Lista 04 e 05 Geometria Analitica

Exercícios propostos 1. Dados os vetores no plano \(\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j}\), \(\vec{v} = -\vec{i} + \vec{j}\) e \(\vec{w} = -2\vec{i} + \vec{j}\), determinar: a. \(\vec{u} - \vec{v}\); b. \(2\vec{v} - \vec{w}\). 2. Dados os vetores \(\vec{u} = (3,-1)\), \(\vec{v} = (-1,2)\), determinar \(\vec{w}\) tal que \(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\) + \(\frac{1}{3}\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{w}\). 3. Para os pontos \(A(3,-4)\) e \(B(-1,1)\) e o vetor \(\vec{v} = (-2,3)\), calcular: a. \(4(\vec{u} - \vec{v}) + 2\vec{v}\); b. \( \vec{3(\vec{A} - \vec{B})} \). 4. Dados os vetores \(\vec{u} = (2,-4)\), \(\vec{v} = (-5,1)\) e \(\vec{w} = (-12,6)\), determinar \(a_1\) e \(a_2\) tais que \(\vec{w} = a_1\vec{u} + a_2\vec{v}\). 5. Representar em um gráfico o vetor \(\vec{A}\overline{\vec{B}}\) e o correspondente vetor posição, nos casos: a. \(A(4,3)\) e \(B(3,5)\); b. \(A(4,0)\) e \(B(0,-2)\). 6. Encontrar o vértice oposto a \(B\), no paralelogramo \(ABCD\), para: a. \(A(-3,1)\), \(B(4,2)\) e \(C(5,5)\); b. \(A(5,1)\), \(B(7,3)\) e \(C(3,4)\). 7. Sendo \(A(-2,3)\) e \(B(6,-3)\) extremidades de um segmento, determinar os pontos \(C, D\) e \(E\) que dividem o segmento \(AB\) em quatro partes de mesmo comprimento. 8. Dados os vetores \(\vec{u} = (1,-1)\), \(\vec{v} = (8,-6)\), calcular: a. \(|\vec{u}|\); b. \(|\vec{u} + \vec{v}|\); c. \(|\vec{w} - 3\vec{u}|\); d. \(|\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}|\), sendo \(\frac{1}{|\vec{v}|}\) unitário. 9. Calcular os valores de \(a\) para que o vetor \(\vec{u} = \left(1,\frac{a}{2}\right)\) seja unitário. 10. Encontrar um ponto \(P\) do eixo \(Ox\) de modo que a sua distância ao ponto \(A(2,-3)\) seja igual a 5. 11. Dados os pontos \(A(-4,3)\) e \(B(2,1)\), encontrar o ponto \(P\), tal que \(P\) é equidistante de \(A\) e \(B\) e sua ordenada é o dobro da abscissa. 12. Dado o vetor \(\vec{v} = (1,-3)\), determinar o vetor paralelo a \(\vec{v}\) que tenha: a. sentido contrário ao de \(\vec{v}\) e duas vezes o módulo de \(\vec{v}\); b. o mesmo sentido ao de \(\vec{v}\) e módulo 2; c. sentido contrário ao de \(\vec{v}\) e módulo 4. Exercícios propostos Professor Diego Trindade Geometria Analítica e Álgebra Linear 1. Traçar, no mesmo sistema de eixos, os retângulos de vértices: a. A(0,0,0), B(0,0,2), C(4,0,2) e D(4,0,1); b. A(2,1,0), B(2,2,0), C(0,2,2) e D(0,1,2). 2. Dados os pontos A(3,-4,-2) e B(-2,1,0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal que \frac{\overrightarrow{AN}}{\overrightarrow{AB}} = \frac{1}{5}. 3. Sabendo que 3\vec{u} - 4\vec{v} = 2\vec{w}, determinar a, b, e c, sendo \vec{u} = (2,-1,c), \vec{v} = (a,b,-2.3) e \vec{w} = (4,-1,0). 4. Sendo A(-2,1,3) e B(6,7,1) extremos de um segmento, determinar os pontos C e D, nesta ordem, que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 5. Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a. paralelo ao eixo x; b. paralelo ao eixo y; c. paralelo ao plano yz; d. ortogonal ao eixo z; e. ortogonal ao plano xy. Exercícios propostos Professor Diego Trindade Geometria Analítica e Álgebra Linear 6. Dado o vetor \vec{w} = (3,2,5), determinar a e b de modo que os vetores \vec{u} = (3,2,-1) e \vec{v} = (a,6,b) + 2\vec{w} sejam paralelos. 7. A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada por C(3,-1,1) e D(0,m,n). Determinar o ponto D. 8. Verificar se os pontos A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1) são colineares. 9. Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4,y,4), B(10,y,-2) e C(20,-4). 10. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para que \overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{BC}. 11. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual a 3. GEOMETRIA ANALÍTICA LISTA 04 Professor Emerson Blum Corrêa Engenharia da Computação (2021.2) Lista 04 - Exercícios Complementares 1. Determine o valor de 𝑚 sabendo que o vetor Ԧ𝑣 = (2, 1, −1) forma um ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵 determinado pelos pontos 𝐴 = (3, 1, −2) e 𝐵 = (4, 0, 𝑚). 2. Dados os vetores 𝑢 = 2, −1, 3 e Ԧ𝑣 = −2, 1, 2 . Determine: a. O ângulo entre 𝑢 e Ԧ𝑣. b. A projeção do vetor 𝑢 na direção do vetor Ԧ𝑣. 3. Determine o vetor Ԧ𝑥, tal que Ԧ𝑥 seja ortogonal ao eixo 𝑦 e 𝑢 = Ԧ𝑥 × Ԧ𝑣 sendo 𝑢 = (1, 1, −1) e Ԧ𝑣 = (2, − 1, 1). 4. Dados os pontos 𝐴(2, 1, 1), 𝐵(3, −1, 0) e 𝐶(4, 2, −2), determinar: a. A área do triângulo ABC; b. A altura do triângulo relativa ao vértice C. 5. Verificar se os pontos 𝐴(1, 2, 4), 𝐵 −1, 0, −2 , 𝐶 0, 2,2 e 𝐷 −2,1, −3 estão no mesmo plano. Lista 04 - Exercícios Complementares 6. Os vetores Ԧ𝑎 = 2, −1, −3 , 𝑏 = (−1, 1, −4) e Ԧ𝑐 = (𝑚 + 1, 𝑚, −1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular 𝑚. 7. Verificar se 𝐴(2, 2), 𝐵(4, 1) e 𝐶(7, −1) pertencem à reta 𝑟: 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0. 8. Sejam Ԧ𝑣 = 4𝑖 ,𝑤 = 2𝑖 + 5𝑗 e 𝑢 = 3𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 ,calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as arestas Ԧ𝑣 ,𝑤 e 𝑢. 9. Os vetores Ԧ𝑎 = 2, −1, −3 ,𝑏 = (−1, 1, −4) e Ԧ𝑐 = (𝑚 + 1, 𝑚, −1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular 𝑚. 10. Sejam Ԧ𝑣 = 4𝑖 ,𝑤 = 2𝑖 + 5𝑗 e 𝑢 = 3𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 ,calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as arestas Ԧ𝑣 ,𝑤 e 𝑢. 1. GEOMETRIA ANALÍTICA LISTA 05 Professor Emerson Blum Corrêa Engenharia da Computação (2021.2) Lista 05 - Exercícios Complementares 1. Verificar se 𝐴(2, 2), 𝐵(4, 1) e 𝐶(7, −1) pertencem à reta 𝑟: 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0. 2. Esboce as seguintes retas: 3. Determine a equação reduzida da reta 𝐴𝐵 quando 𝐴(−1,1) e 𝐵(7, 25). 4. Dados 𝐴(3, 10) e 𝐵 −6, −5 , determine a equação segmentária da reta 𝐴𝐵. a. 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 b. −2𝑥 + 3𝑦 = 6 c. 2𝑦 − 6 = 0 d. 2𝑥 + 5 = 0 e. 2𝑥 − 6𝑦 = 0 Lista 05 - Exercícios Complementares 5. Determine a equação geral das retas abaixo: (a) (b) (c) Lista 05 - Exercícios Complementares 6. Dados o ponto 𝐴(2, 3, −4) e o vetor Ԧ𝑣 = 1 , −2, 3 , pede-se: a. Escrever equações paramétricas da reta 𝑟 que passa por 𝐴 e tem a direção de Ԧ𝑣. b. Encontrar os pontos 𝐵 e 𝐶 de 𝑟 de parâmetros 𝑡 = 1 e 𝑡 = 4, respectivamente. c. Determinar o ponto de 𝑟 cuja abscissa é 4. d. Verificar se os pontos 𝐷(4, −1, 2) e 𝐸(5, −4, 3) pertencem a 𝑟. e. Determinar para que valores de 𝑚 e 𝑛 o ponto 𝐹(𝑚, 5, 𝑛) pertence a 𝑟. f. Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de 𝑟. g. Escrever equações paramétricas da reta 𝑠 que passa por 𝐺(5, 2, −4) e é paralela a 𝑟. h. Escrever equações paramétricas da reta 𝑠 que passam por 𝐴 e são paralelas ao eixo dos 𝑦.