Mecanica dos Fluidos - Exercicios Resolvidos e Conceitos Fundamentais

Ordinario pz 20142015 V x 5x2 2x3 V2 5x1 x2 3x3 V3 2x1 3x2 x3 a Gradiente de v b Divergencia b 1 c Rote sgm 3 ant de a v vixi vi vixi v1x1 v1x2 v1x3 v2x1 v2x2 v2x3 v3x1 v3x2 v3x3 1 5 2 5 1 3 2 3 1 b v1 Trv 3 c x v x v 52 x v 52 12x vx vᵀ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x v 52 12x vx vᵀ 0 2 5 0 3 2 3 0 2 Considerar las ec de movimiento x1 x1 x2 x2 12 x3 x3 x3 12 x1 a Valores de t0 para que exista movimiento o tenga sentido fisico b Velocidad en derivip Lagrangiana y Euleriana c Ecuacion de la trayectoria d Para valores de t Jacobiano 0 JF xiXj 1 0 0 0 1 12 0 12 1 1 14 30 t2 0 t 2 b Vel Lagrang x F x x F¹ x F¹ F¹ 1F adjF 1F cofFᵀ F¹ 1F 1 12 0 12 1 0 12 0 1 0 12 0 1 0 12 1J 1 14 0 0 1 t2 0 t2 1 x1 x2 x3 1J y 0 0 0 1 12 0 12 1 x1 x2 x3 x1 x1 x2 x2 12 x3 2 x2 t x32 t2 x3 x3 x2 x22 t2 14 x3 Vel Euler Vi xit 0 v2 x2t 2 x3 x14 v3 x3t 2 x3 x1 c Para obtener la trayectoria eliminar t x1 x1 x2 x2 12 x3 t 2x2 x1x3 t1 2x2 x1x3 2x3 x3x2 x2 x2x2 x3 x3x3 x3 x1x3 x2 x2²x3 x3 3 Campo del tensor de tensiones de Cauchy en medio continuo σijx 3x1 5x2 0 σ21 3x2 x2 σ31 σ32 0 MPa a Fuer mísicas por vd de volumen para equilibrio b Rn el punto 110 b1 Dibujar círculo de Mohr obtener tensiones tangencial y normal máximas b2 Obtener el vector tensión en el plano de la normal âi 13 13 13 b3 Obtener compen normal y tangencial en el plano anterior a σij 3x1 5x2 0 5x2 3x2 2x3 0 2x3 0 Fuerza mísicas por unidad de volumen pls Quiere decir que hay un fuente Para equilibrio σ p0 0 σ11 σ12 σ13 pb1 σ21 σ22 σ23 pb2 σ31 σ32 σ33 p b3 3 10x2 pb1 3 2 pb2 0 pb3 pb 10x2 3 5 0 b P110 b1 σij 3 5 0 5 3 0 0 0 0 3 λ 5 5 3 λ 0 λ² 6λ 16 0 λ λ1 8 λ2 2 σmx 8 22 5 MPa σmn 8 2 10 MPa b2 Teniendo en cuenta que t1 σij âj y que âi 13 13 13 13 1 1 1 t11 t21 t31 13 3 5 0 5 3 0 0 0 0 1 1 1 13 8 8 0 t12 13 8 8 0 b3 Tensión normal σn t1 âi 13 13 8 8 0 1 163 Como t1² σ² σn² σt² t1² σn² σ² t1 t1 σn² 13 13 8 8 0 8 8 0 163² 1283 2569 1289 σ5 1289 1283 4 41 a Qué es necesario par definir el estado tensional en un punto b En qué configuración se define el tensor de tensiones de Cauchy 42 El campo de tensiones de Cauchy en un medio continuo σijx 3x1 5x2 0 σ21 3x2 2x3 σ31 σ32 0 a Obtener fuerzas mísicas para equilibrio b Para P110 b1 Círculo de Mohr Tensiones tangencial y normal máximas b2 Vector tensión en el plano ortogonal a âi 13 13 13 b3 Obtener tensión normal y tangencial en el plano anterior 41 a El estado tensional en un punto Pxt estará completamente definida cuando desde cualquier plano que pase por ese pto se pueda obtener el vector tensión Tx n Cauchy demostró que si definimos un vector tensión en 3 planos perpendiculares entre sí pasando por un pto Px t el estado tensional en dicho punto estará completamente definido b Es La Configuración Actual deformada 42 a σijx 3x1 5 x2 0 5x2 3 x2 2x3 0 2x3 0 Fuer mísic por vd vol plt existe un fuente Para equilibrio σ p0 0 σ11 σ12 σ13 pb1 σ21 σ22 σ23 pb2 σ31 σ32 σ33 pb3 3 10 x2 pb1 3 pb2 0 pb3 pb 3 10x2 3 0 b P1 1 0 σij 3 5 0 5 3 0 0 0 0 b1 Sabemos que 0 es autovalor 3 λ 5 5 3 λ 0 λ² 6λ 16 0 λ λ1 8 λ2 2 Autovalores 2 0 8 σmm 8 2 10 τmn 8 22 5 b2 Sabiendo que t1 σij âj âi 13 13 13 13 1 1 1 t1 t2 t3 3 5 0 5 3 0 0 0 0 13 1 1 1 13 8 8 0 t12 13 8 8 0 53 sigmax t11 hate1 t112 sigma2 sigma12 sigma22 t112 sigma22 sigmax t11 hate1 frac1sqrt3 frac1sqrt3 s otimes sigma beginbmatrix 1 1 1 endbmatrix frac1sqrt3 sqrt3 3 frac33 1 sigma2 t11 t11 sigma12 frac1sqrt3 sqrt3 s otimes sigma beginbmatrix frac35 frac35 0 endbmatrix leftfrac165right2 frac1283 frac2569 frac1259 sigmax frac sqrt128 3 5 Considerar las siguientes ecuaciones de movimiento x1 X1 x2 X2 frac12 x3 x3 x3 frac12 X2 a Es posible el movimiento b Determinar las componentes de velocidad en descripción Lagrange y Euler c Obtener el gradiente de deformaciones Hallar trayectorias a Para que sea posible J 0 J F leftfracpartial xipartial Xj right beginvmatrix 1 0 0 0 1 frac12 0 frac12 1 endvmatrix 1 frac122 1 frac14 0 rightarrow 0 t 2 para exists movim b forall Lagrange barx F barX dotbarx F1 dotbarx F1 dotF F1 cdot omega3F frac1F left omega3 F right V1 fracpartial x1partial t 0 V2 fracpartial x2partial t fracx32 V3 fracpartial x3partial t fracx22 F1 frac1F beginbmatrix 1 frac12 frac12 0 1 0 frac12 0 1 endbmatrix frac1J beginbmatrix 1 frac14 0 0 0 1 frac12 0 frac12 1 endbmatrix left beginmatrix x1 x2 x3 endmatrix right frac1J left beginmatrix 1 0 0 0 1 frac12 0 frac12 1 endmatrix right left beginmatrix x1 x2 x3 endmatrix right beginbmatrix x1 x1 x2 fracx3 frac12 x31 frac14 frac2 x3 fracx322 frac12 x3 fracx3 frac12 x21 frac14 frac2 x3 fracx222 frac12 endbmatrix rightarrow Vel Euler V1 0 V2 frac2x3 x14 1 V3 frac2 x3 x24 t2 c Para obtener la trayectoria eliminar t begincases x1 X1 x2 X2 frac12 X3 t frac2x x1x3 t t eq frac2x3 x1x2 x1 x1 x2 x3 x3 x3 x3 x3 frac12 X2 t frac2 x3 x1x2 x3 fracx1x3 x2 fracx12x3 x3 endcases