Lista de Exercício Resolvida Geo Analitica-2022 2

3x + y = 8 x - 2y + z = 0 2x - y + z = 0 15) Encontre o conjunto solução, se existir, do sistema linear x + y + z + w = 0 x - y + 2z + w = 0 2x - 3y + z + w = 0 x + y - 2z + w = 0 16) O que você diria se alguém apresentasse a seguinte fórmula: det(A + B) = det A + det A 17) É verdade que detAB = detA detB? 18) É verdade que detA + detA? 19) Calcule o determinante do matriz A = | 1 1 2 2 3 | | 2 2 3 4 | | 3 4 5 7 | | 5 7 9 10 | Procure por Teorema de Laplace 8) O determinante da matriz A = | 4 3 2 | | 4 5 6 | | 7 8 9 | é zero 9) (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 10) (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 11) ex - ry = 0 é uma equação linear. Responda e/ou Resolva: 12) Qual a interpretação geométrica de um sistema linear homogêneo em duas incógnitas? 13) Encontre o conjunto solução do sistema x + y - 2 + 4w = 5 2x - 2y + z + w = 0 14) Encontre o conjunto soluções do sistema Decida se verdadeiro ou falso. No caso de ser falso, dê um exemplo. Se for verdadeiro, mostre o motivo. 1) Se A é uma matriz simétrica, então A^T é simétrica 2) A transporta de A^T é A 3) (a+b)A = aA + bA não é uma propriedade da multiplicação por escalar. 4) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 5) Se AB = 0, então BA = 0. 6) Se podemos calcular A.A, então A é uma matriz quadrada. 7) A matriz A = | 1/3 1/3 1 0 | | 1/3 1/3 1/3 | | 1/3 1 1/3 1 | | 0 1/3 2/3 | é inversível 1) Verdadeiro, pois se A é simétrica A = Aᵀ, logo A - Aᵀ = Aᵀ - Aᵀ = 0 , e a matriz nula é simétrica. 2) Verdadeiro, pois seja um elemento a na matriz Aᵀ de índices i, j, a = aᵢⱼ, logo com Aᵀ é transposta de A então a = aⱼᵢ em Aᵀ, e em (Aᵀ)ᵀ temos a = aⱼᵢ. Logo A = (Aᵀ)ᵀ. 3) Falso, tome a = 1 b = 2 A = (1 1 / 1 1) (a + b)A = (1 + 2)(1 1 / 1 1) = 3(1 1 / 1 1) = (3 3 / 3 3) Por outro lado 1(1 1 / 1 1) + 2(1 1 / 1 1) = (1 1 / 1 1) + (2 2 / 2 2) = (3 3 / 3 3) Logo (a + b)A = aA + bA. 4) Falso A = (1 0 / 0 0) B = (0 0 / 0 1) A · B = (1 0 / 0 0)(0 0 / 0 1) = (0 0 / 0 0) = 0 5) Falso A = (-1 0 / -3 1) B = (-1 0 / -1 0) A · B = (-1 0 / -3 1)(-1 0 / -1 0) = (0 0 / 0 0) B · A = (-1 0 / -1 0)(-1 0 / -3 1) = (1 -1 / 3 1) 6) Verdadeiro. Pois, seja A uma matriz m × n, então só é possível calcular A · A se n = m. Logo A é n × n, uma matriz quadrada. 7) Falso Pois det(2/3 1/3 0 / 1/3 1/3 1/3 / 0 1/3 2/3) = 2/3 · 1/3 · 2/3 - 1/3 · 1/3 · 2/3 - 1/3 · 2/3 · 1/3 = 4/27 - 2/27 - 2/27 = 0 . Como o determinante é 0 não pode ser invertida. 8) Verdadeiro det(1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9) = 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 - 7·5·3 - 8·6·1 - 9·4·2 = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0. 9) Falso A = (-1 0 / -3 1) B = (-1 0 / -1 0). (A + B)² = (-2 0 / -2 1)·(-2 0 / -2 1) = (2 -1 / 2 -1) A² + 2AB + B² = (-1 0 / -3 1)·(-1 0 / -3 1) + 2(-1 0 / -1 0)·(-1 0 / -1 0) + (-1 0 / -1 0)·(-1 0 / -1 0) = 0 + (1 0 / 0 0) 10) Falso A = (-1 0 / -3 1) B = (-1 0 / -1 0) (A + B)(A - B) = (-2 0 / -2 1)(0 0 / 0 -1) = (0 -1 / 0 -1) A² - B² = (-1 0 / -3 1)·(-1 0 / -3 1) - (-1 0 / -1 0)·(-1 0 / -1 0) = 0 - (1 0 / 0 0) = (-1 0 / 0 0) 11) Falso Pois 2x - √y = 0 <=> 2x = √y => x > 0 e 4x² = y que não é linear. 12) Cada equação é uma reta no plano cartesiano. Se as retas forem paralelas então o sistema não tem solução. As soluções são os pontos de interseção entre as retas. 13) Passando pra forma matricial. { w + x + y - z = 5 w + 2x + 2y + z = 0 } ( 1 1 1 -1 : 5 ) ( 1 2 -2 1 : 0 ) => L2 - L1 ( 1 1 1 -1 : 5 ) ( 0 1 -3 2 : -5 ) => L1 - L2 ( 0 4 -3 : 10 ) ( 0 1 -3 2 : 5 ) => w + 4y - 3z = 10 x - 3y + 2z = -5 => x=-5 + 3y - 2z => w = 10 - 4y + 3z => { w = 10 - 4y + 3z x = -5 + 3y - 2z y = y z = z } Solução = ( 10 - 4y + 3z -5 + 3y - 2z y z ) 14) \{ 3x+y=8 \; (I) \ x-2y+z=0 \; (II)\ 2x-2y+z=0 \; (III) Fazendo \ III - II \Longrightarrow \ 2x - 2y + z - x + 2y - z = 0 - 0 \Rightarrow x=0 \; substituindo \ em \ (I) \Rightarrow y=8 \Rightarrow 0 - 2·8 + z = 0 \Rightarrow z=16 Solução = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix} 15) Para \ a \ forma \ matricial\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} det A = 13 \quad e \quad det A_1 = det A_2 = det A_3 = det A_4 = 0 Logo \; x=y=z=w=\frac{0}{13}=0 \quad Solução = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 16) Esse \; formula \; não \; é \; valida \; geralmente, \; apenas \; pous \; poucos \; casos \; específicos. 17) Verdade. 18) Verdade. 19) det A = 1·2·5·10 - 1·2·7·9 - 1·3·4·10 + 1·3·7·7 + 1·4·4·9 - 1·4·5·7 - 1·2·5·10 + 1·2·7·9 + 1·3·3·10 - 1·3·7·5 - 1·4·3·9 + 1·4·5·5 + 2·2·4·10 - 2·2·7·7 - 2·2·3·10 + 2·2·7·5 + 2·4·3·7 - 2·2·3·10 + 2·2·7·5 + 2·4·3·7 - 2·4·4·5 - 2·2·4·9 + 2·2·5·7 + 2·2·3·9 - 2·2·5·5 - 2·3·3·7 + 2·3·4·5 = -2