Prova 1 Resolvida-2022 1

UNIVERSIDADE TECNOL´OGICA FEDERAL DO PARAN´A - CAMPUS TOLEDO CURSO ENGENHARIA DA COMPUTAC¸ ˜AO F´ISICA III Prova 1 • A prova ´e individual, quest˜oes iguais ser˜ao automaticamente zeradas. • Certifique-se que o arquivo escaneado est´a leg´ıvel, tem seu nome e est´a com todas as p´aginas. • Boa sorte! 1. Considere uma esfera maci¸ca isolante, de raio a, que ´e concˆentrica com uma casca esf´erica condutora de raio interno b e externo c, conforme figura. A esfera possui carga uniforme Q, e a casca, uma carga Q′. Determine o m´odulo do campo el´etrico nas seguintes situa¸c˜oes: a) em r < a, b) em a < r < b, c) em b < r < c, d) em r > c. 2) Uma casca esf´erica condutora oca, descarregada, tem um raio interno a e um raio externo b. Uma carga puntiforme positiva +q ´e colocada na cavidade, no centro da esfera. a) Determine a carga em cada superf´ıcie do condutor. b) Determine o potencial el´etrico V(r) em todo o espa¸co, admitindo que V = 0 no ∞. 3) Os pontos A, B, C e D s˜ao os v´ertices de um quadrado de lado a. Quatro cargas puntiformes positivas idˆenticas, cada uma de valor q, est˜ao inicialmente em repouso no infinito. Calcule o trabalho total necess´ario para colocar as cargas puntiformes em cada um dos v´ertice do quadrado, determinando separadamente o trabalho necess´ario para mover cada carga at´e a posi¸c˜ao final. 4) Na figura abaixo considere as cargas com m´odulo q e a distˆancia de separa¸c˜ao como sendo d, determine: a) O campo el´etrico no ponto P produzido pelas quatro cargas. b) Qual ´e o potencial el´etrico produzido pelas part´ıculas carregadas no ponto P, se V = 0 no infinito? 1 q_1 q_3 P d q_4 q_2 Q' Q RA: 2370476 a) Em r a, apenas uma porção da carga Q irá contribuir. A quantidade de carga compreendida por um raio r dentro da esfera isolante e -: qC = Q r^3 / R^3 Logo, pela Lei de Gauss: E 4π r^2 = Q r^3 / ε₀ R^3 E = K Q r / R^3 b) Em a < r b o campo é devido apenas à esfera isolante e, pela Lei de Gauss, temos: E 4π r^2 = Q - E = Q / 4πε₀ r^2 c) Em b < r c, E = 0 pois estamos dentro do condutor d) Para r c, o sistema irá se comportar como se fosse uma carga pontual de carga Q + Q'. Pela Lei de Gauss, E 4π r^2 = Q + Q' - E = Q + Q' / 4πε₀ r^2 RA: 2370476 2 - a) Na superfície interior r a, uma carga -q será induzida como resposta à carga q₀ no centro da cavidade. RA: 2370476 Na superfície exterior 𝑟 = 𝑏, uma carga +𝑞 será induzida para manter o condutor neutro. b) Para 𝑟 ≥ 𝑏, sendo 𝑉 = 0 no infinito, e sendo a carga total do sistema igual a 𝑞, temos 𝑉₁ = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑟 Para 𝑎 < 𝑟 ≤ 𝑏, 𝑉₂ = constante. Como 𝑉₂ = 𝑉₁(𝑟 = 𝑏), pois o potencial é contínuo, 𝑉₃ = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑏 Já para 0 ≤ 𝑟 < 𝑎, o potencial é o da carga pontual mais uma constante a ser determinada: 𝑉₃ = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑟 + 𝐶 Como 𝑉₃(𝑟 = 𝑎) = 𝑉₂ 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑎 + 𝐶 = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑏 𝐶 = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑏 - 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑎 Logo, 𝑉₃ = 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑟 - 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑏 + 𝑞₀ / 4𝜋𝜀₀𝑎 (3) - 1 a 2 3 a 4 Dejá o potencial nulo no infinito. O Trabalho total é a variação da energia potencial. A energia inicial é nula, já que não há cargas no sistema no início. Após trazermos todas as cargas, temos 𝑈 = 𝑈₁₂ + 𝑈₁₃ + 𝑈₁₄ + 𝑈₂₃ + 𝑈₂₄ + 𝑈₃₄ Onde cada termo é a interação entre as cargas. A distância entre as cargas separadas pela diagonal é 𝑎√2. Logo 𝑈 = 𝑞² / 4𝜋𝜀₀ (1/a + 1/a√2 + 1/a + 1/a + 1/a√2 + 1/a) 𝑈 = 𝑞² / 4𝜋𝜀₀ (4/a + 2/a√2) Para trazermos a carga 1, o Trabalho é nulo. Para trazermos a carga 2, o Trabalho é 𝑈₁₂ Para trazermos a carga 3, o Trabalho é 𝑈₃₂ + 𝑈₃₁ Para trazermos a carga 4, o Trabalho é 𝑈₁₄ + 𝑈₂₄ + 𝑈₃₄ (4) - A) Deja a origem no ponto P. As cargas 𝑞₁ e 𝑞₂ produzem um campo de mesma magnitude e sentidos opostos na direção x. Logo, a componente x é nula. 2A: 23702476 Tais as cargas q3 e q4 geram um campo elétrico na direção - ĵ. E_q3 = - \frac{q_3}{4 \pi \varepsilon_0 d^2} ĵ E_q4 = - \frac{q_4}{4 \pi \varepsilon_0 (2d)^2} ĵ = - \frac{q_4}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} Portanto, \vec{E} = - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 d^2} \left( q_3 + \frac{q_4}{4} \right) ĵ = - \frac{5q_3 ĵ}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} b) O potencial é a soma de cada potencial separadamente. V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 d} + \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0 d} + \frac{q_3}{4 \pi \varepsilon_0 d} + \frac{q_4}{8 \pi \varepsilon_0 d} V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 d} \left(q_1 + q_2 + q_3 + \frac{q_4}{2}\right) = \frac{7q}{8 \pi \varepsilon_0 d}