200 GPa. 200 mm. Calcule a maxima tensao normal na viga. P=8.0 kN __ ho KIS | pod _— yi aia STL — OU — L=2m __d |. > 120 mm 0,457 mm | Le Resposta: on, = +449,8 MPa Fonte: [1] Fonte: [3] 28 29 A it A it Exercicios Exercicios 3) Uma viga simplesmente apoiada de secao transversal retangular e vao de 1,2 m suporta, alem de seu peso Proprio, uma forga 4) A viga tem secdo transversal . concentrada P no meio do vao como mostra a figura. As dimensoes retangular. Se estiver sujeita a um . da secao transversal sao 140 mm x 240 mm. O peso especifico da moment fletor M = 3500 N-m direcionado MN ; madeira usada 6 5,4 kN/m°. Calcule a maxima intensidade admissivel como mostra a figura, determine a <_ 150mm Za da carga P sabendo-se que a tensao admissivel da madeira tensdo de flexdo maxima na viga e a Gi empregada € 0,,,,,=8,5 MPa. orientagdo do eixo néutro. | NS Li 150 mm - M = 3500 N-m 4 SLA > aie , C x ~ ~ 30° | a Respostas: 150 mm 4 ° EF y 4 LE) (40 mm Sma, = +2,90 MPa ZA <> a. = -66,6° com 0 eixo z 140 mm |— 0.6 m—> — 0.6 m— Fonte: [3] Fonte: [2] 30 31 Exercicios Referéncias 5) ONMCmenonviae aplicado 2 viga de ; [1] Seon mena ponnston Jr. E. Russel. (1995). Resisténcia dos Materiais. 3? ed. Pearson. secao transversal mostrada na figura em M = 15kN-m a [~— um plano formando um angulo B com a \ B= 1D? [2] HIBBELER, Russell Charles. Resisténcia dos materiais. 7.ed. ed. Sao Paulo : Pearson Prentice vertical. Determine a tensao no (a) ponto MV Py Hall, 2015. 637 . p. A, (b) ponto B e (c) ponto D. A | B { y 1 [3] GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecanica dos Materiais. Editora Cengage Learning, 2012. 70mm 50mm i | yo : [4] BEER, Ferdinand P.; E. JOHNSTON, Russell Jr., DEWOLF, John T.; MAZUREK, David. F.. D MecAnica dos Materiais. 5. ed. McGraw-Hill, 2011. | | 120 i <— 140 mm ——| Respostas: (a) 65,8 MPa. (b) 164,5 MPa. (c) 65,8 MPa. Fonte: [4]