Prova 2 Parcial - Campos Vetoriais e Tensores - 2015-2016

Ordinario 20152016 2 Parcial a Demostrar que si el modulo de un campo vectorial uxt es de en el tiempo eso implica que u es ortogonal a ut por todo tiempo t b Sean la velocidad v en funcion de x v vx y sus componentes v1 x1 x2 2x3 v2 x1 x2 3x3 v3 2x1 13x2 x3 b1 obtener el gradiente de v b2 obtener x v 1 c Demostrar que c1 x x ϕ x2 ϕ c2 x ϕμ μ xϕ ϕ x μ c3 x x x a x x a x2 a d Dado un campo vectorial vx demostrar que se cumple la siguiente relacion x x x v 12 x v2 v x a a u2 u u u2t u ut ut u u ut 2u ut 0 u ut u ut b 1 x v vxi x vi vixi vixj v1x1 v1x2 v1x3v2x1 v2x2 v2x3v3x1 v3x2 v3x3 1 1 25 1 32 3 1 c 2 x v 1 Tr x v 3 c 4 x x ϕ xj ei ei ei xj ϕ δij ϕxj δij xj ϕxj 2 ϕxj2 x2 ϕ 2 x ϕ μi ϕ μi ϕi μ ϕ μi ϕ μi ϕ x μi 3 Como x x ai εijk αkj x x x aq εqai ie εqai εijk αkj e εqai εijk αkj e δij δek δik δej δij δek αkj e δqk δej αkj e αk κeq αq kee εqai εjki δqj δek δqk δej x x a x2 a d σ trσ3 1 50 1 50 0 00 50 00 0 30 σij σij σ11 7 24 024 0 00 0 7 c σija 7 24 624 0 00 0 7 Sabemos que 7 es autovalor y está asociado a un autovector a1 0 0 1 7 λ 24 0 λ2 71 576 0 λ1 2775 λ2 2075 Para λ1 7 λ1 2424 λ1 A1 2075 A1 24 A2 0 A1 A1 1 242075 A12 A1 1 A1 0654 A2 0757 A21 0757 0654 0 Para λ2 hacer desarrollo λ1 0654 0757 0 h No podemos saberlo solo sabemos el estado tensional en un punto i No porque hay tensiones principales 3 Considerando las ecuaciones de movimiento x xt y el campo de temp Txt x1 x1 1t x2 x2 1t x3 x3 Tx x1x2x3 Encontrar la tasa de cambio de un punto P en t1 s Dicho punto P en t00 estaba en x13 x21 x30 Vamos a encargarlo en la descripcion lagrangiana y euleriana Txt x12 x22 Txxtt x11t2 x21t2 x12 12t t2 x22 12t t2 Txt parc Tt 2 x12 1t 2 x22 1t p310 Tsec 2 32 2 1 2 40 Tt 2 x11t2 1t 2 x21t2 1t p620 Tsec 2 622 2 2 222 2 40 41 a Qué es necesario para definir el estado tensional en un punto b En qué coeficiente se define el tensor de tensiones de Cauchy 42 El campo de tensiones de Cauchy en un medio continuo es σijx σ11 5x2 0σ21 3x1 2x3σ31 σ32 0 a Obtener las veces micas para que está en equilibrio b Para P110 b1 Cáculo Mbor tensiones tangencial y normal máximas b2 Obtener el vector tensión en el plano oblicuo a n1 16 15 15 b3 Obtener tensión normal y tangencial en el plano anterior 41 a El estado tensional en un punto Px t está completamente definido cuando dado cualquier plano que pase por ese punto se puede obtener el vector tensión f x n Cada demostra que si definimos el vector tensión en 3 planos perpendiculares entre sí puesto que un punto Pxt el estado tensión en dicho punto estará completamente definido b c L configuración actual deformación 42 σijx 3x 5x 05x 3x 2x0 2x3 0 En México por no se rolipl existe una fuente Ra equilibrio x σ ρf 0 σ11 σ21 σ31 pb 3 10x2 pb σ21 σ22 σ23 pb2 3 pb2 σ41 σ21 σ53 pb3 0 pb3 pb1 3 3 0 P110 σij 3 5 05 3 00 0 0 b1 Sabemos que 0 es autovalor 3 λ 5 0 λ2 61 16 0 λ2 8 Autovalores 2 0 8 σ max 8 2 30 σ min 8 2 2 5 b2 Sbkçao qe t1 σ₁ ŷ s ŷ c15 215 415 215 111 t₁1 115 3 5 0 5 3 0 0 0 1 1 1 1 215 8 8 0 t₁1 215 8 8 0 53 σₜ t₁4 ŷ t1² σₜ η Ct σₜ t t4² σₜ ² σₙ t₁4 ŷₜ 215 415 8 8 0 2216 1515 64 3 σₜ² t₁4 t₁4 σₜ² 615 415 8 8 0 8 8 8 643² 5123 40469 σₛ Ars 3 Considera los sig re de movimiento x₁ X₁ x₂ X₂ t2 X₃ x₃ X₃ 12 X₂ a Es posible el minimiado b Determir campos de Veloc en desacip lograr y Evol d obtem gradiente de deform Jacob trace g ser 0 a J F xᵢ Xⱼ 1 0 0 0 1 t2 0 t2 1 1 t2² 1 t²4 0 t 0 2 Para que exista minim t 0 2 b Vel legra x₁ F Ẋ Ẋ F¹ x F¹ V₁ x₁ t 0 V₂ x₂ t x₃ 2 V₃ x₃ t x₂ 2 F¹ 1F adsF 1F cofFᵀ ¹ʲ 1 t2 t2 1¹ᵀ ¹ʲ 0 t1 0 12ᵀ 1j 0 0 0 1 0 1 0 0 1j 1 t2 0 0 0 1 12 0 12 1 x₁ x₂ x₃ ¹ʲ 1 0 0 0 1 12 0 12 1 x₁ x₂ x₃ x₁ x₁ x₂ 2x₂x₃ t 2 t2 x₃ 2x₃ x₁ t 2 t2 Vel Golon V₁ x₁ t 0 V₂ x₂ t 2x₃ x₁ t t t² V₃ x₃ t 2x₂ x₁ t t t²