Avaliação 2 Resolvida-2022 2

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - CAMPUS TOLEDO ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO FÍSICA III PROVA II 1) (2,0 pontos) Mostre a capacitância de um capacitor cilíndrico de comprimento L, formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b, conforme figura abaixo, é C = 2πε₀ \frac{L}{\ln(b/a)} \quad (1) e que a energia armazenada no mesmo é U = \frac{q²}{4πε₀L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \quad (2) Desconsidere efeitos de borda. 2) (1,5 pontos) Dados 3 capacitores de 2 μF cada. (a) Esquematize de três formas diferentes como eles podem ser ligados entre si e calcule a capacitância equivalente em cada caso. (b) Repita a questão para o caso de três resistores de 2 Ω. 3) (2,0 pontos) Um bloco retangular tem seção transversal de área 5 cm², comprimento de 15 cm e uma resistência de 900 Ω. o bloco é feito de um material que tem 5,33 × 10²² elétrons de condução por m³. Uma diferença de potencial igual a ΔV = 35 V é medida em suas extremidades. (a) Qual é a corrente no bloco? (b) Sabendo que a densidade de corrente é uniforme, qual é o seu valor? (c) Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução? (d) Qual é o campo elétrico no bloco? 4) (2,5 pontos) No circuito abaixo, determine: (a) o valor da corrente em cada ramo, (b) a diferença de potencial sobre R₁ e (c) a potência dissipada em R₃. Sendo ε₁ = 15 V, ε₂ = 10 V, R₁ = 1 Ω, R₂ = 2 Ω e R₃ = 3 Ω. 1) De acordo com a Lei de Gauss, ∮ \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{ε₀} \quad \quad q = ε₀ \cdot E \cdot A A área da superfície gaussiana é 2πr.l , então o campo elétrico é dado por E = \frac{q}{2πr l ε₀} Lembrando que a diferença de potencial entre as placas do capacitor é V_{f} - V_{i} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{s} então V = - \int_a^b \frac{q}{2πr l ε₀} dr \quad \rightarrow \quad V = \frac{q}{2π l ε₀} \ln \left( \frac{b}{a} \right) Lembrando que a capacitância é C = \frac{q}{V} \therefore C = \frac{q}{\frac{q}{2π l ε₀} \ln \left( \frac{b}{a} \right)} \quad \rightarrow \quad C = 2π ε₀ \frac{l}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} Sabendo que a energia potencial armazenada é dada por U = \frac{q²}{2C} \quad \rightarrow \quad U = \frac{q²}{2 \cdot 2π ε₀} \cdot \frac{l}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} \quad \rightarrow \quad U = \frac{q²}{4π ε₀ l} \ln \left( \frac{b}{a} \right) RA: 2370476 2) a) 3 em série: 2μF - 2μF - 2μF \rightarrow \quad \frac {1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad C_{eq} = \frac{2 \mu F}{3} 3 em paralelo: 2μF │ 2μF │ 2μF \rightarrow \quad C_{eq} = 6 \mu F 2 em paralelo com 1 em série: 2μF │ 2μF - 2μF \rightarrow \quad \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad C_{eq} = \frac{4 \mu F}{3} b) Da mesma forma temos para os resistores: 3 em série: 2Ω - 2Ω - 2Ω \rightarrow R_{eq} = 6 Ω 3 em paralelo: 2Ω │ 2Ω │ 2Ω \rightarrow \quad \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad R_{eq} = \frac{2}{3} 2 em paralelo com 1 em série: 2Ω │ 2Ω - 2Ω \rightarrow \quad R_{eq} = 3 Ω 3) A = 5 cm² l = 15 cm R = 900 Ω ΔV = 35 V a) V = R \cdot i 35 = 900 \cdot i \quad i = 0,038 A b) R = \frac{\rho \cdot l}{A} \quad \rightarrow \quad 900 = \frac{\rho \cdot 0,15}{5 \cdot 10^{-4}} \frac{4,5 \cdot 10^{-4}}{45,10^{-7}} = \rho \quad \rightarrow \quad \rho = 3 \Omega \cdot m E = \frac{V}{d} \quad \rightarrow \quad E = \frac{35}{0,15} E = 233,33 \frac{V}{m} RA: 2370476 Como \vec{E} = \rho \vec{J}, onde \vec{J} é a densidade de corrente, então, \vec{J} = \frac{\vec{E}}{\rho} \rightarrow \vec{J} = \frac{233,33}{3} \rightarrow \vec{J} = 77,7 \frac{V}{\Omega \cdot m^{2}} c) v_d = \frac{\vec{J}}{n \cdot e} v_d = \frac{77,7}{399,75\cdot 10^{16} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} v_d = 0,124 \cdot 10^{a} v_d = 124,1 \frac{m}{h} V = 5,45 = 75 cm^{3} = 75 \cdot 10^{-6} m^{3} x = 399,75 \cdot 10^{16} e^{-1} 1 m^{3} \quad 5,33 \cdot 10^{22} e^{-1} 75 \cdot 10^{-6} \quad x x = 399,75 \cdot 10^{16} e^{-1} d) Calculado na alternativa B. [picture of a circuit] [i_1 + i_3 = i_2] Pela lei de Kirchhoff, a malha da esquerda a partir do ponto b \varepsilon_1 - (i_1 R_1 + i_3 R_3) = 0 \rightarrow 15 - i_1 \cdot 1 + i_3 \cdot 3 = 0 \rightarrow 3i_3 - i_1 = 15 Agora pela malha da direita a partir do ponto b, \left(-i_3 R_3 - (i_2 R_2 - \varepsilon_2 = 0 \rightarrow -i_3 \cdot 3 - i_2 \cdot 2 - 10 = 0 \rightarrow 3i_3 + 2i_2 = -10 3i_3 + 2i_1 + 2i_3 = -10 3i_3 + 2i_2 = -10 [i_3 = \frac{-10 - 5i_3}{2}} 3i_3 = \left(\frac{-10 - 5i_3}{2} \right) = 15 3i_3 + 10 + 5i_3 = 15 \rightarrow 3i_3 + 5 + 2,5i_2 = 15 5,5i_3 = 10 [i_3 = \frac{10}{5,5}] \ldots A i_1 = \frac{-10 - 5i_3}{2} [10] - [9,54 = i_2] [i_2 = 7,73 A] RA: 2370476 5 2 k\Omega \quad 6 mF \quad 10 V \varepsilon - i R - \frac{q}{C} = 0 R \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = \varepsilon Resolvendo esta equação temos [q = C \cdot \varepsilon \left(1 - e^{-t/RC}\right)] Para t = \infty, q = C\cdot \varepsilon \rightarrow q = 6 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \rightarrow q = 6 \cdot 10^{-2} C \text{carga máxima do capacitor} [i = \frac{dq}{dt}] \rightarrow i = \left(\frac{\varepsilon}{R}\right) e^{-t/RC} \rightarrow \text{A reluta max. é quanto } t=0, \text{ logo} [i_{max} = \frac{\varepsilon}{R}] \rightarrow i_{max} = \frac{10}{4 \cdot 10^{3}} = 2,5 \cdot 10^{-3} A Após 50 min, $q = 6 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \left(1 - e^{-50 \cdot 60/4\cdot 10^{3} \cdot 6\cdot 10^{-3}}\right) \rightarrow q = 6 \cdot 10^{-2} \cdot \left(1 - e^{-50\cdot 10^{-3}/24}\right) \rightarrow q = 1,24 \cdot 10^{-4} C$ Após 1h da chave ser fechada, [ir = 20] \cdot \frac{30}{4 \cdot 10^{3}} \cdot e^{-150/4\cdot 10^{3}\cdot 6\cdot ≠10^{-3}} \rightarrow \begin {{-150}} \cdot -68 \rightarrow i = 1,7 \cdot 10^{-2} A \neq 0A 6) Digamos que um resistor é ôhmico quando a relação entre a ddp e a corrente elétrica é constante. Agora caso um resistor não tenha esta razão constante, ele não é ôhmico. Gráficos: [Resistor ôhmico] 3V 2V 1V i1\quad i2\quad i3 Resistor não-ôhmico RA: 2370476