Sintonização e Simulação do Controle Pid

UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA ET76H SISTEMAS DE CONTROLE 1 ESPECIFICAC AO DA APS Professor Ohara Kerusauskas Rayel Data 6 de junho de 2025 A APS consiste na sintonizacao e simulacao do controle PID de um forno O diagrama eletrˆonico funcional do controle e fornecido na Figura 1 e o diagrama para sintonizacao pelo metodo de Astrom e fornecido na Figura 2 Devese ressaltar que cada alunoa precisara encontrar a funcao de transferˆencia do PID e alterar os valores de componentes para que os ganhos Kp Ki e Kd estejam de acordo com os valores obtidos na fase de sintonizacao 1 O resultado deve ser apresentado no formato das Figuras 3 e 4 tanto a parte da sinto nizacao como a parte da simulacao do PID 2 Dicas utilize o valor de 10 kΩ para todos resistores dos amplificadores que nao compoem o PID No circuito de sintonizacao o resistor da base do transistor deve ser de 330 Ω e o rele deve ser alimentado em 25 V portanto sua tensao de operacao deve ser equivalente Nao se esqueca de configurar os valores maximos e mınimos dos amplificadores opera cionais de acordo com os valores pelos quais a planta deve excursionar por exemplo 300 V 3 As especificacoes devem ser atendidas e os valores de todos os resistores capacitores e tensoes apresentados assim como os valores de Kp Ki e Kd associados 4 A funcao de transferˆencia do forno esta disponıvel no artigo 1 5 O valor de temperatura final esperado e de 250 C 6 Obtera 10 ponto na media final da disciplina a equipe que ate a data limite de 04072025 a Apresentar o circuito simulado funcionando atendendo a todas as especificacoes anteriores b Entregar um relatorio descrevendo cada bloco do circuito e sua funcionalidade O detalhamento deste item sera fundamental para concessao de nota maxima na APS c Arquivo utilizado no programa de simulacao em funcionamento pleno com os componentes ajustados de forma a atender a especificacao fx 0 Solver Configuration Scope C2 R7 Transfer Fcn R8 R6 R5 R3 R2 C1 Controlled Voltage Source Constant SimulinkPS Converter PSSimulink Converter Voltage Sensor SimulinkPS Converter Controlled Voltage Source R1 R4 U1 U3 U2 Figura 1 Circuito sugerido 2 fx 0 Solver Configuration Scope R7 Transfer Fcn R8 R6 R5 SimulinkPS Converter SimulinkPS Converter Voltage Sensor PSSimulink Converter DC Voltage Source PSSimulink Converter NPN Bipolar Transistor R10 Voltage Sensor SPDT Relay Mux Figura 2 Circuito sugerido para sintonizacao 3 Figura 3 Resposta da etapa de sintonizacao 4 Figura 4 Provavel resultado do PID sintonizado 5 Referˆencias 1 R Balcazar J d J Rubio E Orozco D Andres Cordova G Ochoa E Garcia J Pacheco G J Gutierrez D MujicaVargas and C AguilarIbanez The regulation of an electric oven and an inverted pendulum Symmetry vol 14 no 4 2022 Online Available httpswwwmdpicom20738994144759 6 UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO Aplicação Prática do Método de Sintonia de Controladores PID Utilizando o Método do Relé com Histerese Jan Erik Mont Gomery Pinto Orientador Prof Dr André Laurindo Maitelli Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de PósGraduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN área de concentração Automação e Sistemas como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Número de ordem PPgEE M425 Natal RN 16 Maio de 2014 UFRN Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte Pinto Jan Erik Mont Gomery Aplicação prática do método de sintonia de controladores PID utilizando o método do relé com histerese Jan Erik Mont Gomery Pinto Natal RN 2014 116 f il Orientador André Laurindo Maitelli Dissertação Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte Cen tro de Tecnologia Programa de PósGraduação em Engenharia Elétrica e de Computação 1 Sintonia de controladores PID Dissertação 2 Autossintonia Disserta ção 3 Avaliação de Malhas Dissertação 4 Método do Relé Dissertação 5 Controladores PID Dissertação I Maitelli André Laurindo II Universidade Federal do Rio Grande do Norte III Título RNUFBCZM CDU 6255 Aplicação Prática do Método de Sintonia de Controladores PID Utilizando o Método do Relé com Histerese Jan Erik Mont Gomery Pinto Dissertação de Mestrado aprovada em 16 de Maio de 2014 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros Prof Dr André Laurindo Maitelli Orientador DCAUFRN Prof Dr Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti Membro DCAUFRN Prof Dr Oscar Gabriel Filho Externo Petrobras Dr Vicente Delgado Moreira Externo Petrobras Dedico à minha esposa Cláudia Érica Agradecimentos À Deus por ter me sustentado até aqui À minha esposa Cláudia Érica pelo esforço e apoio nos momentos mais difíceis Aos Amigos do LAUT que em todas as etapas desta caminhada me ajudaram Ao meu orientador professor André Laurindo Maitelli sou grato pela orientação A professora Carla Wilza Maitelli pelo apoio fundamental no inicio da minha chegada ao LAUT Ao CNPq pelo apoio financeiro e ao Laboratório de Automação em Petróleo pelos recur sos e pela oportunidade de desenvolver este trabalho Ao CENPES pela disponibilidade dos equipamentos para testes Resumo O campo de pesquisa e desenvolvimento de softwares envolvendo a sintonia de con troladores PID ainda é uma área ativa dentro do meio acadêmico e industrial Tudo isso devido à larga utilização de controladores PID na indústria 96 de todos os controla dores na indústria ainda é PID Ter controladores bem sintonizados e com ferramentas que possam acompanhar seus desempenhos ao longo do tempo com a possibilidade de ressintonizálos ou ainda autossintonizálos passar a ser um item quase que obrigatório para manter processos com alta produtividade e baixo custo Já que em um mundo glo balizado o nível mais acirrado de concorrência entre as empresas atualmente está no custeio e na produtividade Apesar de existirem diversas novas técnicas e ferramentas que fazem sintonia de controladores PID neste trabalho será explorada esta sintonia utili zando o método do relé devido a sua boa aceitação no ambiente industrial simplicidade e robustez Além disto abordaremos algumas técnicas para avaliação de desempenho de malhas de controle de processos tais como IAE ISE Goodhart Variância de sinais e índice de Harris Será proposta neste trabalho uma ferramenta de sintonia e autossintonia PID usando o método do relé em especial o método do relé com histerese Este método tem apresentado sintonias com desempenhos satisfatórios quando aplicados em plantas simuladas e reais Palavraschave Sintonia de controladores PID Autossintonia Avaliação de Malhas Método do relé Controladores PID Abstract The area of research and development involving the PID tune of controllers is an active area in the academic and industrial sectors yet All this due to the wide use of PID controllers in the industry 96 of all controllers in the industry is still PID Controllers well tuned and tools to monitor their performance over time with the possibility of self tuning become an item almost obligatory to maintain processes with high productivity and low cost In a globalized world it is essential for their self survival Although there are several new tools and techniques that make PID tune in this paper will explore the PID tune using the relay method due its good acceptance in the industrial environment In addition we will discuss some techniques for evaluation of control loops as IAE ISE Goodhart the variation of the control signal and index Harris which are necessary to propose new tuning for control loops that have a low performance Will be proposed in this paper a tool for tuning and self tuning PID Will be proposed in this paper a PID autotuning software using a relay method In particular will be highlighted the relay method with hysteresis This method has shown tunings with satisfactory performance when applied to the didactic simulated and real plants Keywords PID tuning PID AutoTuning Evaluation of control loops Relay Method PID Controllers Sumário Sumário i Lista de Figuras iv Lista de Tabelas vi Lista de Símbolos e Abreviaturas vii 1 INTRODUÇÃO 1 11 Motivação 2 12 Objetivos 3 13 Estrutura da dissertação 3 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID 4 21 Controlador Proporcional 5 22 Controlador Proporcional e Integral 6 23 Controlador Proporcional e Derivativo 6 24 Controlador Proporcional Integral e Derivativo 7 25 Tipos implementados de algoritmos PID 8 251 PID ideal padrão ou ISA 8 252 PID paralelo alternativo 9 253 PID paralelo 9 254 PID interativo ou série 10 26 Conversão entre as diversas formas de algoritmo PID 11 27 PID nos equipamentos industriais 12 28 PID Digital 12 29 AntiWindup 13 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE 15 31 Índices de Desempenho Baseados no Erro 16 32 Índices de Desempenho Baseados na Média e Variância 17 321 Média da Saída do Sistema 17 322 Variância da Saída do Sistema 18 323 Média do Sinal de Controle 18 324 Variância do Sinal de Controle 18 i 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 20 41 Método de ZieglerNichols 21 411 Método da resposta em frequência 21 412 Método da resposta ao degrau 22 42 Método de CHR 24 43 Método de Cohen e Coon 24 44 Método da Integral do Erro 25 45 Método do Modelo Interno IMC 25 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 28 51 Função descritiva do relé 28 511 Função descritiva do relé ideal 29 512 Função descritiva do relé com histerese 31 52 Método do relé em malha fechada 31 521 Método do Relé Ideal 33 522 Método do Relé com Histerese 36 523 Método do Relé Bias 41 524 Método do Relé com Integrador 43 525 Método do Relé Aparatos 44 53 Método de sintonia pela Margem de Ganho e Margem de Fase 45 54 Outros métodos de sintonia relé 46 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMA POR MÍNIMOS QUADRADOS 50 61 Mínimos Quadrados Estendido 50 7 RESULTADOS 53 71 Comparação do método do relé com e sem histerese 55 72 Comparação de ganho crítico real e simplificado 57 73 Comparação entre a utilização do relé com Histerese com Bias e Aparatos 59 74 Autossintonia PID utilizando o método do relé com histerese 63 75 Sintonia de uma planta simulada de cinco tanques acoplados 65 76 Sintonia da malha de recirculação de água 68 77 Sintonia da malha de nível de óleo em um vaso separador trifásico 68 8 CONCLUSÕES 71 Referências bibliográficas 74 A Algoritmos em Matlab 78 A1 Algoritmo Matlab para um PID de posição 78 A2 Algoritmo Matlab para um PID de velocidade 79 A3 Algoritmo Matlab da curva reação de ZN 80 A4 Algoritmo Matlab para índices de desempenho 81 A5 Algoritmo Matlab para o ensaio do relé ideal 83 A6 Algoritmo Matlab para calcular sintonia PI 85 A7 Algoritmo Matlab para ensaio do relé com histereseBias 86 A8 Algoritmo Matlab para ensaio do relé aparatos 89 A9 Algoritmo Matlab dos Mínimos Quadrados Estendido MQE 91 Lista de Figuras 21 Controle por realimentação da saída 4 22 Ação de controle em função do erro 5 23 Algoritmo PID ideal ISA ou padrão 8 24 Algoritmo PID paralelo alternativo 9 25 Algoritmo PID paralelo 10 26 Algoritmo PID tipo série ou interativo 11 27 Simples implementação do AntiWindup para um controlador PI 14 41 Resposta do sistema usando o método da resposta em frequência 22 42 Resposta do processo de primeira ordem em malha aberta 23 51 Curva e forma de onda do relé ideal 30 52 Curva e forma de onda do relé com histerese 31 53 Método do relé em malha fechada 32 54 Saída do processo com o ensaio pelo método do relé 32 55 Relé de Astrom realimentado 34 56 Saída do processo sobre o ensaio do relé ideal 34 57 Relé com Histerese 36 58 Saída do processo sobre o ensaio do relé com histerese 37 59 Função descritiva do relé com histerese no Diagrama de Nyquist 37 510 Método do Relé Bias 41 511 Saída do processo usando o Método do Relé Bias 42 512 Método do relé com integrador 43 513 Esquema do relé Aparatos 44 514 Saída do processo usando o Método do relé Aparatos 45 515 Região de especificação para margem de ganho e margem de fase 46 516 Resumo comparativo de outras topologias de autossintonia 47 61 Tela de sintonias PID com exemplo de modelo discreto de segunda ordem 51 71 Módulo de Sintonia de controladores PID 54 72 Módulo de autossintonia de controladores PID 54 73 Planta Didática da Amatrol 55 74 Saída do processo de nível excitado pelo ensaio do relé sem histerese 56 75 Saída do processo de nível excitado pelo ensaio do relé com histerese 56 76 Resposta ao degrau em malha fechada planta de primeira ordem 59 77 Resposta ao degrau em malha fechada planta de segunda ordem 60 iv 78 Respostas ao degrau das sintonias pelo relé com histerese Bias e Aparatos 61 79 Resposta sintonia da planta de segunda ordem 62 710 Fluxograma do algoritmo de autossintonia 64 711 Modelo da planta de temperatura simulada da Training Box Duo TB131 64 712 Resposta da autossintonia PI na planta simulada de temperatura da Altus 65 713 Simulador do sistema de cinco tanques acoplados 66 714 Saída do Tanque 1 antes e após a sintonia utilizando o método do relé 67 715 Saída do Tanque 2 3 4 e 5 antes e após a sintonia com o método do relé 67 716 Estrutura do Hidrociclone 68 717 Ensaio do relé na malha de recirculação de água 69 718 Sintonias para malha de recirculação de água 69 719 Vaso Separador Trifásico 70 720 Saída da planta de nível de óleo com a sintonia PIITAE 70 Lista de Tabelas 21 Algoritmo PID de controladores comerciais 12 31 Modelo discreto para índices de desempenho baseados no erro 17 41 ZieglerNichols para sintonia 1942 22 42 ZieglerNichols para sintonia 1943 23 43 Tabela de sintonia CHR sem sobre valor problema servo 24 44 Tabela de sintonia CHR sem sobre valor problema regulatório 24 45 Tabela de sintonia CHR 20 de sobrevalor problema servo 24 46 Tabela de sintonia pelo método de CC 25 47 Tabela de sintonia pelo método da integral do erro Lopez et al 1967 26 48 Tabela de sintonia pelo método da integral do erro Rovira et al 1969 26 49 Tabela de sintonia pelo método do IMC 26 51 Tabela de relação entre margem de ganho e margem de fase 46 52 Índice de desempenho para avaliação das topologias estudadas 48 71 Resultado de comparação de sintonias PI 57 72 Resultado de comparação entre identificação e sintonia para FOPDT 58 73 Resultado de comparação entre identificação e sintonia para SOPDT 59 74 Comparativo entre métodos do relé para o processo 1 60 75 Comparativo do MQE de cada método do relé para o processo 1 60 76 Comparativo entre métodos do relé para o processo 2 61 77 Comparativo do MQE de cada método do relé para o processo 2 62 78 Sintonia PI ZieglerNichol modificada 63 vi Lista de Símbolos e Abreviaturas AM Margem de ganho Ad Amplitude inferior da saída do processo Au Amplitude superior da saída do processo CH Com histerese Ds Função de transferência do filtro derivativo Igh Índice de Goodhart Im Eixo Imaginário K Ganho estático do processo Kd Ganho Derivativo Ki Ganho Integral Kp Ganho Proporcional Ku Ganho crítico Kalt Ganho Proporcional PID alternativo Kpar Ganho Proporcional PID paralelo Kpzn Ganho Proporcional da sintonia por ZieglerNichols Kser Ganho Proporcional PID série L Tempo morto normalizado Na Função descritiva do relé P1 P2eP3 Pólos 1 2 e 3 Re Eixo Real SH Sem histerese Td Tempo Derivativo vii Ti Tempo Integrativo Ts Período de amostragem Tu Período Crítico Tα Filtro do termo derivativo Tdalt Tempo Derivativo PID alternativo Tdpar Tempo Derivativo PID paralelo Tdser Tempo Derivativo PID série Tialt Tempo Integrativo PID alternativo Tipar Tempo Integrativo PID paralelo Tiser Tempo Integrativo PID série Tizn Tempo Integrativo da sintonia por ZieglerNichols Tr Tempo de subida Ts Tempo de acomodação X Matriz de dados do processo no índice de Harris XT Transposta de X En Variação do erro MV Variação da variável manipulada T Variação do tempo U Variação do sinal do controle Y Variação da saída do processo α12e3 Fatores de ponderação para índice de Goodhart Ângulo de fase y2 erro médio quadrático ε Valor da histerese ηd Índice de Harris ˆα Estimativas do CVM para o índice de Harris ˆηd Índice de Harris estimado ˆσ2 y Variância da saída real estimado ˆσ2 mv Variância da saída com controlador de variância mínima estimado ˆu Estimativa ou média de u sinal de controle ˆyt Estimativa de yt λ Fator de ponderação do IMC ωn Frequência natural ωu Frequência Crítica ω180 Frequência Crítico no eixo real em π φ Defasagem φM Margem de fase σ2 y Variância da saída real σ2 mv Variância da saída com controlador de variância mínima σruido Desvio padrão do ruído τ Constante de tempo θ Atraso de Transporte ou tempo morto ζ Coeficiente de amortecimento a Largura de saída do processo e erro ek Erro no instante k discreto etouerrot Erro no instante t contínuo h Amplitude de saída do relé h0 Valor do Bias para saída do relé j Número complexo 1 ln Neperiano p1 Esforço de controle médio para índice de Goodhart p2 Variância do sinal de controle para índice de Goodhart p3 Desvio padrão SP total para índice de Goodhart rt referência de processo SP do sistema dinâmico sα2 Xt Estimador de variância de uma variável aleatória sα2 ut Variância do sinal de controle sα2 yt Variância da saída do processo u sinal de controle uk Sinal de controle MV Discreto ut Sinal de controle MV Contínuo yk Variável de processo PV discreto yt Variável de processo PV do sistema dinâmico ABS Absolute BP Banda Proporcional CC CohenCoon CENPES Centro de Pesquisas e Desenvolvimento da Petrobras CHR Chien Hrones and Reswick CLP Controlador Lógico Programável CV MV Coeficiente de Variância da MV CVM Controlador de Variância Mínima FOPDT First Order Plus Dead Time IAE Integral Absolute Error IE Integral of Error IMC Internal Model Control ISA International Society of Automation ISE Integral Squared Error ISE Integral Squared Error ITAE Integral of Time multiplied by Absolute of the Error ITSE Integral of Time multiplied by Squared of the Error MF Malha Fechada MIMO Multiple Input and Multiple Output MQ Mínimos Quadrados MQE Mínimos Quadrados Estendido MQR Mínimos Quadrados recursivo MSE Mean Squared Error MV Maninulated Variable MV Minimum Variance OLE Multiple Input and Multiple Output OPC OLE for Process Control PI Controlador ProporcionalIntegral PID Controlador ProporcionalIntegralDerivativo PV Process Variable SISO Single Input and Single Output SOPDT Second Order Plus Dead Time SP Setpoint ZN ZieglerNichols ZND ZieglerNichols com detuning Capítulo 1 INTRODUÇÃO Desde algum tempo o uso de técnicas convencionais de controle é bastante comum no meio industrial Em Rubaai et al 2008 é citado que 96 dos controladores utili zados são do tipo PID Mais de 90 das malhas de controle encontradas em processos industriais operavam com controladores PIPID atingindo uma larga faixa de aplicações controle de processos drivers para motores indústria automobilística controladores de voo pilotos automáticos instrumentação entre outros Åström Hägglund 2001 A maioria das malhas são de fato PI pois a ação derivativa não é usada com frequência Segundo Ogata 2010 a utilidade dos controladores PID está na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de controle Em particular quando o modelo matemático da planta não é conhecido e os métodos de projeto analítico não podem ser utilizados contro les PID se mostram os mais úteis Mesmo com o surgimento de novas técnicas de controle utilizando lógica fuzzy sistemas adaptativos preditivos percebese que ainda hoje é predominante o uso deste tipo de controlador nas malhas industriais Em aplicações in dustriais o controle PID é uma estratégia muito popular devido a sua arquitetura simples e sua sintonia ser realizada por métodos igualmente simples e consolidados Mesmo com o seu grande uso e possuindo uma grande história e bibliografia a sintonia de controla dores PID ainda é uma área ativa de pesquisa tanto acadêmica quanto industrial Cong Liang 2009 Em Cheng 2006 encontramse informações estatísticas reveladoras sobre a situação dos controladores nas industriais químicas papel e celulose refinarias Somente 32 das malhas de controle poderiam ser classificadas como de desem penho excelente ou aceitável Cerca de 32 dos controladores foram classificados como de desempenho regular ou fraco o que indicava comportamento inaceitavelmente lentou ou oscilatório Por volta de 36 das malhas operavam com malha aberta devido à utilização da opção por operação em modo manual ou com atuadores em saturação Controladores do tipo PID são utilizados na imensa maioria das aplicações por volta de 97 Assim podese concluir que o controlador PID ainda é e continuará sendo por muitos anos a mais importante estrutura de controle utilizada na indústria Cologni 2008 Menos custo e mais produtividade são comuns serem falados e debatidos em quase todas as empresas do mundo principalmente naquelas que participem de em um ambiente CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 2 globalizado Em um ambiente industrial por exemplo a máxima produtividade depende da automatização de seus processos Por sua vez os processos automatizados dependem dentre outras coisas dos seus controladores que para serem produtivos precisam estar bem sintonizados Ter controladores bem sintonizados com estratégias de autossintonia e com ferramentas que possam acompanhar seus desempenhos ao longo do tempo e com capacidade de ressintonizálos passa a ser um item quase que obrigatório para manter processos com alta produtividade e baixo custo sem falar na qualidade do produto final Pesquisas no mercado sobre controladores industriais apontam a função de sintonia eou autossintonia como a mais valorizada pelos usuários ao lado do próprio algoritmo PID e das interfaces de comunicação VanDore 2006 Dentre os métodos de sintonia automática mais conhecidos se destaca o método do relé O método de sintonia eou autossintonia com realimentação a relé proposto por Ås tröm Hägglund 1984 foi um dos primeiros a ser comercializados e têm permanecido atrativos devido a sua simplicidade e robustez Muitas pesquisas têm sido realizadas para modificar o método incluindo melhor capacidade de identificação e eficiência Além disso as fórmulas de sintonia PID têm sido refinadas de maneira a melhorar o desem penho do controlador para diversos processos como àqueles com atraso de transporte e oscilatório Segundo CC Hang Wang 2002 a sintonia por realimentação a relé de Aström e Hägglund é uma das técnicas mais simples e mais robusta de autossintonia para controle de processos e tem sido aplicado com sucesso na indústria por mais de 15 anos Diante deste contexto neste trabalho será proposto um software com aplicação em tempo real que gera sintonias de controladores PID a partir do ensaio do método do relé com histerese sendo possível ao final do ensaio ter o modelo de primeira ou segunda ordem com atraso de transporte da planta Além disto o programa será capaz de simular a resposta ao degrau da planta em malha fechada utilizando cada sintonia sugerida pelo mesmo Esta simulação auxilia o operador a escolher a sintonia que melhor atenda aos de sempenhos desejáveis antes de ser configuradas no controlador Será mostrado um breve comparativo entre a técnica proposta e outros métodos para estimação de parâmetros da planta que geram sintonias PID usando uma ponderação dos métodos de avaliação de ma lhas tais como IAE ISE Goodhart variância sinal de controle e Harris para apresentar a sintonia com o melhor desempenho Por fim será proposto e apresentado um algoritmo criado para fazer o ensaio do método do relé com e sem histerese para autossintonia PID 11 Motivação Tem sido relatado na literatura que uma porcentagem significante dos controladores instalados operam em modo manual e que mais de 50 dos PIDs instalados que operam em modo automático apresentam grandes variâncias Oviedo et al 2006 Arruda et al 2008 citam que este problema de desempenho é em muitos casos resultante de uma sintonia pobre devido principalmente à Ausência de conhecimentos dos operadores e engenheiros Grande variedade de estruturas de controladores PIDs existentes as quais levam a erros na aplicação das regras de sintonia CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3 A situação se agrava na indústria por exemplo de processos químicos que nos últi mos anos tem adotado largamente o controle preditivo como estratégia de controle avan çado a qual requer malhas PID bem sintonizadas na camada regulatória da planta Os engenheiros de processos responsável por centenas de malhas necessitam de uma estra tégia de sintonia de fácil implantação mas necessariamente robusta Åström Hägglund 2004 Neste contexto entraria o método do relé e o software proposto Como citado ante riormente o método do relé é um método de sintonia com simplicidade e robustez e é bem aceito na indústria aliado ao fato de que ainda é grande a necessidade de métodos e sistemas de fácil absorção na indústria para sintonia e autossintonia de seus controladores PID 12 Objetivos O objetivo deste trabalho será de produzir uma ferramenta e metodologia para uso dos algoritmos de sintonia e autossintonia PID em especial o método do relé com histerese que de forma prática possam ser colocados em um ambiente de produção ou seja um produto cuja utilização seja bem aceita nas indústrias Para isto serão testados diversos métodos existentes na literatura separando aqueles que oferecem bons resultados bons de uma forma ampla na indústria 13 Estrutura da dissertação A organização deste trabalho encontrase disposta da seguinte forma no Capítulo 2 serão abordados os conceitos básicos que envolvem um projeto de controladores PID desde a formulação básica do controlador linear PID seus tipos as maneiras de imple mentação nos CLPs até a base conceitual sobre antiwindup O Capítulo 3 descreve alguns indicadores mais usados na indústria para avaliar o desempenho de malhas de controle O Capítulo 4 mostra alguns métodos de sintonia de controladores PID pois Apesar de exis tirem diversos métodos serão apresentados os mais utilizados na literatura O Capítulo 5 apresenta métodos que utilizam o ensaio do relé para sintonia de controladores Será apresentado também um estudo comparativo que irá reforçar a utilização do método do relé de Åström Hägglund 1984 O Capítulo 6 mostra de forma sucinta o algoritmo do Mínimos Quadrados Estendido MQE usado para estimação de um modelo discreto da planta após o ensaio do relé O Capítulo 7 apresenta os resultados comparação do relé com e sem histerese cálculo do ganho crítico identificação de parâmetros de uma função de primeira ordem com atraso de transporte usando outros métodos o algoritmo proposto o software de sintonia um estudo comparativo entre o relé com histerese o bias e o aparatos e testes usando plantas simuladas didáticas e reais Por fim o Capítulo 8 apresenta as conclusões e perspectivas Capítulo 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID Murray et al 2003 definiram de um modo simplista um sistema de controle como um dispositivo onde uma quantidade medida é utilizada para modificar o comportamento do sistema por meio de computação e atuação Uma visão moderna do papel do controle interpreta a realimentação como uma ferramenta para gerenciamento de incertezas sejam elas paramétricas de condições de funcionamento de limites práticos ou advindas de alteração de sinais externos ruído perturbação não controlados Justamente esta visão de sistemas de controle como uma maneira de conferir robustez frente a uma incerteza explica o porquê de o controle realimentado estar disseminado por todas as tecnologias do mundo moderno A Figura 21 mostra o diagrama padrão para controle por realimentação da saída Figura 21 Controle por realimentação da saída G s Rs Ys p Cs Es Us Controlador Processo Dentro deste modelo padrão podese encontrar frequentemente o controlador Proporcional IntegralDerivativo que é o controlador mais utilizado Cerca de 90 a 95 de todos os problemas de controle podem ser resolvidos por este controlador Levine 1996 Ape sar do aparecimento de novas técnicas de controle os controladores PID dominarão por muito tempo ainda os parques industriais Cardoso 2002 Se algoritmos de controle mais sofisticados são utilizados muitas vezes podese encontrar o controlador PID no nível mais baixo da hierarquia de controle Gude et al 2006 Um controlador PID calcula o erro entre a sua variável controlada medida do pro cesso e o seu valor desejado setpoint e em função deste erro gera sinal de controle de forma a eliminar este desvio Os principais controladores encontrados na prática são os seguintes Controlador Proporcional P Controlador Proporcional e Integral PI Controlador Proporcional e Derivativo PD CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID 5 Controlador Proporcional Integral e Derivativo PID 21 Controlador Proporcional A ação de controle gerada pelo modo proporcional é diretamente proporcional a sua entrada ou seja ao sinal de erro em função do tempo como mostrado na equação 21 O erro do controlador é dado pela diferença entre a variável controlada ou variável do processo PV e o valor desejado SP ou seja et SP PV Além disto existe um fator multiplicativo do cálculo do erro 1 ou 1 conhecido como ação do controlador que permite inverter o cálculo do erro isto devido a ação do controlador que pode ser direta ou reversa Na maioria dos controladores a ação é direta ut Kpet 21 em que Kp é a constante de proporcionalidade a ser sintonizada Esta ação não modifica a forma do sinal de entrada do controlador erro apenas introduz um fator de escalamento amplifica ou reduz no valor a ser aplicado na entrada da planta modificando assim o seu comportamento dinâmico Aplicando a transformada de Laplace no sinal ut temse Us KpEs A Figura 22 mostra a relação entre o sinal de erro e a ação de controle gerada pelo modo de controle proporcional quando é utilizado a banda proporcional e não exatamente o ganho proporcional Excluída a faixa de saturação da variável manipulada sinal de erro fora da banda proporcional cada valor de erro tem um único valor correspondente de ação de controle e viceversa Figura 22 Ação de controle em função do erro u 100 0 Banda Proporcional Erro Como o ganho do controlador é dado pela inclinação da reta sobre a banda proporcio nal percentual BP a relação entre ambos é dada pela Equação 22 Esta representação é genérica para o caso onde a saída do controlador varia entre 0 e 100 Para casos espe cíficos onde isto não ocorre esta relação não é válida Isto por que alguns fabricantes de controladores industriais usam banda proporcional BP ao invés do ganho CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID 6 BP 100 Kp 22 Neste caso o controlador é apenas um amplificador com um ganho constante quanto maior o erro maior a ação de controle gerada Assim ele provê um rápido ajuste da variável manipulada tornando mais rápida a dinâmica do processo A principal desvantagem deste modo é que ele pode apresentar erro em regime permanente O erro em regime permanente diminui com o aumento do ganho proporcional Kp no entanto isto diminui a faixa correspondente à banda proporcional tornando o controlador mais oscilatório Cabe ressaltar que o controlador ligadesliga pode ser definido como sendo um controlador proporcional no limite onde a banda proporcional tende a zero 22 Controlador Proporcional e Integral O controlador Proporcional e Integral PI gera a sua saída proporcionalmente ao erro P e proporcionalmente à integral do erro I termo integral A equação 23 mostra o controlador PI cujo ganho proporcional também multiplica o termo integral ut Kp et Kp 1Ti et 23 Aplicando a transformada de Laplace à equação 23 considerando condições iniciais nulas obtémse a função de transferência Gcs do controlador PI Gcs UsEs Kp 1 1sTi 24 O termo Ti é o tempo integral Em alguns controladores o ajuste do termo integral será o tempo integral em segundos ou minutos por repetição outros escolhem o ganho integrativo que é dado por Ki KpTi O grande benefício da sua utilização é a eliminação do erro em regime permanente Åström Hägglund 1995 reportou uma pesquisa realizada em diversas fábricas no Canadá onde 97 das malhas industriais tinham controladores do tipo PI 23 Controlador Proporcional e Derivativo A saída de um processo apresenta intuitivamente uma certa inércia com relação a modificações na variável de entrada Esta inércia explicase pela dinâmica do processo que faz com que uma mudança na variável de controle provoque uma mudança considerável na saída da planta somente após um certo tempo Uma outra interpretação é que dependendo da dinâmica do processo o sinal de controle estará em atraso para corrigir o erro Este fato é responsável por transitórios com grande amplitude e período de oscilação podendo em um caso extremo gerar respostas instáveis A ação derivativa CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID 7 quando combinada com a ação proporcional tem justamente a função de antecipar a ação de controle a fim de que o processo reaja mais rápido Neste caso o sinal de controle a ser aplicado é proporcional a uma predição da saída do processo A equação para os controladores PD são dadas como ut Kp et Kp Td detdt 25 Aplicando a transformada de Laplace à equação 25 considerando condições iniciais nulas obtémse a função de transferência do controlador Gcs PD Gcs UsEs Kp 1 sTd 26 O termo Td é o tempo derivativo que podem ser em segundos ou minutos dependendo do controlador Porém existem controladores que escolhem o ajuste pelo ganho derivativo que é dado por Kd Kp Td 24 Controlador Proporcional Integral e Derivativo O controlador Proporcional Integral e Derivativo PID gera a sua saída proporcionalmente ao erro à integral do erro e à derivada do erro A equação 27 apresenta a forma ideal do controlador PID ut Kp et Kp 1Ti et Kp Td detdt 27 Aplicando a transformada de Laplace à equação 27 considerando condições iniciais nulas obtémse a função de transferência Gcs do controlador PID Gcs UsEs Kp 1 1sTi sTd 28 O termo derivativo não é normalmente aplicado sob sua forma pura devido à amplificação do ruído bem como também não é implementado fisicamente Este termo não é realizável pois a função de transferência possuiria o grau do numerador maior do que o do denominador Uma solução utilizada na prática é utilizar um filtro na ação derivativa conforme a equação 29 Ds sTd 1 α sTd 29 O fator α costuma ser um valor pequeno em torno de 18 A função de transferência do controlador PID com um filtro derivativo será conforme a equação 210 Gcs UsEs Kp1 1sTi sTd1αsTd 210 25 Tipos implementados de algoritmos PID A família de controladores PID é construída a partir de várias combinações dos termos proporcional integral e derivativa conforme necessário para cumprir os requisitos de desempenho específicos Johnson Moradi 2005 sendo sua forma básica conforme a equação 27 que é um algoritmo PID ideal também chamado de algoritmo ISA nãointerativo forma padrão forma ideal e forma independente ODwyer 2006 Åström Hägglund 2006 Campos Teixeira 2006 cita os tipos de algoritmos PID mais implementados nos controladores digitais sendo eles o tipo ideal tipo paralelo o tipo paralelo alternativo e o tipo série este último também chamado de interativo e clássico ODwyer 2006 Åström Hägglund 2006 Ainda existem outras variações do algoritmo PID por exemplo o termo derivativo pode atuar na variável do processo PV e não no erro como foi visto até aqui Enfim para projetos com controladores PID é importante conhecer o tipo de implementação do algoritmo PID pois o mesmo influencia a sintonia do controlador Corripio 1996 251 PID ideal padrão ou ISA Também chamado em algumas literaturas de PID nãointerativo é a forma mais usada nos controladores digitais e mais citadas didaticamente cuja equação 27 já foi apresentada Na forma ideal os termos proporcional integral e derivativo são combinados paralelamente ou seja suas ações calculadas separadamente são somadas para compor a ação do controlador conforme Figura 23 Outra informação importante neste tipo de PID é que o ganho proporcional Kp multiplica os termos integrativo e derivativo Figura 23 Algoritmo PID ideal ISA ou padrão 252 PID paralelo alternativo A equação do controlador PID paralelo alternativo onde o ganho proporcional não afeta nem o termo integral nem o derivativo será conforme a equação 211 ut Kp et 1Ti et Td detdt 211 Aplicando a transformada de Laplace à equação 211 considerando condições iniciais nulas obtémse a função de transferência Gcs do controlador PID paralelo alternativo Gcs UsEs Kp 1sTi sTd 212 A Figura 24 mostra o diagrama para este tipo de algoritmo Figura 24 Algoritmo PID paralelo alternativo Figura 25 Algoritmo PID paralelo desta forma são relacionados com a forma padrãoideal da seguinte forma Kp Kpideal Ki KpidealTiideal Kd Kpideal Tdideal 254 PID interativo ou série Os primeiros PID usavam controladores analógicos físicos pneumáticos onde a representação da função de transferência em série era uma descrição mais apropriada Para manter a continuidade destes dispositivos PID analógicos posteriormente alguns fabricantes mantiveram essa estrutura série em seus controladores eletrônicos Johnson Moradi 2005 O controlador PID tipo série é dado pela equação 214 já aplicada a transformada de Laplace Gcs UsEs Kp 1 1sTi1 sTd 214 Também chamado de PID interativo Åström Hägglund 2006 pois o termo derivativo influencia o termo integrativo conforme Figura 26 o que não corre no PID ideal chamado de controlador nãointerativo onde o termo derivativo não influencia o termo integrativo e viceversa Importante descrever que o controlador em série e ideal são diferentes somente quando ambos os termos integrativo e derivativo são usados no controlador Se for usado os controladores como P PI e PD as duas formas são equivalentes Figura 26 Algoritmo PID tipo série ou interativo e u 26 Conversão entre as diversas formas de algoritmo PID Muitas vezes é necessário converter a sintonia de um controlador para outro Por exemplo quando uma unidade moderniza o seu sistema de controle pode ser interessante guardar os parâmetros de sintonia PID Kp Ti e Td já que o trabalho de ajuste dos mesmos é demorado O controlador antigo podia ser um PID em série enquanto no novo será necessário usar PID paralelo ideal O controlador em série ou interativo pode sempre ser representado como um controlador ideal ou nãointerativo cujo coeficientes de conversão de série para ideal são dados por Åström Hägglund 2006 KidealKserTiserTdserTiser TidealTiserTdser TdidealTiser TdserTiserTdser A conversão da forma ideal para série pode ser encontrado somente se Ti 4Td então a conversão seria KserKideal2114TdidealTiideal TiserTiideal2114TdidealTiideal TdserTiideal2114TdidealTiideal Em Campos Teixeira 2006 podese encontrar a forma de conversão de PID ideal para um alternativo utilizando as seguintes equações KaltKideal TialtTiidealKideal TdaltTdideal Kideal 35 27 PID nos equipamentos industriais É importante ter em mente que diferentes tipos de controladores podem ter diferentes estruturas Isto significa que se um controlador em uma certa malha de controle for realocado para outro tipo de controlador os parâmetros do controlador possivelmente devem ser mudados Åström Hägglund 2006 Serão apresentados nesta seção algumas implementações industriais do algoritmo PID Apesar de apresentar o algoritmo atual para estes equipamentos é importante sempre seguir ou revisar o que está no manual de cada CLP Controlador Lógico Programável e SDCD Sistema Digital de Controle Distribuído pois o fabricante pode mudar acrescentar ou melhorar a estratégia do algoritmo PID do seu equipamento posteriormente bem como pode haver diferentes estratégias em séries diferentes do mesmo fabricantes conforme será visto na tabela 21 abaixo Tabela 21 Algoritmo PID de controladores comerciais Fabricantes Modelos Algoritmo PID Parâmetros do Controlador Allen Bradley Contrologix PID independente MV Kp etKi etdtKd dΔPvdt Kp Ganho Ki ganho integral Kd ganho derivativo Allen Bradley Contrologix PID dependente MV Kp et 1Ti etdt Td dΔPvdt Kp Ganho Ti reset time minTd rate time min Siemens S7 PB41 MVKp et1Ti etdt Td d etdt Kp Ganho Ti reset time seg Td tempo derivativo seg Yogogawa Field Control Station PID MV 100BP et 1Ti etdt Td d etdt Ganho banda proporcional Ti tempo integral seg Td tempo derivativo seg Smar MultiLoop CD600 MVKp et1Ti etdt Td d etdt Kp ganho Ti tempo integral min Td tempo derivativo min GEFanuc Series 9030 9070 independente MV Kp et Ki et dt Kd d et dt Kp ganho 001 Ki reset time 0001 reps Kdganho derivativo Schneider Família Modicon MV Kp et 1Ti etdt Td d etdt Kp ganho 0100 Ti tempo integral seg13600 Td tempo derivativo seg0900 HITecnologia ZAP900 500 e Flex950 MVKp et 1Ti etdt Td d etdt Kp ganho 01000 Ti tempo integral repmin 00015000 Td tempo derivativo min 01000 Altus Series DUO AL e FBs MV Kp et 1Ti etdt Td d etdt Kp ganho Ti tempo integral seg Td tempo derivativoseg 28 PID Digital Para utilização do algoritmo de controle PID em sistemas digitais é necessária a sua conversão para a forma discreta onde uma nova ação de controle é executada após um intervalo regular de tempo denominado tempo de amostragem Ts Dentro do intervalo entre cada tempo de amostragem a ação de controle é normalmente mantida constante Neste processo de conversão no entanto os operadores integral e derivativo necessitam ser aproximados por operações discretas equivalentes Algumas formas de aproximação 36 dos termos integral e derivativo do controlador PID podem ser encontradas em Åström Hägglund 1995 porém nesta seção será tratado somente o algoritmo discretizado dos controladores PID A equação 215 mostra o algoritmo do PID discreto ideal de posição Este algoritmo também é chamado de algoritmo não recursivo pois o mesmo necessita de ir guardando em cada interação o somatório de todos os erros anteriores uku0 Kp ek TsTiΣi0k1 ei Td ek ek1Ts 215 Por outro lado a equação 216 apresenta o algoritmo PID discreto ideal de velocidade neste caso só é calculado a diferença Δu entre as ações de controle uk e uk1 ukuk1 Kp ek ek1 Kp TsTi ek1 Kp TdTs ek 2ek1 ek2 216 Dessa forma o resultado obtido com o algoritmo PID discreto é também dependente do tempo de amostragem escolhido Quanto menor o tempo de amostragem mais próxima da ação contínua fica a ação discreta porém maior é a carga computacional requerida Na verdade a escolha do tempo de amostragem adequado requer um certo compromisso entre o esforço computacional e a obtenção de informações suficientes da dinâmica do processo a ser controlado Na prática aconselhase a utilização de um tempo de amostragem cujo valor seja aproximadamente um décimo do valor do tempo de subida do sistema pois assim ele é capaz de capturar a dinâmica do sistema de forma adequada No apêndice A tem dois algoritmos de exemplo feitos em Matlab para o PID discreto de posição A1 e velocidade A2 que ajudam a entender melhor a aplicação prática nos controladores digitais industriais 29 AntiWindup Quando o valor da variável manipulada alcança uma restrição operacional limite máximo ou mínimo do atuador ocorre a saturação do sinal de controle Isto equivale a perder um grau de liberdade no sistema de controle pois o atuador permanecerá no respectivo limite independentemente da saída do processo até que o mesmo saia da restrição Quando isto ocorre e o controlador possui ação integral o sinal de erro continuará a ser integrado acumulando a saída da ação integral Assim a ação de controle permanece na saturação além do tempo necessário até que todo este erro integrado excessivamente seja cancelado por um sinal de erro de sinal oposto Este fenômeno é conhecido por Windup e é responsável por tornar a resposta transitória do sistema lenta e oscilatória características extremamente indesejadas em processos industriais O remédio para o integrador Windup é desligar a ação integral logo que o sinal de controle entre na região de saturação voltando a ligar a ação integral novamente tão logo o sinal de controle entre na região linear de controle Johnson Moradi 2005 Este chaveamento é implementado usando o AntiReset Windup ou simplesmente AntiWindup CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE O PID 14 Figura 27 Simples implementação do AntiWindup para um controlador PI Multiplicador Chaveamento Em muitos PID comerciais o AntiWindup está presente mas os detalhes da sua imple mentação não estão usualmente disponível para o usuário final Entretanto é suficiente saber que a proteção AntiWindup estará presente Uma simples implementação do mé todo AntiWindup é dada na Figura 27 Neste capítulo foram introduzidos as ações básicas do algoritmo PID do tipos de implementação do algoritmo PID e as formas de conversão de um tipo de algoritmo PID para outro Além disso foram abordados de forma resumida conceito de AntiWindup e saturação Todos estes conceitos são importantes e foram usados na programação do software de sintonia Capítulo 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE Na literatura moderna associada a sistemas de controle encontramse formulações ma temáticas para descrever índices de desempenho necessários em aplicações tais como projeto ótimo de sistemas controle adaptativo otimização paramétrica de sistemas de controle Definese índice de desempenho como uma medida quantitativa do desempenho de uma malha sendo escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações neces sárias do processo Uma malha é considerada uma estrutura de controle ótimo quando seus parâmetros são ajustados para que o índice em questão alcance um valor mínimo ou máximo Campos Teixeira 2006 argumenta que na prática o desempenho de uma malha de controle mesmo já sintonizada é difícil de se manter constante ao longo do tempo e que avaliar as malhas é importante pois As malhas são ajustadas em um condição de operação que pode mudar com o tempo Os equipamentos podem mudar suas dinâmicas em função de desgaste e sujeira As válvulas por exemplo podem apresentar agarramento O grande número de malhas de controle a serem avaliadas continuamente podem ser milhares em um complexo industrial Ender 1993 mostrou que na indústria 60 das malhas de controle apresentavam um desempenho insatisfatório e aumentavam a variabilidade das variáveis controladas quando comparada com o controle em manual ou seja um fato ruim pois afeta a eficiência de um determinado processo É muito comum em um processo real a presença de atenuações e ruídos que levam as variáveis do processo a valores indesejáveis e inesperados Isto provoca pequenas variações nos valores dos índices quando calculados em momentos diferentes de uma mesma planta com características inalteradas Por isto neste trabalho sugerese que o acompanhamento de uma malha seja constante com períodos para cálculo dos índices fazendo com que se tenha uma avaliação do desempenho baseado no histórico de suas avaliações CAPÍTULO 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE 16 31 Índices de Desempenho Baseados no Erro A seguir serão apresentados os índices baseados no erro O erro et é definido como et rt yt 31 em que rt e yt são a referência SP setpoint e a saída do sistemaPV variável de processo respectivamente no instante t Para quantificar o erro ocorrido em função de uma pertubação utilizamse critérios baseados na integral do erro definindose o primeiro critério como a integral do erro integrated error IE IE 0 etdt 32 Entretanto para processos oscilatórios ou oscilatórios pouco amortecidos este índice não satisfaz as necessidades pois o erro varia entre valores positivos e negativos podendo anularse Visando resolver esse problema foi desenvolvido um outro índice chamado de Integral Absoluta do Erro Integrated Absolute Error IAE IAE 0 etdt 33 O IAE também tem sua desvantagem Considerando que o critério está baseado em uma integral infinita é necessário simular por longos períodos para que o seu valor seja significativo Outro critério é a integral do erro quadrático Integrated square error ISE É um índice que tem como desvantagem quantificar em maior escala os erros iniciais que possam ocorrer em sistemas oscilatórios sendo mais indicado para malhas com características menos oscilatórias ISE 0 et2 dt 34 Para lidar com o problema de quantificação dos erros iniciais em malhas oscilatórias utilizase critérios que ponderam os erros iniciais como a integral do tempo multiplicada pelo erro absoluto Integrated of time multiplied by absolute error ITAE ou a integral do tempo multiplicado pelo erro quadrático Integrated of the time multiplied by square error ITSE cujas equações se encontram abaixo ITAE 0 tetdt 35 ITSE 0 te2tdt 36 Quando sistemas de controle são analisados no tempo discreto as integrais devem ser expressas em forma de somatório e o erro em função do erro discreto ek Os índices descritos a cima podem ser visualizados na forma discreta na tabela 31 onde N é o número de amostras CAPÍTULO 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE 17 Tabela 31 Modelo discreto para índices de desempenho baseados no erro Controlador Modelo Discreto IE N k1 ek IAE N k1 ek ISE N k1 e2k ITAE N k1 kek ITSE N k1 ke2k Um índice comum bastante usado também é o erro médio quadrático que é um forma de avaliar a diferença entre a saída desejada e a saída verdadeira Conhecido como MSE Mean Squared Error a a equação será conforme abaixo MSE 1 N N k1 e2k 37 32 Índices de Desempenho Baseados na Média e Variân cia Os índices descritos anteriormente são bastantes úteis para avaliar o erro da malha mas não expressa o comportamento geral da planta nem leva em conta por exemplo os esforços aos quais são submetidos os atuadores A média e a variância dos sinais presentes num processo analisado podem fornecer algumas características importantes A variância de uma variável aleatória é uma medida de sua dispersão estatística indi cando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado média Um método comum de estimar a variância da população é através da tomada de suas amos tras Quando estimado a variância da população usando n amostras aleatórias xi onde i 123n a fórmula seguinte é um estimador sα2 Xt não enviesado sα2 Xt 1 n1 n k1 Xk ˆX2 38 em que ˆX 1 n n k1 Xk 39 321 Média da Saída do Sistema Este índice avalia como os sinais de saída da planta PV variaram em relação ao valor de referência da malha Entretanto quanto maior for o valor da média do sinal de saída em relação ao valor da referência menor a rastreabilidade que o sistema apresenta para a referência podendo indicar a existência de características oscilatórias da planta Definese a média da saída como CAPÍTULO 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE 18 ˆy 1 N N k1 yk 310 322 Variância da Saída do Sistema Uma boa medida para se analisar o quanto uma determinada variável dispersou em relação à média é a variância que permite adicionalmente o cálculo de todos os valores observados e o quanto a medida se distanciou da média Como queremos que a saída de uma malha alcance um valor dado pela referência podese concluir que o valor da variância de determinado sinal deve ser o menor possível Podese expressar a variância da saída do sistema pela seguinte formula sα2 yt 1 n1 n k1 yk ˆy2 311 323 Média do Sinal de Controle Outra característica importante a se analisar em uma malha é a média do sinal de con trole MV da saída de um controlador que em conjunto com a avaliação da variância do sinal de controle representa o esforço sobre os elementos atuadores do sistema Definese a esta média como ˆu 1 N N k1 uk 312 324 Variância do Sinal de Controle Permite avaliar o esforço de controle sobre os atuadores Este valor deve ser em prin cípio o menor possível para que se tenha uma maior vida útil para o elemento atuador Por definição sα2 ut 1 n1 n k1 uk ˆu2 313 Os índices apresentados até agora são bastante úteis tanto para avaliar um comporta mento global da malha baseados nos erros transitórios e de regime quanto para analisar a influência de um determinado sinal nos demais componentes da malha Podese per ceber por exemplo que uma grande variância do sinal de controle representa uma ação de controle muito agressiva que pode tanto comprometer a vida útil de um atuador como fazelo não responder como o esperado O módulo de autossintonia desenvolvido neste trabalho utilizou critérios de desempe nho para sugerir um sintonia PID tais como MSE Mean Squared Error e variância do sinal de controle Os detalhes sobre esta programação será visto no capítulo de resultados CAPÍTULO 3 AVALIAÇÃO DE MALHAS DE CONTROLE 19 No apêndice A4 existe um algoritmo Matlab R que apresenta alguns desses índices de desempenhos que foram mostrados acima sendo necessário ter os dados do processo SP PV e MV e um vetor com dados temporais Capítulo 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID A essência da sintonia de malhas de controle é identificar como a dinâmica de um processo reage aos esforços de controle e baseado em requisitos de desempenho deter minar a dinâmica necessária ao algoritmo PID para eliminar os erros VanDore 2006 Independente da metodologia de projeto as seguintes três etapas são comuns aos métodos de identificação da dinâmica do processo e sintonia de controladores PID 1 o processo é submetido a perturbações no sinal de controle 2 a resposta do sistema a este distúrbio é analisada e quantificada 3 baseado na análise da resposta e em especificações de desempenho os parâmetros PID são sintonizados Johnson Moradi 2005 Historicamente um importante passo no desenvolvimento de metodologias de sinto nia de controladores PID foi dado por Ziegler Nichols 1942 O método é baseado em caracterizar a dinâmica do processo por três parâmetros e através de fórmulas simples Em contrapartida o método fornece pouca informação sobre o sistema e produz sistemas em malha fechada com baixo amortecimento e baixa robustez Ainda assim este trabalho teve significante impacto nas práticas de controle Até hoje a maioria dos fabricantes ou usuários de controladores PID aplicam o método ou variantes do mesmo na sintonia de controladores Muita pesquisa com a técnica de controle PID foi realizada nos últimos 60 anos devido ao desenvolvimento dos controladores PID industriais particularmente incentivada pela transição dos controladores pneumáticos para os digitais Nos últimos 20 anos tem ocorrido novamente um ressurgimento do controle PID em virtude do de senvolvimento das técnicas de autossintonia Åström Hägglund 2001 Diferentes estruturas do controlador PID tem influência direta na sintonia e desem penho resultante Antes de um controlador PID ser sistematicamente e automaticamente sintonizado fazse necessário conhecimento exato de sua estrutura para que o procedi mento de sintonia seja justificável e útil Tan et al 2001 Segundo Cheng 2006 a sintonia de um controlador não somente é influenciada pela estrutura utilizada ideal paralela série mas também pelo tipo de processo Campos Teixeira 2006 cita alguns critérios de desempenho que podem ser usados para a sintonia de controladores do tipo PID O menor sobressinal overshoot CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 21 O menor tempo de ascensão ou subida O menor tempo de assentamento Mínima energia ou atuação na variável manipulada Utilização de um índice de desempenho para avaliar a qualidade do controle Porém reforça que o principal critério para ajuste de uma malha de controle seja satisfeito é a estabilidade Nesta seção serão apresentados alguns métodos empíricos de sintonia que foram usa dos no software de sintonia proposto entretanto existem diversos outros métodos cujo resumo podem ser encontrados em ODwyer 2000 41 Método de ZieglerNichols Desenvolvido por J G Ziegler e N B Nichols ambos da Taylor Instrument Com panies foi o primeiro método de ajuste sistemático dos parâmetros de um controlador PID Ziegler Nichols 1942 Os autores desenvolveram regras empíricas de ajuste dos parâmetros do controlador baseados em testes práticos manuais realizados em determina dos processos com o controlador comercial Fulscope da Taylor Este trabalho tem como grande diferencial o caráter inovador simplista e prático porém não mostra embasamento teórico apurado Dois métodos clássicos para determinar os parâmetros do controlador PID foram apre sentados por Ziegler e Nichols em 1942 Este métodos são largamente usados seja na sua forma original ou com algumas modificações Os métodos consistem em determi nar algumas características da dinâmica do processo Os parâmetros do controlador são então expressos em termos a partir de simples fórmulas É uma surpresa que estes méto dos sejam tão largamente referenciados por que eles dão sintonias moderadamente boas somente em uma situação restrita Åström Hägglund 2006 411 Método da resposta em frequência No primeiro método com o controlador P em malha fechada aumentase o ganho proporcional só o termo P gradativamente até se obter uma resposta oscilatória com amplitude constante Neste ponto determinase o ganho crítico Ku e o período crítico de oscilação Tu O ganho crítico Ku é o valor do ganho do controlador P que gerou uma resposta oscilatória sustentada na saída do processo e o período crítico Tu será o próprio período do processo oscilante A Figura 41 mostra um exemplo da resposta do processo durante um ensaio Com estes valores de Ku e Tu observase então a Tabela 41 proposta por Ziegler Nichols 1942 para se obter a sintonia PID usando como critério de desempenho uma razão de declínio igual a 1 4 Na prática este teste pode levar o processo a variar fora de uma região segura podendo causar instabilidade do sistema Por isto este teste não é muito utilizado na prática CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 22 Figura 41 Resposta do sistema usando o método da resposta em frequência yt t Tu Tabela 41 ZieglerNichols para sintonia 1942 Controlador Kp Ti Td P 05Ku PI 045Ku Tu12 PID 06Ku Tu2 Tu8 412 Método da resposta ao degrau O segundo método apresentado por Ziegler e Nichols é baseado na informação do processo na forma da resposta ao degrau do sistema em malha aberta Para se obter esta resposta o controlador é posto em manual para logo após gerarse uma variação em de grau na saída do controlador U Neste método pressupõe que a resposta em malha aberta de um sistema a uma entrada degrau unitário é monotônica após um tempo inicial conforme ilustrado na Figura 42 ele pode ser aproximado pela função de transferên cia de um sistema de primeira ordem com atraso de transporte conforme a função de transferência 41 Este modelo paramétrico da dinâmica de um processo é comumente encontrado na indústria Coelho dos Santos Coelho 2004 Gps K τs1eθs 41 Em que K é o ganho estático do processo que será dado por K Y U A curva de resposta ao degrau será caracterizada por duas constantes o atraso de transporte θ e a constante de tempo τ O atraso de transporte e a constante de tempo são determinados desenhandose uma linha tangente no ponto de inflexão da curva e determinandose a interseção da linha tangente com o eixo do tempo abscissa e a li nha quando a saída estiver constante y conforme mostra Figura 42 Na apêndice A3 tem um algoritmo simplificado de exemplo de uma das maneiras de calcular o o atraso de transporte θ e a constante de tempo τ pela resposta ao degrau Com estes valores de K τ e θ observase então a Tabela 42 proposta por Ziegler Nichols 1943 que mostra a sintonia PID em função dos parâmetros de um modelo de primeira ordem com atraso de transporte ou tempo morto 41 É importante atentar para algumas considerações para os métodos de ZieglerNichols 1 A tabela 42 foi desenvolvida para controladores existentes na época Não existe CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 23 Figura 42 Resposta do processo de primeira ordem em malha aberta yt y θ τ t Reta tangente Ponto de Inflexão Tabela 42 ZieglerNichols para sintonia 1943 Controlador Kp Ti Td P τKθ PI 09τKθ 3330 PID 12τKθ 2θ 05θ consenso na literatura se o controlador era do tipo série ou paralelo mas com certeza P afeta os termos I e D Para Skogestad 2004 as simulações ZieglerNichols utilizaram o PID ideal 2 O fator de controlabilidade que é dador por θτ deve ser sempre observado Quando o mesmo for entre 01 e 03 serão obtidos boas sintonias segundo Corripio 1996 Para Rivera et al 1986 quando o fator for entre 02 e 14 serão obtidos sintonias razoáveis e quando o fator for acima de 4 as sintonias gerarão sistemas instáveis 3 Campos Teixeira 2006 sugere utilizar um fator folga ou detuning para as sintonias PID de ZieglerNichols devido as incertezas da ordem de 5 a 20 na dinâmica estimada do processo Este fator é aplicado somente aos termos P e I conforme abaixo Kp Kpzn125 Ti 25Tizn É possível encontrar outros métodos que estimam os parâmetros K τ e θ baseados na resposta ao degrau que podem ser aproximados para um função de transferência de primeira ordem com atraso de transporte 41 também denominada de FOPDT First Order Plus DeadTime O método de Smith de Sudaresan de Nishikawa e de Hagglund são exemplos dos métodos que podem ser encontrados em Coelho dos Santos Coelho 2004 CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 24 42 Método de CHR Desenvolvido no Massachusetts Institute of Technology por K L Chien J A Hrones e J B Reswick foi o primeiro trabalho a utilizar um modelo aproximado de primeira ordem com tempo morto representativo do comportamento de sistemas de alta ordem Chien et al 1952 Este trabalho foi ainda o pioneiro na determinação de regras de ajuste diferenciadas para características servo e regulatórias Este trabalho apresenta um estudo acadêmicoteórico bem fundamentado mostrando regras de ajuste dos parâmetros de controladores PID para três diferentes parametrizações duas na forma paralela e uma na forma série obtidas através de simulações realizadas em um computador eletrônico analógico para diversas condições e segundo dois critérios resposta mais rápida sem sobrelevação e resposta mais rápida com máxima sobrelevação de O algoritmo PID utilizado no trabalho original foi o paralelo alternativo entretanto as tabelas 43 44 e 45 foram convertidas para o PID ideal Tabela 43 Tabela de sintonia CHR sem sobre valor problema servo Controlador Kp Ti Td P 03τKθ PI 035τKθ 116τ PID 06τKθ τ θ2 Tabela 44 Tabela de sintonia CHR sem sobre valor problema regulatório Controlador Kp Ti Td P 03τKθ PI 06τKθ 4θ PID 095τKθ 2375θ 0421θ Tabela 45 Tabela de sintonia CHR 20 de sobrevalor problema servo Controlador Kp Ti Td P 07τKθ PI 06τKθ τ PID 095τKθ 1357τ 0473θ 43 Método de Cohen e Coon Proposto em 1953 pelo engenheiro G H Cohen e pelo matemático G A Coon ambos da Taylor Instrument Companies este método também é baseado em um critério de razão de decaimento de 14 como no método ZN em resposta a um distúrbio na carga Cohen Coon 1953 Como a sintonia do controlador para sistemas de primeira ordem com CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 25 tempo morto com base neste critério pode diferir devido a existência de um número infinito de modos harmônicos soluções da equação característica fundamental os autores realizaram um estudo teórico para obter os parâmetros adequados de acordo com o modo harmônico fundamental de menor frequência e maior amplitude O desejo também era de obter uma sintonia para processos com tempos mortos mais elevados isto é com fator de controlabilidade θτ maior que 03 A tabela 46 apresenta a sintonia PID pelo método CC O algoritmo do trabalho original foi o PID ideal Tabela 46 Tabela de sintonia pelo método de CC Controlador Kp Ti Td P 103035 τ θ τ Kθ PI 090083 τ θ τ Kθ 090083 τ θ 12706 τ θ θ PID 135025 τ θ τ Kθ 135025 τ θ 05406 τ θ θ 05θ 135025 θ τ Algumas considerações sobre este método de sintonia 1 Segundo Rivera et al 1986 o método apresenta um desempenho razoável para valores do fator de controlabilidade θτ entre 06 e 45 2 A robustez é ruim para valores de θτ menores que 2 44 Método da Integral do Erro Um grupo de pesquisadores da Louisiana State University desenvolveu na década de 60 uma metodologia para minimização de critérios de desempenho baseados nas integrais de erro IAE e ITAE A partir da resolução de um problema de otimização multiobjetivo foram obtidas regras ótimas de ajuste dos parâmetros do controlador PID para diferentes conjuntos de parâmetros de um modelo de primeira ordem com tempo morto Em Lopez et al 1967 são mostrados os resultados ótimos obtidos para caracterís ticas regulatórias e em Rovira et al 1969 são mostrados os resultados ótimos para características servo Em um terceiro trabalho em Lopez et al 1969 onde foi realizado um estudo mais aprofundado dos resultados ótimos para controladores digitais discretos foi recomendado a utilização dos resultados ótimos para o critério ITAE por apresenta rem de um modo geral melhor desempenho que os demais critérios As tabelas 47 e 48 sãos as sintonias propostas nos trabalhos de Lopez et al 1967 e Rovira et al 1969 O algoritmo PID utilizados nos trabalhos deles foi o ideal No trabalho deles a faixa do fator de controlabilidade θτ será entre 0 e 1 45 Método do Modelo Interno IMC Em 1986 D E Rivera M Morari e S Skogestad do California Institute of Tech nology demonstraram analiticamente que a estrutura IMC Internal Model Control pro posta inicialmente por GARCIA 1982 quando utilizada para o projeto de controladores CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 26 Tabela 47 Tabela de sintonia pelo método da integral do erro Lopez et al 1967 Controlador Kp Ti Td PI IAE 0984Kτθ0986 τ0608θτ0707 PI ITAE 0859Kτθ0977 τ0674τθ068 PID IAE 1435Kτθ0921 τ0878τθ0749 τ0482θτ1137 PID ITAE 1357Kτθ0947 τ0842τθ0738 τ0381θτ0995 Tabela 48 Tabela de sintonia pelo método da integral do erro Rovira et al 1969 Controlador Kp Ti Td PI IAE 0758Kτθ0861 τ1020323θτ PI ITAE 0586Kτθ0916 τ1030165θτ PID IAE 01086Kτθ0869 τ07400130θτ 0348τθτ0914 PID ITAE 0965Kτθ0850 τ07960147θτ 0308τθτ0929 conduz naturalmente a um algoritmo de controle do tipo PID ocasionalmente aumentado por um filtro de primeira ordem para um grande número de modelos tipicamente encontrados nos processos industriais Rivera et al 1986 O algoritmo PID usado foi o paralelo ideal As regras de ajuste do método IMC são recomendadas para o fator de controlabilidade θτ 0125 Rivera et al 1986 Eles imaginaram várias dinâmicas diferentes para os processos e obtiveram os respectivos controladores PID em função do parâmetro de desempenho λ Quando a dinâmica do processo puder ser representada por um modelo de primeira ordem com atraso de transporte conforme equação 41 então a sintonia PID proposta será conforme a tabela 49 Tabela 49 Tabela de sintonia pelo método do IMC Controlador Kp Ti Td Sugestão de desempenho PI 2τθ2Kλ τθ2 λθ 08 PID 2τθK2λθ τθ2 τθ2τθ λθ 17 Na sintonia pelo método do IMC o único parâmetro a ser ajustado é o λ que de uma maneira conservadora pode ser escolhido igual a constante de tempo dominante do processo λτdominante Um tempo morto grande também tende a tornar o controle mais difícil o que deve ser refletido em uma maior valor para λ Neste capítulo foram abordados os métodos de sintonias utilizados no software de sintonia desenvolvido O mesmo apresenta diferentes parâmetros de sintonia PID para um mesmo modelo estimado Gerar várias tabelas de sintonias traz a possibilidade de simular cada uma antes de enviar a sintonia para o controlador Esta simulação é possível CAPÍTULO 4 MÉTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID 27 utilizando um modelo discreto do sistema cujo método de identificação será explanado no capítulo 6 Capítulo 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID Uma técnica especial baseado na resposta em frequência que é particularmente adequado para determinar a frequência crítica e o ganho crítico de uma planta é o método do relé realimentado Esta técnica tem sido usado de forma muito eficaz para a sintonia de controladores PID A ideia está em observar que é possível criar uma oscilação com a frequência crítica de um processo automaticamente usando o método do relé realimentado Åström Hägglund 2006 A seguir serão explanados a teoria necessária para usar a técnica do método do relé para sintonia de controladores PID partindo desde o entendimento da função descritiva do relé até as formas modificadas do mesmo 51 Função descritiva do relé Na análise por função descritiva supõese que apenas a componente harmônica fundamental da saída é significativa Tal suposição é frequentemente válida uma vez que harmônicas superiores da saída de um elemento nãolinear são frequentemente de menor amplitude do que a amplitude da harmônica fundamental Além disto a maioria dos sistemas de controle são filtros passabaixas com resultado de que harmônicas superiores são mais atenuadas quando comparadas com a componente harmônicas fundamental Ogata 1985 A função descritiva ou função descritiva senoidal de um elemento não linear é definida como a relação complexa entre a amplitude da componente harmônica fundamental da saída e a amplitude da entrada isto é N Y1 a ϕ Ou na forma complexa virá 1 Na π 4h a² ε² j π 4h ε 51 em que N função descritiva a amplitude da senóide de entrada Y1 amplitude da componente harmônica fundamental da saída ϕ defasagem da componente harmônica fundamental da saída em relação à entrada Ao se calcular a função descritiva para um dado elemento não linear necessitase achar a componente harmônica fundamental da saída Para a entrada senoidal xt a senωt aplicada a um elemento não linear a saída yt pode ser expressa como uma série de Fourier yt A0 Σ An cosnωt Bn sennωt A0 Σ Yn sennωt ϕn 52 em que An 1π 02π yt cosnωt dωt Bn 1π 02π yt sennωt dωt Yn An² Bn² ϕ atanAn Bn 511 Função descritiva do relé ideal A não linearidade tipo relé ideal é muitas vezes chamada de não linearidade de duas posições ligadesliga ou onoff Considere um elemento tipo ligadesliga cuja curva característica entradasaída é vista na Figura 10a A saída deste elemento é uma constante positiva ou uma constante negativa a Figura 10b mostra as formas de onda da entrada e saída Ogata 1985 A partir da expansão da série de Fourier para a saída yt para este relé e notando que a saída é uma função impar temse que An 0 portanto yt Σ Bn sennωt A componente harmônica fundamental de yt será y1t B1 senωt Y1 senωt em que Figura 51 a curva característica para a nãolinearidade tipo relé ideal b formas de ondas de entrada e saída para a não linearidade tipo relé ideal y 1 1π 02π yt senωt dωt 2π 0π yt senωt dωt Substituindo yt h nesta última equação resulta em Y1 2hπ 0π senωt dωt 4hπ Portanto y1t 4hπ senωt A função descritiva Na é então dada por Na Y1 a 0 4h πa 53 Claramente a função descritiva de um elemento tipo onoff é uma grandeza real e uma função apenas da amplitude de entrada h 512 Função descritiva do relé com histerese Considerando o mesmo elemento ligadesliga porém agora com histerese cuja curva característica de entradasaída é vista na Figura 11a As formas de onda da entrada e saída é vista na Figura 11b A saída é uma onda quadrada mas está atrasada em relação à entrada por ϕ sen¹εa Portanto a função descritiva para este elemento não linear será dado por 54 Ogata 1985 Na 4hπa sen¹εa 54 Figura 52 a Curva característica de entradasaída para a nãolinearidade tipo relé com histerese b formas de ondas de entrada e saída para a não linearidade tipo relé com histerese 52 Método do relé em malha fechada As limitações do método de Ziegler e Nichols levaram Åström Hägglund 1984 a propor a utilização de um relé na realimentação do sistema a ser sintonizado o que deu origem ao método do relé para ajuste de PID como mostra a figura 53 Åström Wittenmark 1988 O objetivo deste método é provocar oscilações limitadas e controladas no processo e a partir da resposta ver Figura 54 estimar a resposta em frequência da planta A partir da informação da amplitude de saída do processo a provocadas pelo relé podese ter uma estimativa do ganho crítico conforme 55 Ku 4hπa 55 O período crítico Tu é o próprio período de oscilação do ensaio do relé ver Figura 54 Com esta informações sobre a dinâmica do processo Ku e Tu podese usar uma tabela de sintonia por exemplo como a tabela 41 de ZieglerNichols para se obter a sintonia PI ou PID para o controlador Figura 54 Saída do processo com o ensaio pelo método do relé Campos Teixeira 2006 citam que na prática é possível utilizar o PID do sistema de controle para fazer o ensaio do relé limitase a saída do PID em h em torno do ponto de operação aumentase o ganho proporcional ao máximo e eliminase o termo integral e derivativo Este método do relé supõe o conhecimento da estrutura do controle variável manipulada e variável do processo e do sinal do ganho estático do processo Em função destes conhecimentos definese a amplitude da oscilação do relé h entre 1 a 10 em torno do valor em regime permanente atual Este valor de h deve ser escolhido de comum acordo CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 33 com os operadores da planta de maneira a não perturbar muito a planta mas suficiente para tirar o processo de seu regime estacionário Em seguida colocar o controlar em automático iniciando o método do relé Em Luyben 1987 é possível ver uma metodologia para sintonia de vários PIDs multimalhas em sistemas multivariáveis MIMO a partir de uma sequência de aplica ções do método do relé Este procedimento iterativo é repetido várias vezes até que não ocorra mais mudanças nas sintonias É necessário também saber quais as malhas mais rápidas e lentas do sistemas pois a metodologia proposta é 1 Começar a sintonia pela malhas mais rápidas com as outras em manual 2 Executar o método do relé para a primeira malha e sintonizar o PID 3 Colocar a malha sintonizada em automático e executar o ensaio do relé para a pró xima malha Continuar o método deixando as malhas sintonizadas em automático até terminar todas as malhas 4 Voltar à primeira malha mas desta vez executar o método do relé com as malhas em automático Ressintonizar esta malha e passar para a próxima malha A técnica de sintonia utilizando realimentação a relé tem várias vantagens Primei ramente o diagrama mostrado na Figura 54 possibilita extrair a resposta em frequência do processo a uma frequência particularmente importante Essa informação é usualmente suficiente para sintonizar os controladores PID para uma grande variedade de processos A segunda grande vantagem é que o procedimento ocorre com o sistema sob controle em malha fechada e devido a isso o processo pode ser mantido próximo ao valor de referên cia Outra vantagem do método de realimentação a relé é que ele pode ser modificado para tratar ruídos e perturbações no processo CC Hang Wang 2002 Para Campos Tei xeira 2006 outra vantagem deste método do relé é existir uma abordagem sistematizada para sintonia dos vários controladores PIDs multimalhas em sistemas multivariáveis 521 Método do Relé Ideal Åström Hägglund 1984 apresentaram uma metodologia para autosintonia de controladores baseado nas ideias de Ziegler e Nichols para a resposta em frequência do sistema O grande avanço apresentado é a possibilidade de detecção do ponto crítico Ku ωu por intermédio de um ensaio realizado em malha fechada no qual não se faz necessário atingir os limites da estabilidade A abordagem baseiase na modelagem da nãolinearidade através da função descritiva do relé e na interpretação em termos do dia grama de Nyquist para obtenção em frequência do processo A estrutura fundamental do método de sintonia automática utilizando o relé realimentado é apresentada na Figura 55 Durante o ensaio o controlador é colocado em manual e a entrada do processo é conectada a saída do relé A comutação do relé ideal é regida pela seguinte regra Se errot 0 então uth Se errot 0 então uth Na Figura 56 é possível observar o efeito do relé sobre a saída do processo Observa se uma oscilação sustentada de amplitude a e o período crítico Tu CC Hang Wang CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 34 Figura 55 Relé de Astrom realimentado Processo S h E o h PV 2002 em seu trabalho sugerem uma relação entre ruído e a amplitude do relé a ampli tude h seria igual três vezes a amplitude do ruído Porém neste trabalho foi adotado o critério de um conhecimento a priori da planta sendo a amplitude h do relé selecionado com valor entre 1 a 10 do sinal de controle no ponto de operação da planta A frequência crítica ωu é determinada conforme 56 ωu 2π Tu 56 Figura 56 Saída do processo sobre o ensaio do relé ideal Saída do processo a h Tu O relé ideal de Åström foi uma das primeiras metodologias implementadas em equi pamentos industriais e seu sucesso devese à simplicidade e robustez Cardoso 2002 Dentre as características que tornam a técnica do relé realimentado uma ferramenta im portante para sintonia de controladores estão 1 O arranjo automaticamente levanta um ponto importante da resposta em frequência do sistema 2 Por se tratar de um método com realimentação a variável de processo é mantida perto do valor de referência 3 Este fato permite que o processo permaneça operando próximo ao ponto de ope ração estável o que é de interesse especialmente para processos fortemente não lineares Johnson Moradi 2005 4 Requer pouco processamento matemático 5 Adequase a diferentes processo industriais 6 Aplicação não requer o conhecimento do modelo matemático do sistema 7 O tempo de execução do procedimento é normalmente menor com relação a outros métodos 8 Baixa sensibilidade a perturbações por ser implementado em malha fechada A partir das informações levantadas pelo ensaio com relé realimentado amplitude do ciclo limite a e período de oscilação Tu é possível determinar parâmetros do processo ganho crítico Ku e frequência crítica ωu A função descritiva do relé ideal denominada Na é a razão complexa da componente fundamental de ut à entrada senoidal como foi visto anteriormente e é dado por 57 Esta forma é proveniente da aproximação pela componente fundamental da Série de Fourier Na 4hπa 57 O sistema apresentará um ciclolimite contínuo marginalmente estável quando a seguinte condição for satisfeita 58 1 Na Gpjωu 0 58 Gpjωu 1Na A intersecção das curvas de Nyquist de Gpjωu e 1Na no plano complexo resulta no ponto crítico do processo O ganho crítico Ku na frequência crítica ωu é dado pela equação 59 Ku 1Gpjωu 4hπa 59 A partir da identificação do ponto crítico caso necessário podese determinar os parâmetros do modelo FOPDT 41 usando a equação 510 para calcular τ constante de tempo e a equação 511 para calcular θ atraso de transporte Cheng 2006 τ KuK² 1ωu 510 θ π tan¹τωuωu 511 Na equação 510 assumese que o ganho estático do processo K é conhecido ou pode ser obtido por meio do teste de resposta ao degrau K ΔyΔu Todavia podese usar os próprios dados do ensaio do relé para obter o ganho estático K utilizando a equação 512 CC Hang Wang 2002 K 0Tu2 ytdt 0Tu2 utdt 512 Somente com os dados de Ku e Tu obtidos a partir do ensaio do relé já se poderia usar a tabela 41 de ZieglerNichols para se obter uma sintonia Contudo com os demais parâmetros τ e θ obtidos usandose 510 e 511 e de posse do ganho estático K poderseia usar as demais tabelas de sintonias já apresentadas neste trabalho A técnica de sintonia utilizando o método do relé realimentado pode apresentar limitações importantes 1 A onda quadrada do relé é aproximada pelo primeiro termo da série de Fourier ou função descritiva Desta forma os parâmetros ganho e período crítico também são aproximações que podem comprometer o desempenho do controlador sintonizado 2 Possibilita a identificação de apenas um ponto da resposta em frequência do sistema o que pode não ser suficiente para uma sintonia satisfatória do controlador 3 Erros significativos podem ocorrer com ordem elevada ou grande atraso de transporte 4 a sensibilidade do método na presença de ruído para o relé ideal 5 Não pode ser aplicado a plantas instáveis ou duplointegradoras 6 Usuário deve levar o processo em modo manual até o ponto de operação em malha aberta em uma sintonia inicial No apêndice A5 está um algoritmo em Matlab que faz um ensaio do relé ideal em uma planta de primeira ordem para se obter o ganho crítico e a frequência crítica 522 Método do Relé com Histerese Buscando contornar o problema de chaveamentos indevidos do relé devido ao ruído presente nos sinais de campo Åström Hägglund 1984 propuseram a utilização de histerese no relé conforme ilustra a Figura 57 Figura 57 Relé com Histerese A comutação do relé é regida pela seguinte regra modificada onde ε é a largura da histerese Se errot ε então ut h Se errot ε então ut h Se ε errot ε então ut ut1 Na Figura 58 é possível observar o efeito do relé com histerese sobre a saída do processo Figura 58 Saída do processo sobre o ensaio do relé com histerese Na Figura 59 é possível identificar no diagrama de Nyquist o ponto crítico onde a defasagem entre a entrada e saída do processo atinge π rad Este diagrama seria para um relé com histerese para o relé sem histerese a função descritiva inversa 1Na estaria sobre o eixo real Figura 59 Função descritiva do relé com histerese no Diagrama de Nyquist O nível de histerese do relé deve ser tão grande quanto necessário para reduzir significativamente a influência do ruído no ensaio Cardoso 2002 Em aplicações práticas a histerese deve ser selecionada com base na amplitude do ruído por exemplo duas vezes maior que a amplitude do ruído CC Hang Wang 2002 Coelho dos Santos Coelho 2004 e Campos Teixeira 2006 visando o estabelecimento do ciclo limite Wang et al 1999 sugere que o cálculo do nível do ruído seja feita com o sistema em regime por um certo tempo depois calcular o desvio padrão σ do ruído e determinar a histerese como ε 3σruido Como visto anteriormente a função descritiva do relé com histerese é representada pela equação 513 Ogata 1985 Na 4hπa sin1 εa 513 ou seja é parecida com a do relé ideal porém com a defasagem de ϕ sin1 εa Em Coelho dos Santos Coelho 2004 podemos encontrar que o ganho crítico para o relé com o histerese é dado pela equação 514 Ku 4h πa2 ε2 514 Esta forma do cálculo do ganho crítico Coelho dos Santos Coelho 2004 é bastante citada em artigos e dissertações de mestrado sobre o relé com histerese Porém em Åstrom Hägglund 1984 Johnson Moradi 2005 e Vitecek Viteckova 2010 a função descritiva inversa do relé com histerese é dado como 1 Na π 4h a2 ε2 j π4h ε 515 Ora sabendo que Gp jωu 1 Na e que Ku 1 Gp jωu logo podemos fazer a seguinte dedução Ku Na Fazendo o módulo de Na partindo de 515 temse que 1 Na π2 42 h2 a2 ε2 π2 42 h2 ε2 1 Na π4h a2 1 Na πa 4h Na 4h πa Ku 4h πa 516 ou seja o ganho crítico Ku tomando como diretiva o cálculo do módulo de Na obtidos pelo ensaio do relé com e sem histerese são os mesmos e será dado por 516 Porém precisamos compensar a defasagem causada pela histerese que será visto a seguir Muitos processos industriais podem ser caracterizados por uma função de transferência de primeira ordem com atraso de transporte FOPDT Fisrt Order Plus Dead Time conforme a equação 41 Esta função de transferência na frequência crítica do relé isto é substituindo s jωu com manipulação matemática terá como resultado a equação 517 Gpjωu Kτjωu1 e jωuθ Gpjωu Kτjωu1 e jωuθ 1Ku K τ²ωu² 1 1 τ KuK² 1 ωu 517 A equação 517 usada para calcular τ constante de tempo é a mesma para o relé com e sem histerese Note que é a mesma formulação de 510 Para o cálculo de θ atraso de transporte do relé com histerese precisamos considerar a defasagem apresentada pela histerese No relé ideal não precisa fazer esta compensação pois a defasagem é zero Portanto na frequência de cruzamento onde o processo oscila em um ciclo limite temos a seguinte definição de fase 518 Åström Hägglund 2001 Gpjωu Cjωu π 518 em que Cjωu é o ângulo de fase do controlador e Gpjωu é o ângulo de fase do processo Fazendo o ângulo de fase para Gpjωu temos que Gpjωu K e jωuθ τjωu 1 Gpjωu ωuθ tan¹τωu 519 Substituindo 519 em 518 teremos π ωuθ tan¹τωu Cjωu θ π tan¹τωu Cjωu ωu 520 Sabendo que Cjωu Na e fazendo o ângulo de fase temos que Cjωu tan¹ε a² ε² 521 Substituindo 521 em 520 teremos a equação 522 para calcular θ atraso de transporte para relé com histerese θ π tan¹τωu tan¹ε a² ε² ωu 522 Em CC Hang Wang 2002 Vitecek Víteckova 2010 e Cheng 2006 podese encontrar as formulações para planta com outros tipos de modelos que não seja o FOPDT Para plantas do tipo Gps Kτσ 1ⁿ e θs 523 As equações para τ constante de tempo e θ atraso de transporte serão dados por 524 e 525 τ KuK²n 1 ωu 524 θ π n tan¹τωu tan¹ε a² ε² ωu 525 Para plantas do tipo Gps K s τσ 1ⁿ e θs 526 As equações para τ constante de tempo e θ atraso de transporte serão dados por 527 e 528 τ KuK 2ωu²n 1 ωu 527 θ π 2 n tan¹τωu tan¹ε a² ε² ωu 528 Para plantas do tipo Gps K s e θs 529 As equações para Ku ganho crítico e θ atraso de transporte serão dados por 530 e 531 Ku ωu K 530 θ π 2ωu 531 523 Método do Relé Bias Partindo da mesma característica de que os processos industriais podem ser modelados por um função de transferência de primeira ordem com atraso de transporte 41 Wang et al 1997 propuseram o relé com Bias com e sem histerese com uma nova maneira de fazer o ensaio do relé e com uma nova maneira de calcular o ganho estático K e o ganho crítico Ku simultaneamente além de fornecer dois pontos de frequência do processo com um único teste do relé A Figura 510 mostra o esquema do relé com um Bias Figura 510 Método do Relé Bias SP PID Processo Gps PV Com o ensaio do relé Bias a entrada e saída do processo será conforme a Figura 511 O ensaio é feito sobre condições de regra de comutação parecidas com o ensaio do relé com histerese porém o sinal de saída do relé será assimétrico Se errot ε então ut h₀ h Se errot ε então ut h₀ h Se ε errot ε então ut ut1 O ganho estático do processo será dado pela equação 532 Coelho dos Santos Coelho 2004 K ₀ᵀu₁Tu₂ yt dt ₀ᵀu₁Tu₂ ut dt 532 Sendo Ad e Au dados pela equações 533 e 534 respectivamente Ad h₀ hK1 e θτ ε e θτ 533 Au h₀ hK1 e θτ ε e θτ 534 CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 42 Figura 511 Saída do processo usando o Método do Relé Bias O período crítico do processo no ciclo limite será igual a Tu Tu1 Tu2 onde Tu1 e Tu2 será dados pelas equações 535 e 536 respectivamente Tu1 τ ln 2hKeθτ h0 hK ε h h0K ε 535 Tu2 τ ln 2hKeθτ h0 hK ε h h0K ε 536 O ganho crítico do processo será o mesmo 59 usado no relé com e sem histerese apesar de não ser usado na formulação abaixo para estimar τ e θ Com o ganho estático calculado o atraso de transporte normalizado L θτ será obtido das equações 533 ou 534 sendo dado conforme a equação 537 ou 538 L lnh h0K ε h h0K Au 537 L lnh h0K ε h0 hK Ad 538 A constante de tempo τ será dado pela equação 539 ou 540 que são obtidas a partir das equações 535 ou 536 O atraso de transporte será calculado por 541 CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 43 τ Tu1 ln 2hKeL h0 hK ε h h0K ε 1 539 τ Tu2 ln 2hKeL h0 hK ε h h0K ε 1 540 θ τ L 541 Neste método Wang et al 1997 conseguiu manter a mesma simplicidade do ensaio para o método do relé original No trabalho dele podese encontrar as provas e deduções para as equações acima bem como as simulações e comparação com outro método de sintonia Uma vez caracterizado o sistema de primeira ordem com atraso de transporte o próximo passo consiste da sintonia do PID que pode ser realizada com o auxílio das regras de ZieglerNichols por exemplo Na apêndice A7 encontrase um algoritmo em Matlab para o método do relé com histereseBias bem como a implementação do cálculo dos parâmetros de primeira ordem com atraso de transporte da planta 524 Método do Relé com Integrador O método do relé com o integrador é uma extensão do método do Åström Hägglund 1984 cuja forma será dada conforme a Figura 512 Este método afeta o angulo de fase do controlador em 90 e a condição que estabelece um ciclo limite será dado pela equação 542 e o ganho crítico será dado por 543 Vitecek Víteckova 2010 Gpjωu jωu Na 542 Ku 4h παωu 543 Figura 512 Método do relé com integrador O ensaio é feito sobre condições de regra de comutação parecidas com o ensaio do relé com histerese porém deverá ser considerado o erro como errorIt errort errorIt 1 Logicamente sabendo que o errot SP PV CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 44 Se errorIt ε então ut h Se errorIt ε então ut h Se ε errorIt ε então ut ut1 A constante de tempo τ será dado pela equação 544 e o atraso de transporte θ pela equação 545 Vitecek Víteckova 2010 τ sqrt4Kh παωu2n 1 ωu 544 θ π2 ntan1 τωu tan1ε sqrta2 w2 τ2 4π2 ε ωu 545 A introdução de diferentes funções de transferência no caminho direto do sistema realimentado possibilita a identificação de diferentes pontos da resposta em frequência do processo Com melhor conhecimento do processo melhores controladores podem ser projetados 525 Método do Relé Aparatos Wang et al 1999 apresentaram uma modificação para o método do relé alternando o relé com integrador e o relé sem integrador durante o ensaio ver Figura 513 denominado de Relé Aparatos Esta forma apresentará mais de uma frequência no diagrama de Nyquist O objetivo de Wang et al 1999 era obter um estimação em tempo real de processos utilizando Mínimos Quadrados Recursivos MQR trazendo uma nova ideia de como projetar sinais de entrada para identificação de processos Apesar disto ele sugere que o método pode ser usado para sintonia de controladores utilizando o exemplo de Åström Hägglund 1995 Figura 513 Esquema do relé Aparatos Com o ensaio do relé aparatos a entrada e saída do processo será conforme a Figura 514 O ensaio é feito seguindo os passos abaixo Passo 1 Inicialmente aplique o sinal de controle com amplitude h amplitude do relé em torno do ponto de operação desejado Passo 2 a cada instante calcule a integral do erro como errorit errorit 1 errort então aplique a seguinte regra ao relé durante três comutações CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 45 Se erroit ε então ut hsignerroit Senão ut ut1 Passo 3 depois de três comutações do sinal de controle usando a integral do erro usar a regra abaixo durante duas comutações porém desta vez será usado o erro e não mais a integral do erro Se errot ε então ut hsignerrot Senão ut ut1 Passo 4 O passo 2 deve ser repetido três vezes e o passo 3 deve ser repetido duas vezes A cada vez que o passo 2 for repetido a integral do erro deverá ser zerada erroi 0 Figura 514 Saída do processo usando o Método do relé Aparatos h Na apêndice A8 encontrase um algoritmo em Matlab R que faz o ensaio do relé aparatos 53 Método de sintonia pela Margem de Ganho e Mar gem de Fase Existem muitas possibilidades de variações para o projeto e sintonia de controladores PID usando o ensaio do relé Todos os métodos são muitos próximos um dos outros por que se baseiam na informação sobre a dinâmica do processo em termos de um ponto na curva de Nyquist A partir de um ensaio usando o método do relé para estimar os parâmetros para um processo de primeira ordem 41 com visto anteriormente Ho et al 1992 propôs um método analítico de sintonia PI que cortam dois pontos na curva de Nyquist a partir da especificação de margem de ganho AM e margem de fase φM do sistema A sintonia se mantém satisfatória para fator de controlabilidade θτ 1 Para a sintonia PI a tabela 51 mostra uma boa relação entre margem de ganho e marge de fase do sistema que podem ser usados para esta sintonia entretanto Ho et al 1992 sugere usar o par 60 3 para margem de fase e para margem de ganho A Figura 515 apresenta a região de especificação para margem de ganho e margem de fase que podem manter o processo dentro da estabilidade Figura 515 Região de especificação para margem de ganho e margem de fase Tabela 51 Tabela de relação entre margem de ganho e margem de fase E a sintonia PI pode ser calculada pelas equações 546 e 547 Onde Para sintonia PID basta acrescentar o termo derivativo nas equações acima como Td τ 54 Outros métodos de sintonia relé Cologni 2008 fez um estudo e avaliação de autosintonia de controladores PID comparando o método do relé de Åström Hägglund 1984 o método do relé duplo de Friman Waller 1997 o método do relé realimentado de Tan et al 2000 e o método CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 47 do relé realimentado de Ming Xin 2005 todas técnicas mais novas e posteriores a proposta de Astrom Na Figura 516 ele mostra um comparativo interessante sobre estes métodos com relação ao método do relé do Astrom Figura 516 Resumo comparativo de outras topologias de autossintonia Cologni 2008 testou estes métodos principalmente em três processos sendo eles de primeira ordem segunda ordem e integrador com atraso O processo 1 foi do tipo conforme 523 o processo 2 foi do tipo 526 e o processo 3 foi do tipo 529 Foi apresentado resultados do erro de identificação para os parâmetros Ku e ωu em relação ao real teórico e concluído que para o Processo 1 as estimativas usando o método de Åström Hägglund 1984 foram melhores para o processo 2 as estimativas usando os métodos de Åström Hägglund 1984 e Ming Xin 2005 foram melhores e para o processo 3 as estimativas usando o método de Åström Hägglund 1984 e Friman Waller 1997 foram melhores O próximo passo foi usar as sintonias geradas por estes métodos criando um resultado quantitativo para o desempenho da sintonia utilizando as diferentes topologias de ensaio relé conforme a tabela 52 O índice de desempenho usado foi uma normalização da IEA Integral Error Absolute onde o índice ótimo é atingido quando o valor se aproxima de 1 Como resultado do trabalho de levantamento das vantagens e desvantagens das técni cas concluise que a topologia introduzida por Åström e Hägglund 1984 mesmo depois de duas décadas de evoluções da técnica de sintonia automática utilizando relé apresenta uma boa relação custobenefício sendo a simplicidade e a robustez os seus grandes dife renciais Cologni 2008 CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 48 Tabela 52 Índice de desempenho para avaliação das topologias estudadas Processo Åström Hägglund 1984 Friman Waller 1997 Tan et al 2000 Ming Xin 2005 1 076 054 045 059 2 041 028 039 037 3 017 031 020 017 Abaixo será apresentado de forma resumida outros trabalhos que envolveram o mé todo do relé com modificações Não serão mostrados ensaios diagramas e resultados pois suas propostas não foram usadas de forma ampla e muitas delas foram baseadas em experiências específicas ou seja em processos que não tinham uma larga utilização e resultados Luo et al 1998 consideraram a utilização do relé em série com o processo em malha fechada ou seja sob ação de um controlador tipo P ou PID com parâmetros iniciais Utili zam sintonia ZiegglerNichols e apresentam como diferencias a possibilidade de execução do experimento online o que implica em menos sensibilidade a ação de perturbações e simplifica a determinação de amplitude de excitação do sistema por simples variação da referencia da malha fechada Cardoso 2002 apresentou um método capaz de identificar múltiplos pontos da res posta em freqüência do sistema com um único ensaio do relé A metodologia utiliza a Transformada Rápida de Fourier FFT Fast Fourier Transform e Mínimos Quadrados Recursivo MQR Permite a sintonia com alto grau de precisão a um custo computacional elevado Majhi Litz 2003 desenvolveram uma estrutura de sintonia automática utilizando o relé em paralelo com o controlador O ensaio é executado com o controlador inicial on line com o processo ou seja o sinal do relé é sobreposto ao controlador PID Utilizouse da identificação da planta baseado no modelo SOPDT e da sintonia baseada em especi ficações de margem de fase e ganho Gyongy Clarke 2005 propuseram um método de sintonia automática que difere dos tradicionais testes de resposta ao degrau e relé realimentado Tratase de uma meto dologia que prevê a injeção de um sinal senoidal com freqüência variável à malha fechada de controle Apesar de não ser muito desejada a injeção de tal perturbação senoidal na malha de controle não representa prejuízo caso a amplitude seja compatível com o nível de ruído inerente aos processos A metodologia proposta é comparável em termos de esforço computacional e simplicidade de aplicação ao método relé realimentado Ainda é capaz de manter a malha de controle continuamente sintonizada caso se mantenha a excitação senoidal continuamente porém exige supervisão Gyongy Clarke 2005 apresentaram uma série de simulações nos pacotes computacionais Matlab Simulink uti lizando primeiramente plantas sem ruído Em seguida o potencial de aplicação prática é avaliado utilizando simulações com ruído de medição perturbações e mudanças de refe rência Entretanto quando Gyongy Clarke 2005 compararam diferentes métodos de sintonia de controladores PID não estabeleceram a mesma topologia do controlador para as simulações para a avaliação da sintonia proposta o autor utiliza a topologia PIPD enquanto a topologia PID ideal é utilizada nos demais métodos de sintonia automática simulados CAPÍTULO 5 MÉTODO DO RELÉ PARA SINTONIA PID 49 Jeng Huang 2006 descreveram uma metodologia para análise de desempenho e sintonia PID baseada em especificações de margem de fase e margem de ganho Foi intro duzida uma alteração na estrutura clássica do relé de Åström onde um atraso de transporte é inserido na malha direta em série com o relé Não é necessário o conhecimento à priori dos parâmetros do controlador e da dinâmica do processo O atraso de transporte adici onado tem por objetivo a obtenção de outros pontos na curva de Nyquist além do ponto crítico A estrutura apresentada é capaz de garantir a existência de um ciclo limite até mesmo para processos de baixa ordem e sem atraso de transporte Capítulo 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMA POR MÍNIMOS QUADRADOS Entendese por identificação de sistemas a determinação do modelo matemático de um sistema representando os seus aspectos essenciais de forma adequada para uma utilização particular diagnóstico supervisão otimização controle Coelho dos Santos Coelho 2004 Esta identificação propicia a obtenção de modelos que representam a dinâmica do sistema processo ou planta Para fins de controle de processos não se pretende encontrar um modelo matemático exato utilizase a hipótese básica para a elaboração de modelos de que processos reais em geral não necessitam obrigatoriamente de modelos complexos Ljung 1999 O modelo de sistema é a equação matemática utilizada para responder a questões so bre o sistema sem a realização de experimentações através do modelo podese calcular ou decidir como o sistema comportase sob determinadas condições operacionais A utiliza ção do modelo para simulação do sistema constituise um procedimento de baixo custo e seguro para experimentar o sistema apesar de que a validade adequação dos resultados de simulação depende completamente da qualidade do modelo do sistema Coelho dos Santos Coelho 2004 A aplicação proposta por este trabalho tem como ferramentas principais o módulo de autossintonia e o módulo de sintonia comandada manual este último permite ao operador da planta fazer ensaios utilizando o método do relé com histerese para se obter parâmetros de sintonias PID baseadas nos métodos da seção 4 Neste módulo será pos sível também escolher entre diversos métodos de sintonias sugeridas e simular a resposta ao degrau da planta no seu ponto de operação Esta simulação depende de um modelo do sistema que nesta aplicação é realizada utilizando as técnicas dos mínimos quadrados Os dados para estimação foram os próprios dados do ensaio do relé 61 Mínimos Quadrados Estendido Na identificação de sistemas quando a saída de uma planta está corrompida por um ruído podese utilizar o algoritmo de estimação da matriz estendida conforme 61 para CAPÍTULO 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMA POR MÍNIMOS QUADRADOS 51 evitar estimativas polarizadas φT yt 1yt 2 yt na 61 ut dut d nb wt 1wt nc Este método de estimação utilizouse do métodos dos mínimos quadrados recursivos MQR Na prática os termos de wt representam um sinal nãoobservável do ruído então pode ser inferido a partir do erro de previsão Coelho dos Santos Coelho 2004 Um exemplo deste modelo no software em questão pode ser visto na Figura 61 Os passos abaixo são os que foram implementados para a estimação do processo em um modelo de tempo discreto Figura 61 Tela de sintonias PID com exemplo de modelo discreto de segunda ordem 1 Coletar os dados de entrada ut e saída yt do sistema durante o ensaio do relé a cada interação 2 Atualizar o vetor de medidas conforme o vetor 61 3 Calcular o erro de previsão ek ykφkTθk 1 62 4 Calcular o ganho do estimador Kk Pk 1φk 1φTkPk 1φk 63 CAPÍTULO 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMA POR MÍNIMOS QUADRADOS 52 5 Calcular o vetor de parâmetros estimados θk θk 1Kkek 64 6 Calcular a matriz de covariância Pk Pk 1KkφTkPk 1 65 7 Atualizar wk com o erro de previsão wk ek 66 É necessário inicializar a matriz P de covariância com uma matriz identidade multi plicada por um fator elevado por exemplo 1000 Coelho dos Santos Coelho 2004 Apesar de ser um método para estimação online o MQE pode ser utilizado de forma offline O resultado de estimação usando todos os dados do ensaio seriam os mesmos porém o cálculo offline permite usar a técnica para encontrar o atraso de transporte do sistema se o mesmo não for conhecido Para uma dada ordem do modelo e uma sequên cia de valores de d por exemplo d123 a melhor estimativa de d é a que conduz ao menor valor da soma dos quadrados do erro de previsão Coelho dos San tos Coelho 2004 É possível combinar a determinação do atraso de transporte e a ordem do modelo do processo em um problema de identificação pela simples interação do pro cedimento de detecção do atraso para uma sequência de n valores Hang et al 1993 No software desenvolvido a sequência de valores para d foi em torno de um ponto inicial dado pela estimação de θ atraso de transporte dado pelo método do relé A estimação foi utilizada desta forma e por isto temse um sistema melhor estimado com atraso de transporte que dá uma segurança maior no momento de analisar a simulação de resposta ao degrau em malha fechada da planta Na apêndice A9 encontrase um algoritmo em Matlab R de estimação offline uti lizando a técnica dos Mínimos Quadrados Estendido MQE Capítulo 7 RESULTADOS Nesta seção serão apresentados os seguintes resultados comparação entre o método do relé com e sem histerese comparação de qual ganho crítico a ser utilizado compara ção entre os métodos do relé com histerese Bias e Aparatos Pois estas análises levaram a conclusões e decisões importantes de como e qual a melhor maneira de utilizar o mé todo do relé Na outra parte dos resultados será abordado o software desenvolvido de sintonia e de autossintonia bem como os resultados de testes realizados em plantas reais e simuladas Apesar do software ter sido testado em vários processos simulados e reais somente serão apresentados os resultados dos testes realizados em duas plantas simuladas Planta simulada de temperatura da Altus e Sistema simulado de 5 tanques acoplados e duas plantas reais malha de vazão e malha de nível Os testes em plantas reais foram feitos no CENPES no pólo industrial da Petrobras em Atalaia AracajuSE Foram reali zados teste em malhas de nível vazão temperatura e pressão todas com resultados muito bons O software foi desenvolvido utilizando todas as técnicas descritas nas seções ante riores deste trabalho A linguagem de programação utilizada foi o Java usando a IDE NetBeans Sua comunicação com a planta é via OPC OLE for Process Control que é prérequisito para o funcionamento do software A biblioteca usada para comunicação OPC foi a JeasyOPC A Figura 71 mostra a tela do módulo de sintonia pelo relé com histerese módulo sintonia comandada Neste módulo é possível executar o ensaio do relé e ao fim do ensaio verificar as sintonias geradas por várias tabelas empíricas É necessário que seja escolhida uma sintonia pelo operador da planta só então o mesmo poderá ser enviado ao controlador A Figura 72 apresenta o módulo de autossintonia É necessário escolher uma malha marcar Buscar melhor sintonia e depois clicar em autossintonia Será necessário um cadastro das configurações de autossintonia previamente Para o funcionamento dos dois módulos são necessários etapas primárias de cadastro das malhas tais como Cadastro dos endereços OPC de cada elemento do processo de uma planta PV SP MV Modo Manual etc Cadastro dos servidores OPC que contém os endereços OPC das malhas de con trole Cadastro das configurações para autossintonia amplitude do relé histerese e tempo de amostragem CAPÍTULO 7 RESULTADOS 54 Figura 71 Módulo de Sintonia de controladores PID Figura 72 Módulo de autossintonia de controladores PID Demais cadastros da estrutura da unidade planta equipamentos malha CLP e algoritmo PID Este dados ficam armazenados em um banco de dados no caso deste software o MySQL Os ensaios do método do relé também podem ser armazenados para posterior simulação ou comparação de dados CAPÍTULO 7 RESULTADOS 55 71 Comparação do método do relé com e sem histerese Como já discutido anteriormente o uso do relé ideal em malhas industriais torna o método sensível ao ruído de medição Por isso é importante utilizar um método alterna tivo ou filtrar o sinal com ruído objetivando uma estimação mais precisa dos parâmetros das funções de primeira e segunda ordem Uma maneira de solucionar esse problema é utilizando o relé com histerese de tal forma que o chaveamento aconteça tolerando pequenas variações de sinal erro causado pelo ruído Sendo assim o primeiro teste programado visava a comparação entre o desempenho de controladores PID utilizados para controlar uma planta didática de nível utilizando para isto os parâmetros gerados a partir do método do relé com e sem histerese Foi usada uma planta didática T5552 da Amatrol ver Figura 73 de controle de nível e vazão A planta em questão apresenta ruído e erro de medição nos sensores gerando um ambiente propício para analisar a utilização do relé com e sem histerese Figura 73 Planta Didática da Amatrol As informações da planta foram colhidas através de uma CLP ZAP900 da HI Tec nologia e transmitidas com o auxílio de uma comunicação OPC para um computador Os testes consistiram em levar a planta até ponto de operação de 363 polegadas nível do tanque também utilizada como referência da malha fechada para o teste do relé A abertura da válvula neste ponto de operação foi de 731 e a amplitude de oscilação do relé projetado foi de 24 h 24 e h24 No ensaio do relé com histerese Figura 75 a histerese foi fixada em 01 polegadas correspondendo a duas vezes a amplitude do ruído O ensaio do relé sem histerese Figura 74 foi repetido algumas vezes pois não se conseguiu obter uma saída que pudesse representar a dinâmica do processo nos primei ros ensaios Após o teste do relé com e sem histerese e com os dados coletados foram obtidos os parâmetros K ganho estático τ constante de tempo e θ atraso de trans porte e então utilizadas as tabelas de ZieglerNichols CohenCoon e ZieglerNichols com fator detuning para se obter as sintonias PI e PID O tempo de amostragem foi de 1 segundo CAPÍTULO 7 RESULTADOS 56 Figura 74 Saída do processo de nível excitado pelo ensaio do relé sem histerese 0 50 100 150 200 250 300 34 345 35 355 36 365 37 Ensaio do relé sem histerese tempos Nível pol Figura 75 Saída do processo de nível excitado pelo ensaio do relé com histerese 0 50 100 150 200 250 300 350 32 33 34 35 36 37 38 Ensaio do relé com histerese tempos Nível pol O próximo passo foi calcular as sintonias PI e PID para o ensaio do relé sem histerese e com histerese Logos após testouse cada sintonia na planta durante 3000 segundos partindo do tanque vazio e com mudança de referência nos instantes 1300 1950 e 2600 segundos Por fim através de uma ponderação da integral do erro ao quadrado ISE coeficiente de variabilidade do sinal de controle CV MV tempo de subida Tr tempo de acomodação Ts critério de 2 e overshoot foi decidido qual o método resultou a melhor sintonia conforme a tabela 71 Usando a sintonia PID neste sistema observouse em teste que a planta com todas as sintonias PID tendia a instabilidade ou sua oscilação era bem expressiva Desta forma só foram usadas as sintonias PI devido a existência de um ruído o que faz a ação derivativa deixar o sistema instável Os parâmetros K τ e θ encontrados usando o método do relé com histerese foram 02626 67074 e 38 respectivamente E para o relé sem histerese foram 02556 43066 e 907 seguindo a CAPÍTULO 7 RESULTADOS 57 mesma ordem Tabela 71 Tabela de resultados das sintonias PI com ponderação das avaliações melhor para o pior Pesos das avaliações 40 40 10 5 5 Teste Método Kp Ki CV MV ISE Tr Ts Overshoot Nota Ponderada CH ZN c detuning 12043 258 577 43312 1012 193 343 964 CH CohenCoon 15085 847 594 44891 1056 152 443 936 CH Ziegler Nichols 15054 807 614 45467 1082 151 369 921 SH ZN c detuning 29069 2319 660 45954 1120 141 214 912 SH Ziegler Nichols 36337 7247 759 44525 1082 126 214 887 SH CohenCoon 36368 7391 754 44804 1092 126 216 885 Como podemos notar na Tabela 71 a melhor sintonia foi a de Ziegler Nichols com fator detuning obtido através da sintonia do relé com histerese Comparando a me lhor sintonia PI usando o teste com histerese e a melhor sintonia PI usando o teste sem histerese podese notar que apesar da sintonia sem histerese ter um overshoot menor quando o sistema parte com o tanque vazio o esforço do sinal de controle foi bem maior assim como o conjunto ponderado dos demais indicadores de desempenho foram piores Além disso a sintonia gerada com o relé sem histerese obteve um desempenho inferior quando o sistema muda de referência em torno do ponto de operação Isto não significa que a sintonia e nem o ensaio do relé sem histerese não funcione ou não seja válido Isto significa que em um ambiente ruidoso o ensaio do relé com histerese trará parâmetros que melhor representem a dinâmica do processo e consequentemente melhor sintonia PID Na apêndice A6 tem um exemplo em Matlab R para calcular os parâmetros de sintonia PI dos métodos acima a partir do conhecimento do K ganho estático Ku ganho crítico e ωu frequência crítica sendo estes últimos obtidos a partir do ensaio do relé como já foi visto 72 Comparação de ganho crítico real e simplificado Há algo interessante que será necessário observar nesta seção devido a maneira que o ganho crítico Ku deverá ser calculado quando um processo for submetido ao ensaio do relé com histerese É comum ver em diversos artigos dissertações de mestrado e até mesmo na literatura de identificação Coelho dos Santos Coelho 2004 que o cálculo do ganho crítico seja feito conforme a equação 514 que será chamado aqui para efeito comparativo de ganho crítico simplificado Entretanto como já explanado anterior mente o ganho crítico para o relé com e sem histerese é o mesmo conforme equação 516 que será chamado aqui para efeito comparativo de ganho crítico real Será feito uma comparação através de um teste simples entre estes dois ganhos críticos mos trando o porquê que foi escolhido a utilização do ganho crítico real Escolheuse dois modelos de processos um processo de primeira ordem que pode ser encontrado em Cheng 2006 cuja função de transferência será dado por 71 e outro de segunda ordem que pode ser encontrado em Coelho dos Santos Coelho 2004 cuja CAPÍTULO 7 RESULTADOS 58 função de transferência será dado por 72 Gs 165 20s1e10s 71 Gs 1 9375s2 625s1e2s 72 Os dois sistemas foram submetidos ao ensaio do relé com histerese Para o primeiro foi usado uma amplitude h 004 para o relé e uma largura ε 002 para a histerese Para o segundo processo foi usado uma amplitude h 03 para o relé e uma largura ε 01 para a histerese Após o ensaio do relé foram calculados os parâmetros de identificação do processo K τ e θ em dois momentos no primeiro usando o ganho crítico real conforme 516 depois usando o ganho crítico simplificado usando a equação 514 Por último foram feitas duas comparações uma com relação a identificação e outra com relação à sintonia Para identificação comparouse o quanto o modelo estimado se aproxima do real para isto foi usado o erro médio quadrático 37 Para sintonia foi usado a tabela do método de CohenCoon 46 devido ao primeiro processo ter um tempo morto elevado Analisouse também o sobressinal overshoot gerado pela resposta ao degrau em malha fechada Para o primeiro processo 71 o resultado foi conforme a tabela 72 A Figura 76 mostra a saída deste processo usando a sintonia com o ganho crítico simplificado e com ganho crítico real Tabela 72 Resultado de comparação entre identificação e sintonia usando o ganho crí tico real e simplificado Parâmetros de 1 Ordem Com ganho crítico real Com ganho crítico simplificado K 165441 165441 τ 164187 164712 θ 102228 102176 Resultado do Com ganho crítico real Com ganho crítico simplificado MSE 03093 03006 Overshoot 4335 4352 Foi verificado que usando a equação 514 para o ganho crítico Ku o sistema ficou melhor identificado pois apresentou o menor erro médio quadrático com relação ao pro cesso real porém apresentou uma sintonia levemente mais agressiva maior overshoot do que a outra quando submetido a resposta degrau do processo em malha fechado Para sintonia quase não é percebida a diferença de um para o outro Para o segundo processo 72 o resultado foi conforme a Tabela 73 A Figura 77 mostra a saída deste processo usando a sintonia com o ganho crítico real e ganho crítico simplificado Neste segundo teste usando um sistema de segunda ordem o ganho crítico simplifi cado não apresenta vantagem nem na identificação de parâmetros contínuos do processo e nem no resultado de sintonia sejam eles sendo usados com um aproximação de primeira ou segunda ordem CAPÍTULO 7 RESULTADOS 59 Figura 76 Resposta ao degrau em malha fechada planta de primeira ordem da sintonia usando o ganho crítico real e simplificado 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 05 1 15 Comparação sintonia processo de 1º Ordem método do CohenCoon Time sec Amplitude Ganho crítico real Ganho crítico simplificado Tabela 73 Resultado de comparação entre identificação e sintonia usando o ganho crí tico real e simplificado Parâmetros de 1 Ordem Com ganho crítico real Com ganho crítico simplificado K 09979 09979 τ 55561 74436 θ 50944 48394 Resultado do Com ganho crítico real Com ganho crítico simplificado MSE 00022 00045 Overshoot 1432 2685 73 Comparação entre a utilização do relé com Histerese com Bias e Aparatos Nesta seção serão feitas comparações da sintonia identificação e modelo contínuo de primeira ordem geradas a partir do ensaio de cada método do relé supracitado Foram utilizados a função de primeira ordem com atraso 71 que será denominado de processo 1 e a função de segunda ordem com atraso 72 que será denominado de processo 2 Apesar de ter sido usado outros processos para simulação somente serão apresentados este dois processos já mencionados Foi utilizado o Matlab R para estes testes O processo 1 foi submetido ao ensaio do relé com histerese Bias e Aparatos Para simulação do processo 1 foram utilizados um tempo de amostragem de 05 segundos uma amplitude do relé igual a 04 a largura da histerese igual a 01 e o valor do Bias somente para o relé com Bias foi 14 da amplitude do relé Logo após foi utilizado o método do Åström e Hägglund 1984 para calcular K τ e θ equações 516 517 e 522 para o relé com histerese e o relé Aparatos Os parâmetros K τ e θ para o relé Bias são aquelas apresentados na seção 523 Este parâmetros posteriormente foram utilizados CAPÍTULO 7 RESULTADOS 60 Figura 77 Resposta ao degrau em malha fechada planta de segunda ordem da sintonia usando o ganho crítico real e simplificado 0 10 20 30 40 50 60 0 02 04 06 08 1 12 14 Comparação sintonia processo de 2º Ordem método do CohenCoon Time sec Amplitude Ganho crítico correto Ganho crítico simplificado para calcular uma sintonia PI utilizando o método de CHR regulatório sem sobrevalor A Tabela 74 apresenta os parâmetros obtidos pelo ensaio de cada método bem como o resultado se a sintonia foi aceitável ou não aceitável fazendo uma análise gráfica da resposta ao degrau de cada sintonia PI conforme a Figura 78 Tabela 74 Comparativo entre métodos do relé para o processo 1 Relé com Histerese Relé Bias Relé Aparatos Ganho K 164885 164993 125531 Const de tempo τ 161294 204350 106675 Atraso θ 106501 99152 204231 Sintonia Aceitável Aceitável Não Aceitável Paralelamente ao processo acima foram utilizados os dados do ensaio do relé de cada método para se obter um modelo discreto estimado através dos Mínimos Quadros Es tendidos MQE O modelo estimado de cada ensaio foi comparado com a saída real do sistema usando o Erro Médio Quadrático MSE Mean Square Error e o resultado pode ser visto na Tabela 75 Tabela 75 Comparativo do MQE de cada método do relé para o processo 1 Relé com Histerese Relé Bias Relé Aparatos MSE do modelo discreto real vs estimado 688x108 514x108 196x108 Observando os dados das tabelas acima podese chegar a seguinte interpretação Para estimar os parâmetros K τ e θ usados para calcular a sintonia PI o método do relé Bias obteve a melhor estimação CAPÍTULO 7 RESULTADOS 61 A estimação dos parâmetros K τ e θ pelo método do relé com histerese são acei táveis porém os mesmos parâmetros pelo método do relé Aparatos são distantes do real As sintonias geradas pelos métodos do relé Bias e do relé com histerese são aceitá veis para diferentes situações de desempenho ver Figura 78 mas a sintonia gerada pelo relé Aparatos não são aceitáveis O modelo discreto obtido pelo Relé Aparatos foi o melhor de todos pois obteve o menor MSE entre a saída real e a saída estimada Apesar de que os outros dois são aceitáveis Figura 78 Respostas ao degrau das sintonias pelo relé com histerese Bias e Aparatos O mesmo foi feito para o processo 2 Para a simulação deste processo foi usado um tempo de amostragem de 1 segundo uma amplitude do relé igual a 03 a largura da histerese igual a 01 e o valor do Bias somente para o relé com Bias foi 14 da amplitude do relé Com relação a estimação dos parâmetros K τ e θ foi analisado qual obteve a melhor aproximação para um função de primeira ordem com atraso através do MSE da resposta ao degrau de cada sistema Tabela 76 De igual modo foi analisado graficamente o desempenho da sintonia gerada através dos parâmetros K τ e θ da planta de cada método do relé em questão conforme a Figura 79 Tabela 76 Comparativo entre métodos do relé para o processo 2 Relé com Histerese Relé Bias Relé Aparatos Ganho K 09979 09979 09611 Const de tempo τ 55561 658 44153 Atraso θ 336 28865 58507 MSE do modelo contínuo saída real vs estimada 155x104 490x104 00042 Sintonia Aceitável Aceitável Não Aceitável Paralelamente ao processo acima foram utilizados os dados do ensaio do relé de cada método para se obter um modelo discreto estimado através dos Mínimos Quadros Es tendidos MQE O modelo estimado de cada ensaio foi comparado com a saída real do CAPÍTULO 7 RESULTADOS 62 sistema usando o Erro Médio Quadrático MSE Mean Square Error e o resultado pode ser visto na Tabela 77 Tabela 77 Comparativo do MQE de cada método do relé para o processo 2 Relé com Histerese Relé Bias Relé Aparatos MSE do modelo discreto real vs estimado 323x107 32x107 200x107 A Figura 79 apresenta a saída simulada da resposta ao degrau da planta do processo 2 em malha fechada com cada sintonia PI gerada utilizando o método de ZieglerNichols Sintonia PI ver tabela 42 Figura 79 Respostas das Sintonias PI ZieglerNichols geradas pelo relé com histerese Bias e Aparatos Observando os dados das tabelas acima podese chegar a seguinte interpretação O relé com histerese tem a melhor estimação dos parâmetros contínuos K τ e θ para sintonia A estimação dos parâmetros K τ e θ pelo método do relé Bias são aceitáveis porém os mesmos parâmetros pelo método do relé Aparatos são distantes do real As sintonias geradas pelos métodos do relé com Histerese e do relé Bias são acei táveis para diferentes situações de desempenho ver Figura 79 mas a sintonia pelo relé Aparatos não é aceitável A sintonia pelo relé Bias ficou com um sobressinal alto 40 e com um transitória bastante oscilatório O modelo discreto obtido pelo Relé Aparatos foi o melhor de todos pois obteve o menor MSE entre a saída real e a saída estimada Apesar de que os outros dois são aceitáveis Resumindo podese afirmar pelos testes que para estimar parâmetros contínuos de uma planta de primeira ordem com atraso o relé com Bias é recomendado Todavia CAPÍTULO 7 RESULTADOS 63 quando a ordem da planta cresce o relé com Bias começa a perder suas vantagens Para identificação de um modelo de tempo discreto se este for o único objetivo o recomendado é utilizar o relé Aparatos E o relé com Histerese mantevese bom em todas as situações isto é seria uma solução acertada para ser utilizada quando desejase ter todas as situações Parâmetros Contínuos Sintonia e Identificação por exemplo a partir de um único ensaio do relé 74 Autossintonia PID utilizando o método do relé com histerese A ideia deste módulo é a partir do ensaio do relé encontrar os parâmetros K ganho estático τ constante de tempo e θ atraso de transporte que posam ser usados em várias tabelas empíricas de sintonia ou em métodos nãoempíricos como os métodos vistos na seção 53 Além destes parâmetros são usados os dados da excitação da planta causada pelo ensaio do relé para identificar um modelo discreto da planta usando MQE Esta técnica de identificação auxiliou de forma mais precisa a encontrar o tempo morto e a ordem da planta paralelamente aos cálculos de sintonia Isto tudo para que possa ser feita uma simulação em malha fechada da planta estimada modelo discreto com vários PID calculados A simulação em malha fechada que melhor atender aos critérios pré estabelecidos será a sintonia usada no controlador da planta em questão A escolha dos parâmetros para sintonia autossintonia do controlador PID neste módulo são através de três critérios sobressinal variância do sinal de controle e Erro Médio Quadrático MSE Mean Square Error que irão compor uma nota ponderada de 0 a 100 O sobressinal terá peso de 25 a variância do sinal de controle terá peso de 35 e o Erro Médio Quadrático terá peso de 40 todavia estes pesos são configuráveis Para este módulo de autossintonia a proposta de funcionamento será conforme o fluxograma da Figura 710 Para deixar o módulo de autossintonia mais abrangente e adaptandose ao que já existe de autossintonia pelo método do relé foi colocado neste módulo mais três opções de sintonias PI Rápido com sobressinal Moderado com pouco ou nenhum sobressinal e Lento sem sobressinal Estas sintonias são obtidas usando a tabela de ZieglerNichols modificada conforme a Tabela 78 NI 2012 Tabela 78 Sintonia PI ZieglerNichol modificada Rápido Kp Ti PI 09τKθ 333θ Moderado Kp Ti PI 04τKθ 533θ Lento Kp Ti PI 024τKθ 533θ Serão apresentados os resultados de autossintonia realizados em uma planta simulada da Training Box Duo TB131 da Altus que possui na sua arquitetura um planta de tempe ratura simulada conforme a Figura 711 CAPÍTULO 7 RESULTADOS 64 Figura 710 Fluxograma do algoritmo de autossintonia Figura 711 Modelo da planta de temperatura simulada da Training Box Duo TB131 É possível usar os endereços de entrada e saídas analógicas específicos que são dados pelo fabricante para construir um bloco PID para esta planta Feito isto podese rodar o sistema em malha fechada de forma simulada Com a ajuda de um supervisório feito no Elipse Scada e usando o mesmo como servidor OPC pôdese realizado o ensaio do relé A Figura 712 mostra um exemplo usando cada opção da sintonia PI citada anterior mente A saber que a opção de buscar melhor sintonia Figura 712d é baseado no algoritmo proposto no Fluxograma da Figura 710 O módulo de autossintonia é um opção boa que poderá ser usado no diaadia pela equipe de operadores pois a sua utilização é mais simples Apesar de que no módulo de sintonia comandada com mais opções seria possível chegar a melhores sintonia Todavia o módulo de autossintonia obterá sintonias boas que trarão bons desempenhos CAPÍTULO 7 RESULTADOS 65 Figura 712 Resposta da autossintonia PI na planta simulada de temperatura da Altus a Sintonia PI ZieglerNichols utilizando a opção Rápido com sobressinal b Sintonia PI ZieglerNichols utilizando a op ção Moderado com pouco ou nenhum sobressi nal c Sintonia PI ZieglerNichols utilizando a opção Lento sem sobressinal d Sintonia PI baseado em uma busca do melhor método empírico 75 Sintonia de uma planta simulada de cinco tanques acoplados Esta planta simulada surgiu da modelagem de sistemas de tanques acoplados baseado em experimentos reais de dois tanques que foram replicados para um sistema de cinco tanques acoplados conforme a Figura 713 A ideia desta seção é mostrar a utilização do método do relé com histerese e também do software em um sistema multimalhas e multivariável O sistema apresentado pode receber entradas tanto de uma bomba hidráulica quanto da saída do tanque acima dele O simulador foi feito para fornecer meios de monito rar e manipular um experimento com mudanças de SP pertubações ruído e atraso de transporte O simulador é um sistema de tanques acoplados multivariável que pode ser utilizado para várias aplicações de teste Portanto é um sistema válido que pode ser usado para testar métodos de sintonias em sistemas multivariáveis já que a dinâmica é baseado em um sistema real O procedimento adotado para a sintonia deste sistema foi o seguinte 1 Rodar o método do relé e sintonizar a malha de controle do tanque que fica no topo com as demais malha em manual 2 Colocar o primeiro tanque em automático usando a sintonia calculada depois rodar CAPÍTULO 7 RESULTADOS 66 Figura 713 Simulador do sistema de cinco tanques acoplados o ensaio do relé na malha de controle do segundo tanque de cima para baixo cuja dinâmica é afetada apenas pelo tanque superior já sintonizado As demais malhas abaixo permanecem em manual 3 Repetir o passo anterior para a terceira quarta e quinta malhas nesta ordem sempre colocando as malhas recentemente sintonizadas em funcionamento automático 4 Ao final da quinta malha o procedimento estará completo Serão apresentados comparações gráficas entre as sintonias antes e depois sendo que antes o PID foi sintonizado por tentativa e erro e o depois a sintonia usada foi o método do relé com histerese A Figura 714a mostra a saída do primeiro tanque com a sintonia antes e a Figura 714b a sintonia depois A sintonia utilizada sugerida pelo método do relé com histerese para este tanque foi o PID de ZieglerNichols com fator de detuning Apesar de que em um sistema de nível as sintonias PI serem suficientes para este sistema não seria devido ao nível de acoplamento entre as malhas Por isto para todos os tanques foram usados as sintonias PID sugeridas e analisadas previamente pelo software de sintonia A segunda malha de controle Tanque 2 também foi sintonizado usando o PID de ZieglerNichols com fator de detuning e a comparação antes e depois da sintonia pode ser vista na Figura 715a Já na terceira malha de controle Tanque 3 entretanto O PID utilizado foi a sintonia por CHR regulatório sem sobrevalor e sua saída pode ser vista na Figura 715b A quarta malha de controle Tanque 4 foi sintonizado utilizando o PID de ZieglerNichols ver Figura 715c e a quinta malha de controle Tanque 5 utilizando o PID ITAE conforme Figura 715d CAPÍTULO 7 RESULTADOS 67 Figura 714 Saída do Tanque 1 antes e após a sintonia utilizando o método do relé a Saída do Tanque 1 com sintonia original b Saída do tanque 1 após a sintonia Figura 715 Saída do Tanque 2 3 4 e 5 antes e após a sintonia com o método do relé a Comparação da Saída do Tanque 2 antes e depois da sintonia b Comparação da Saída do Tanque 3 antes e depois da sintonia c Comparação da Saída do Tanque 4 antes e depois da sintonia d Comparação da Saída do Tanque 5 antes e depois da sintonia CAPÍTULO 7 RESULTADOS 68 76 Sintonia da malha de recirculação de água Tratase de uma malha de vazão que controla a recirculação de água que ainda possa conter óleo para uma bateria de hidrociclones Esta malha faz parte do circuito CDS que se encontra instalado na CENPESPetrobras no pólo industrial de Atalaia AracajúSE O circuito CDS tratase de um processo que faz separação águaóleo de forma secundária usando para isto uma bateria de hidrociclones Isto é ele está ligado à saída de água do vaso separador trifásico cuja finalidade é retirar óleo que ainda possa conter na água que foi separada do óleo primariamente no vaso separadorO diagrama esquemático do hidrociclone pode ser observado na Figura 716 Figura 716 Estrutura do Hidrociclone A Figura 717 mostra o ensaio do relé realizado nesta malha Na Figura 718 estão as sintonias sugeridas de acordo com algumas tabelas empíricas bem como a simulação da saída em malha fechada com duas sintonias PI ZieglerNichols com fator de detuning e IMC Foi testada nesta malha após o ensaio do relé que durou somente 1 minuto a sintonia por ZieglerNichols com fator de detuning obtido pelo software cujos parâmetros são Kp767 e Ti1025 A planta respondeu a uma mudança de SP com velocidade três vezes superior à sintonia anterior Kp2 e Ti2 com menor sobressinal Esta nova sintonia se mantém nesta planta até a atualidade 77 Sintonia da malha de nível de óleo em um vaso sepa rador trifásico Em particular nesta malha que controla a altura do nível do óleo no vaso separador trifásico que também se encontra instalado na CENPESPetrobras no pólo industrial de Atalaia AracajúSE e faz parte do Circuito Poço Multifásico CPM o objetivo é manter o controle do nível de óleo dentro do vaso sem que mudanças de nível causassem sobres sinal no regime transitório e que fosse o mais rápido possível Pelas simulações a sintonia CAPÍTULO 7 RESULTADOS 69 Figura 717 Ensaio do relé na malha de recirculação de água Figura 718 Sintonias para malha de recirculação de água que mais se adequava a estas especificações foi a PIITAE Uma ilustração de um vaso separador trifásico pode ser vista na Figura 719 A Figura 720 mostra um teste com mudança de referência para esta malha após receber a sintonia escolhida Quando comparado a sintonia anterior Kp2 e Ti15 min que existia na malha esta nova sintonia Kp95 e Ti94 min foi duas vezes mais rápida A sintonia antiga estabi lizava o sistema em 10 minutos com sobressinal de 102 A nova sintonia estabiliza em aproximadamente 5 minutos sem sobressinal CAPÍTULO 7 RESULTADOS 70 Figura 719 Vaso Separador Trifásico Figura 720 Saída da planta de nível de óleo com a sintonia PIITAE Capítulo 8 CONCLUSÕES É evidente quando olhamos para a indústria a necessidade de ajuste das sintonias PID nas suas malhas de controles Existem malhas como foi visto na introdução que tra balham em modo manual sendo muitas delas pelo motivo de sintonia ineficiente Desta forma métodos de sintonia mesmo que inicial e autossintonia são fundamentais para garantir o funcionamento dos processos em modo automático e com elevada produtivi dade O ajuste das sintonias não deixa somente as malhas de controle mais produtivos mas também melhoram a qualidade dos produtos pois as exigências de um determinado processo serão alcançadas É nesta perspectiva que o método do relé entra como método robusto e simples de sintonia quando for inicial e de autossintonia quando for ao longo do tempo O método do relé facilita a intervenção no ajuste de controladores PID pois permite uma intervenção rápida evitando a necessidade de um conhecimento aprofundada da malha de controle em questão Além do mais o método pode ser usado para malhas instáveis e malhas com alto grau de nãolinearidade pois a excitação é feita em um ponto de operação em malha fechada com o relé substituindo o controlador PID dentro de faixas seguras para a planta o que não ocorre por exemplo num método de resposta ao degrau Neste método é fundamental para seu funcionamento de uma forma mais ampla sempre que necessário o uso do relé com histerese devido a necessidade de evitar o chaveamento de alta frequência que pode ocorre com o relé ideal causado pelo ruído Com foi visto na secção 71 as melhores sintonias para a planta didática de nível e vazão da Amatrol foram utilizando controladores PI em especial as sintonias geradas pelo método do relé com histerese pois nesta planta com ruído e erro de medições o relé sem histerese não conseguiu ter uma frequência de oscilação que fosse uniforme ao longo do ensaio dificultando escolher um período saída da planta que pudesse representar sua dinâmica Nesta planta um método de autossintonia usando o relé ideal não traria bons resultados Também como foi visto na seção 73 o método do relé com histerese passa a ser uma escolha boa devido a capacidade de ter bom desempenho com diferentes demandas para sistemas de diferentes ordens Um conhecimento a priori do ruído se faz necessário para determinar a histerese do método do relé Para estimação automática do ruído a maneira mais direta seria observar o processo no ponto de operação por um certo tempo com o controlador em manual e obter a amplitude do ruído na saída do processo A histerese seria calculada como 2 vezes a amplitude do ruído CC Hang Wang 2002 Coelho dos Santos Coelho 2004 CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES 72 e Campos Teixeira 2006 Porém esta maneira pode ser indesejável pois a malha ficaria aberta Todavia uma simples observação a priori do processo para verificar o ruído mesmo que graficamente resolveria o problema O ruído seria observado para determinar a histerese que por sua vez ficaria cadastrada para aquela malha em questão definitivamente a menos que haja mudança de equipamento Esta é a maneira adotada pelo software desenvolvido e tem se mostrado coerente em todos os testes O módulo de sintonia comandada seria interessante para ser usado pela equipe de Engenharia de Controle pois é a equipe que melhor domina o conhecimento a respeito de sintonias PID e pode usar todas as funcionalidades que este módulo possa trazer salvar o ensaio do relé para posterior uso de simulação verificar várias propostas de sintonias PI e PID ver a simulação em malha fechada com resposta ao degrau de cada sintonia fazer sintonia fina utilizando o modelo estimado e enviar a sintonia manualmente para o CLP a qualquer momento Embora o módulo de autossintonia também traga bons resultados e seja mais simples de utilizar No teste prático ocorrido no CENPES em uma malha de recirculação de água con forme foi descrito na secção 76 foi observado que havia uma equipe que estava tentando achar um sintonia rápida para uma determinada faixa de operação deste processo Apesar do CLP desta malha oferecer um método de autossintonia baseado no relé a equipe de sistiu do mesmo pois as sintonias sugeridas pelo software do equipamento não atendiam as expectativas Desta forma os mesmos passaram a semana buscando uma sintonia por tentativa e erro A sintonia PI ao final destas tentativas foi Kp63 e Ti11 Esta planta foi submetida a um único ensaio do método do relé com duração de 1 minuto utilizando o software de sintonia módulo de sintonia comandada A sintonia mais rápida suge rida pelo mesmo foi Kp767 e Ti1025 e segundo o teste realizado naquele momento usando esta última sintonia foi melhor com menor tempo e menor sobressinal Ou seja o que levou uma semana poderia ser em minutos usando este método com este software pois uma das grandes vantagens deste sistema é a simulação prévia de cada sintonia Na planta de nível de óleo do separador trifásico quase todas as sintonias sugeridas eram boas para o processo E foi possível encontrar uma sintonia que atendesse exata mente os prérequisitos que a equipe de controle do CENPES estavam querendo Tudo isto mostra que o software é consistente e funciona para as mais diferentes plantas No sistema de tanques acoplados da seção 75 as sintonias geradas e utilizadas no PID de cada controlador dos tanques poderiam ser melhoradas se fosse feito um nova rodada do ensaio do relé em cada malha porém desta vez com os controladores em automático conforme descrito na seção 52 Este exemplo foi usado para mostrar a capacidade de sintonia pelo método do relé para sistemas multimalhas e multivariável Apesar de existirem outros métodos baseados no ensaio do relé que apresentem me lhores resultados de estimação do processo em determinadas situações específicas como foi visto na secção 54 e levando em consideração as vantagens e desvantagens descritas por Cologni 2008 podese concluir que a topologia introduzida por Åström e Hägglund 1984 mesmo depois de três décadas de evoluções da técnica de sintonia automática uti lizando relé apresenta uma boa relação custobenefício sendo a simplicidade e a robustez os seus grandes diferenciais Os testes usando plantas simuladas e reais mostraramse confiáveis de serem usados CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES 73 pois foram testados em plantas de nível temperatura e vazão conforme foi visto neste trabalho O sistema e o algoritmo de autossintonia proposto por este trabalho mostramse promissores e se bem refinados podem gerar um produto comercial Então podese concluir que o software de sintonia e autossintonia PID pelo método do relé com histerese desenvolvido e apresentado nesta dissertação encaixase promisso ramente nas necessidades de solução de sintonia de controladores PID das industriais Referências Bibliográficas Arruda Lúcia Maria Swiech Flávio Junior Myriam Delgado 2008 Um método evolucionário para sintonia de controladores pipid em processos multivariáveis Revista Controle e Automação 191 116 Åström Karl J Bjorn Wittenmark 1988 Automatic tuning of PID Controllers ISA Research Triangle Park Durham NC EUA Åström Karl J Tore Hägglund 1984 Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins Automatica 205 645651 Åström Karl J Tore Hägglund 1995 PID Controllers Theory Design and Tunning Instrument Society of America 2a Edição Durham NC EUA Åström Karl J Tore Hägglund 2001 The future of pid control Control Engineering Practice 911 11631175 Åström Karl J Tore Hägglund 2004 Revisiting the zieglernichols step response method for pid control Journal of process control 146 635650 Åström Karl J Tore Hägglund 2006 Advanced PID Control Instrument Society of America Durham NC EUA Campos Mario Cesar M Massa De Herbert C G Teixeira 2006 Controles típicos de equipamentos e processos industriais Editora Edgard Blücher São Paulo Cardoso P M 2002 Estudo 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PID de posição Exemplo de um PID Discreto de posição clear clc Condições iniciais N 150 ts 05 y15 0 u15 0 erro15 0 s15 0 Referência yr150 1 yr51100 2 yr101150 075 Planta controlada nps 04 dps 1 10 25 npzdpz c2dmnpsdpstszoh Sintonia Kp10 Ti01 Td0 Converte sintonia para parâmetros discreto kpKp kiKptsTi APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 79 kdKpTdts for k 3N Saída da planta yk dpz2yk1 dpz3yk2 npz2uk1 npz3uk2 cálculo do erro errok yrk yk somatório do erro sk sk1 errok Sinal de controle ukkperrokkiskkderrokerrok1 end t 1N subplot211plottytbtyrtrlinewidth2titlesaída e referênciaxlabelamostra grid on subplot212plottutrlinewidth2titlecontrolexlabelamostra grid on A2 Algoritmo Matlab para um PID de velocidade Exemplo de um PID Discreto de velocidade clear clc Condições iniciais N 150 ts 05 y15 0 u15 0 erro15 0 s15 0 Referência yr150 1 yr51100 2 yr101150 075 Planta controlada nps 04 APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 80 dps 1 10 25 npzdpz c2dmnpsdpstszoh Sintonia Kp10 Ti01 Td0 Converte parametros kpKp kiKptsTi kdKpTdts for k 3N Saída da planta yk dpz2yk1 dpz3yk2 npz2uk1 npz3uk2 cálculo do erro errok yrk yk Sinal de controle ukuk1kperrokerrok1kierrok1kderrok2errok1errok2 end t 1N subplot211plottytbtyrtrlinewidth2titlesaída e referênciaxlabelamostra grid on subplot212plottutrlinewidth2titlecontrolexlabelamostra grid on A3 Algoritmo Matlab da curva reação de ZN function ktautheta ZNStepft Cálculo de Atraso e Constante de tempo para uma Função de transfência de de 1o Ordem dt 005 t 0dt30 y stepftt resposta ao degrau dy diffydt derivada da resposta mp maxdy ponto de inflexao yi yp y correspondente ao ponto de inflexão APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 81 ti tp tempo do ponto de inflexão k1 Neste exemplo de resposta ao degrau o k1 theta tiyim atraso tau yendyimtitheta constante de tempo end A4 Algoritmo Matlab para índices de desempenho classdef Desempenho properties SetAccess private GetAccess private VARIAVEIS erro pv sp op tempo tamanho end properties SetAccess private IAE iae ISE ise ITAE itae ITSE itse Goodhart goodhart variabilidade variabilidade variancia do sinal PV varsinalPV variancia do sinal PV varsinalMV variância do sinal PV com desvio padrão VarSinDesvPPV end methods CONSTRUTOR function metricas Desempenhoerrotempopvspop metricaserro erro APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 82 metricastempo tempo metricaspv pv metricassp sp metricasop op metricastamanho lengtherro end Desempenho function iaeFcn getiaeobj iaeFcn sumabsobjerroobjtempoend end iaeFcn function itaeFcn getitaeobj somador 0 for i 1 objtamanho somador somador objtempoiabsobjerroi end itaeFcn somadorobjtempoend end itaeFcn function iseFcn getiseobj somador 0 for i 1 objtamanho somador somador objerroi2 end iseFcn somadorobjtempoend end iseFcn function itseFcn getitseobj somador 0 for i 1 objtamanho somador somador objtempoiobjerroi2 end itseFcn somadorobjtempoend end itaeFcn function goodhartFcn getgoodhartobj a1 02 a2 03 a3 05 e1 sumabsobjopobjtempoend somadore2 0 somadore3 0 for i 1 objtamanho somadore2 somadore2 objopi e12 somadore3 somadore3 absobjspi objpvi2 APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 83 end e2 somadore2objtempoend e3 somadore3objtempoend goodhartFcn a1e1 a2e2 a3e3 end goodhart function varsinfcn getvarsinalPVobj Y sumobjpvlengthobjpv vars sumobjpvY2lengthobjpv1 varsinfcn vars end Variância sinal de saída function varscfcn getvarsinalMVobj U sumobjoplengthobjop varsc sumobjopU2lengthobjop1 varscfcn varsc end Variância sinal de controle function varfcn getvariabilidadeobj var 2stdobjerromeanabsobjpv100 varfcn var end varibiliade da malha function varsinfcndesv getVarSinDesvPPVobj Y stdobjpv vars sumYobjpvlengthobjpv1 varsinfcndesv vars end Desvio padrão de PV end end A5 Algoritmo Matlab para o ensaio do relé ideal clear allclc Tamostra 01 tempo de amostragem do sistema ref 3 h12 amplitude do relé uop1 Ut no ponto de operação dmax uoph APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 84 dmin uoph y15 0 erro15 0 u150 y1150 cont0 k4 planta num 2 den 05 1 bac2dmnumdenTamostrazoh while cont 6 significa 3 periodos de frequência do relé Ler a saída da Planta PV yk a2yk1b2uk3 planta com atraso de 2 períodos 02s errok ref yk tempok kTamostra teste para comutação do relé if errok 0 uk dmax end if errok 0 uk dmin end if ukuk1 verifica se houve mudança do sinal do relé contcont1 periodoscontk end kk1 end Tu periodos6 periodos4Tamostra calcular o periodo crítico W2piTu Frequência crítica aux1 periodos3 aux2 periodos5 armref Pico positivo APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 85 for t aux1aux2 if yt arm arm yt end end Au arm guardar pico positivo armref Pico negativo for t aux1aux2 if yt arm arm yt end end Ad armguardar pico negativo a absAu absAd2amplitude da saída Ku 4hpia ganho crítico A6 Algoritmo Matlab para calcular sintonia PI function Kp Ki SintPIK KuWu metodo tau 1WusqrtKuK2 1 teta 1Wupi atantauWu switch metodo case 1 ZN com Detuning f25 Kp 09tauKtetaf2 Ki Kp333tetaf dispZN com Detuning case 2 CC Kp tauKteta09teta12tau Ti teta303tetatau920tetatau KiKpTi dispCC case 3 ZN sem detuning Kp 09tauKteta Ki Kp333teta dispZN APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 86 end end A7 Algoritmo Matlab para ensaio do relé com histereseBias Método do relé com HistereseBias Planta Gs 165 e10s 20s 1 clearclc ref1 Tamostra 01tempo de amostragem do sistema planta 1o ordem num 165 den 20 1 bac2dmnumdenTamostrazoh atraso10segundos eps01 histerese h004 amplitude do relé uop006 ponto de operação h0001bias do relé dmaxuophh0 dminuophh0 katrasoTamostra2 u1k0 erro1k0 y1k0 t11k temp1ktTamostra cont0 periodos1k0 N8número de ciclos do relé while contN yk a2yk1b2uk100 calcular o erro errokrefyk guardar o tempo APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 87 tempkkTamostra if abserrokeps errok0 uk dmax end if abserrokeps errok0 uk dmin end if abserrokeps uk1dmax uk dmax end if abserrokeps uk1dmin uk dmin end if errokeps ukdmax end if errokeps ukdmin end if ukuk1 verifica se houve mudança do sinal do relé contcont1 repetir até N2 vezes o ciclo completos do relé periodoscontk grava os períodos end kk1incrementa o proximo passo end Tu1 periodos6 periodos5Tamostra calcular o periodo Tu1 Tu2 periodos5 periodos4Tamostracalcular o periodo Tu2 Tu Tu1 Tu2Periodo total aux1 periodos3 aux2 periodos5 Calculo dos picos positivos e negativos da saída armref Pico positivo for t aux1aux2 if yt arm APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 88 arm yt end end Au arm guardar pico positivo armref Pico negativo for t aux1aux2 if yt arm arm yt end end Ad armguardar pico negativo Ganho Estático yi0 0 ui0 0 ti0 0 i0 for taux1aux2 criando vetor do resultado de um periodo completo de oscilação ii1 yiiyt uiiut tiiiTamostra end Integração de uma onda completa para encontrar o ganho estático A1 050 yiyi 0ti 00 ti A1sumA112lengthyi A2050 uiui 0ti 00 ti A2sumA212lengthui k A1A2 ganho estático Cálculo de Tau e Theta Au Auref Ad refAd l1 hh0keps l2 h0hkAu L logl1l2atraso normalizado x1 2hkexpLhh0keps x2 h0hkeps APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 89 tau Tu1logx1x2 constante de tempo theta tauL atraso de transporte saidauy plottempsaida grid stfs gsreal exp10s16520s1 gsest expthetasktaus1 figure2 stepgsrealbgsestr grid on legendPlanta realPlanta estimada A8 Algoritmo Matlab para ensaio do relé aparatos ref1 Tamostra 1tempo de amostragem do sistema eps01histerese h 03amplitude do relé uop 1sinal no ponto de operação atraso1 katrasoTamostra2 u1k0 y1k0 ei1k0 t11k temp1ktTamostra cont0 contf0 periodos1k0 flag1 while cont13 yk 1436yk105134yk2004286uk1003431uk2planta de 2o calcular erro errokrefyk guardar o tempo tempkkTamostra integral do erro APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 90 eik errokeik1 switch flag case 1 if flag1 relé com integrador if abseik0 cont0 aplicar o sinal pela primeira vez somente ukuophsigneik end if abseik eps ukuophsigneik else ukuk1 end end case 2 if flag2relé normal sem integração if abserrok0 cont0 ukdmax end if abserrok eps ukuophsignerrok else ukuk1 end end end if ukuk1 verifica se houve mudança do sinal do relé contcont1 contfcontf1 if flag1 if contf3mudar para o relé com integrador flag2 contf0 end elseif flag2mudar para relé normal if contf2 flag1 contf0 eiei0 end end periodoscontk end APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 91 kk1incrementa o proximo passo end saidauy plottempsaida grid legendentradasaída A9 Algoritmo Matlab dos Mínimos Quadrados Esten dido MQE function thetaMQREAtryuOrdd tam minlengthylengthu fizeros1Ord3valor inicial de fi p 1000eyeOrd3Ord3Matriz de covariância inicial atrd1Atraso período de atraso wzerostam1 teta ones1Ord3valor inicial de theta for kOrd1atrtam Monta a Matriz de regressores modelo ARMAX for j1Ord laço para montar a matriz fi fi1jykj fi1jOrd ukatrj fi1jOrd2 wkj end Calcula erro de estimação wk yk tetafi Calcula ganho do estimador Kpfi1fipfi Calcula o vetor de parametros estimados teta tetaKwk Calcula a matriz de Covariância ppKpfi APÊNDICE A ALGORITMOS EM MATLAB 92 end thetateta Image is a plot with no text content to extract Image is a plot with no text content to extract See discussions stats and author profiles for this publication at httpswwwresearchgatenetpublication325756599 Realization of a lowcost OpAmp based PID Controller Preprint June 2018 DOI 1013140RG222998100485 CITATION 1 READS 22230 1 author Henry Ibekwe Manchester Metropolitan University 6 PUBLICATIONS 1 CITATION SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Henry Ibekwe on 14 June 2018 The user has requested enhancement of the downloaded file Realization of a LowCost OpAmp Based PID Controller Onyekachi H Ibekwe1 1Zenwoxx Energy Systems hibekwegmailcom Abstract In this paper I present an easytofabricate PID controller composed of two operational amplifiers and a couple of resistors and capacitors Rural communities that cannot afford commercially available PID controllers may want to explore this option for their control and production needs Also presented is a MATLAB utility which assists in tuning the PID controller though the plant parameters have to be known beforehand 10 INTRODUCTION In this paper I engage a lowcost opamp based PID controller and a MATLAB utility that helps in the determination of the opamp circuit values Based upon easily available components such a controller could be easily utilized in homemade appliances where cost and complexity might be issues to contend with It may also be applied in scenarios where PLC and ladder logic might be considered overkills or overly expensive The main challenge to using this PID controller remains the need for the plant parameters to be know in the frequency domain The rest of the paper is outlined as follows First I introduce opamp circuit and demonstrate that its transfer function mimics the basic PID equation Thereafter I introduce a MATLAB utility which enables trialanderror determination of PID controller parameters together with an examination of stepfunction response Thirdly I apply the estimates of the PID parameters in the determination of resistor and capacitor values in the opamp circuit 20 CIRCUIT AND PID EMULATION It can be demonstrated that the transfer function of the RC opamp circuit in figure1 has the same form as the classical PID equation Gcs sKd Kp Kis s 1 Where Gs is the controller transfer function Kp is the proportional gain Ki is the integral gain and Kd is the derivative gain Upon analysis the transfer function of the opamp circuit in figure1 is given by Gcs sC₁R₂ C₁R₁ C2R2C2R1 1sC2R1 2 The inverted output of equation 2 is easily corrected by the addition of an inverting unitygain buffer shown in figure2 to the output of the opamp circuit of figure1 Now comparing equations 1 and 2 on a termwise basis enables the evaluation of the classical PID parameters Kd C₁R₂ 3 Kp C₁R₁ C2R2C2R1 4 Ki 1C2R1 5 Figure1 opamp circuit for PID control Figure2 opamp circuit with inverting buffer to correct for initial inversion 30 PID TUNING USING MATLAB UTILITY In this section as already mentioned it is assumed that the plant frequency domain model has already been identified Classic texts12 for the classification exercise may be consulted by the reader As a working example I will take the incubator frequency domain model as determined by Okpagu and Nwosu3 both of whom came up with the following model for an egg incubator Gps 1120s 1 6 Figure3 MATLAB utility for PID tuning and impulseresponse simulation Keying in the plant parameters into the blue colored box of the MATLAB utility is straightforward The numerator section holds the coefficients of the numerator polynomial while the denominator section holds the coefficients of the denominator polynomial I have limited both polynomials to the second order but the mfile may be easily modified for higher order polynomials Having keyed in the plant model the user has to carefully key in educated estimates of the PID control parameters In the case of the incubator model in equation 6 I have tried several PID parameters and I am satisfied with the impulseresponse graph displayed in the lower right of figure3 In the next section I will utilized the PID control parameters to determine resistor and capacitor values It may be wise to keep the ZieglerNichols4 method as a rule of thumb where the integral and derivative gains are initially set to zero The proportional gain Kp is then increased from zero until it reaches an ultimate gain Ku at which the output of the control loop has stable and consistent oscillations Ku and the oscillation period Tu are then used to set the Kp Ki and Kd gains depending on the type of controller used 40 RC CIRCUIT DETERMINATION From figure3 we can now make use of the following equations Kd 50 C₁R₂ 7 Kp 1600 C₁R₁ C2R2C2R1 8 Ki 600 1C2R1 9 Assigning values to the resistors say 1KΩ to R₁ and 10KΩ to R₂ solving for C₁ and C₂ becomes a trivial affair using only equations 7 and 8 C₁ 499755 μF 10 C₂ 1667 μF 11 Figure4 block diagram of feedback controlled incubator model by Okpagu et al 50 STEADYSTATE ERROR Given that the step function was used to excite the feedback control system in the MATLAB simulation it is appropriate to pay closer attention to the steadystate error of the entire system The steadystate error is the control signal error as the system transient response decays leaving only the systems continuous response For the system in figure4 the error value given by the expression Es Us1 GcsGps 12 Where Gcs and Gps are given by equations 2 and 6 respectively while Us is given by the Laplace transform of the stepfunction Us 1s 13 In order to determine the steadystate error the finalvalue theorem will be utilized lim t et lim s0 sEs 14 So that e lim s0 s 1s 11 GcsGps 15 From equation 15 becomes clear that the e comes closer to zero whenever the term GcsGps assumes a large enough value as s tends to zero Now equations 2 and 6 clearly reveal that lim s0 Gps 1 16 lim s0 Gcs lim s0 sC₁R₂ C₁R₁ C2R2C2R1 1sC2R1 17 As s tends to zero the value of expression 17 tends to infinity also increasing the magnitude of the product GcsGps Under these circumstances equation 17 becomes immune to the vagaries of capacitor and resistor tolerances In other words regardless the nonideal behavior of the capacitors and resistors in the opamp circuit the steadstate error of the control system will tend toward zero as time tends to infinity Therefore at least in principle there is no need to worry about compensating circuitry for such tolerances or embracing using another design scheme or bothering much about choosing choose resistors and capacitors narrow tolerance ranges 60 OTHER PRACTICAL CONSIDERATIONS The circuitry presented in this paper is suitable for singleinputsingleoutput SISO control systems In addition a designer might want to couple this controller to the output of a lowcost programmablelogiccontroller PLC one which might not ship with a PID control block in its ladder logic implementation In practice the designer of this opamp based PID circuit must exercise prudence in matching the opamp specifications to the industrial application under consideration whether to utilize a lowpower or highpower opamp Data sheets for real world opamps will come handy at this juncture5 and the designer must make a decision regarding singlepowersupply6 or dualpowersupply opamps As usual in terms of impedance considerations the opamp PID must possess a high input impedance and low output impedance Furthermore adjustments must be made to render the opamp output compatible with the signal input expected by the plant actuator It is equally assumed that the response curves of the feedback sensor are well known Lastly provisions must be made for cooling the circuitry and rendering it physically rugged given the stringent demands of industrial control 70 CONCLUSION In this paper I have been able to demonstrate feasibility of a simple but effective opamp based PID controller This circuit would come handy in locations where the acquisition installation of a commercial PID controller would be a challenge This circuitry makes it possible for low income rural farming communities to play around with tank water level control incubators waterpump speed control and so on The MATLAB utility is available for download the the urlhttpswwwmathworkscommatlabcentralfileexchang e67194utilityforpidtuning BIBLIOGRAPHY 1 L Ljung System Identification Theory for the User 2nd ed New Jersey Prentice Hall PTR 1999 2 C L Smith Practical process control tuning and troubleshooting Hoboken NJ Wiley 2009 3 P E Okpagu and A W Nwosu Development and Temperature Control of Smart Egg Incubator System for Various Types of Egg European Journal of Engineering and Technology vol 4 no 2 pp 1321 2016 4 J G Ziegler and N B Nichols Optimum Settings for Automatic Controllers Transactions of the ASME vol 64 pp 759768 1942 5 G B Clayton and S Winder Operational amplifiers 5th ed Oxford Boston Newnes 2003 6 R Mancini Op amps for everyone design reference Boston Newnes 2003 RELATÓRIO SISTEMAS DE CONTROLE 1 Diagrama eletrônico funcional da planta Foi desenvolvido o diagrama no ambiente Simulink para realizar a simulação da planta e do controlador o arquivo é o arquivo1slx A seguir todos os blocos do sistema são comentados o A figura abaixo representa a planta ou seja é um bloco de função de transferência que recebe os dados do artigo de Balcazar 2022 p 5 À direita há um scope que coleta os dados de saída do modelo e plota um gráfico da saída do sistema em relação ao tempo o A figura abaixo representa a região de realimentação do controlador Há um medidor de tensão à direita que realiza a medição na saída do modelo da função de transferência esse valor é convertido de de Simulink para o modelo de PowerSystem SimulinkPS converter Há também outro medidor de tensão que recebe a constante 250 após passar pelo conversor essa constante é a entrada do sistema responsável por definir o setpoint desejado À esquerda há um amplificador operacional na topologia de amplificador somador ou seja os dois dados na estrada dos resistores R7 e R8 são somados analogicamente Como todos os resistores são iguais a 10k Ω o ganho da soma é unitário Por fim para que o modelo simulink não entre em conflito no início da simulação um bloco de inicialização fx0 solver configuration é posto junto à entrada de 250 o Toda a figura abaixo é a implementação do controlador PID No primeiro estágio temos um amplificador operacional na configuração integradorderivativo assim sua função de transferência é de segunda ordem e seus resistores e capacitores podem ser modelados de acordo com os ganhos PID Ibekwe 2018 o A saída do primeiro estágio apresenta uma fase de 180 assim para que a fase retorne para 0 é implementado um segundo estágio de amplificador com ganho unitário R3R4 Após estas duas operações temse um medidor de tensão com o conversor PSSimulink responsável por enviar a ação de controle para a planta Diagrama eletrônico funcional do sintonizador A figura a seguir apresenta a parte do diagrama alterada para realizar a sintonia do controlador arquivo2slx O circuito consiste em um transistor TBJ polarizado para funcionar como chave assim de acordo com o sinal na entrada do resistor R10 o transistor pode entrar em condução ou não Quando em condução o medidor de tensão captura o sinal da fonte e enviar à planta para verificar seu comportamento Como ainda há a realimentação o sinal de comando da planta entra em oscilação ou seja com esse comportamento é verificada a oscilação do sinal de entrada e observada a histerese da resposta do sistema O resultado da simulação é capturado pelo bloco outsimout que envia o resultado da simulação para o workspace Sintonia do controlador Realizando a execução do arquivo2slx o resultado apresentado pela planta é o a seguir Para a sintonia do controlador utilizase o método de ÅSTRÖM 1988 p 1 A seguir foram identificados os pontos acima para determinação dos parâmetros a Tu e h Assim os cálculos realizados são os a seguir apontomáximoponto médio23412159182 hentradaponto médio252159341 T uperíododaoscilação3274155517 19 Calculando a constante Ku Ku 4h πa 4 341 314 182238 Para determinar as constantes PID utilizase a tabela a seguir Logo K p06 2381 43 T i17 19 2 86 Ki K p Ti 1 43 86 016 T d1719 8 86 KdK pT d143215307 O próximo passo é determinar os resistores e capacitores do modelo PID utilizando amplificadores operacionais Fazendo R210 k Ω C1K d R2 3 07 10000 307μF Substituindo a terceira equação na segunda K pC1R1C2R2 1 Ki K p Ki C1 R1C2 R2 1 43 016 0000307 R110000C2 0000307 R110000C2894 Além disso da terceira expressão C2 1 016 R1 Substituindo 0000307 R110000 1 016 R1 894 Que resulta em R117961 ou R111446 Escolhendo a primeira solução temos R117 96 k Ω C2 1 01617961348 μF Portanto substituindo esses resultados nos parâmetros do PID na planta temos o seguinte resultado de controle Como observado a planta atingiu o setpoint desejado em 250C REFERÊNCIAS ÅSTRÖM Karl Johan HÄGGLUND Tore Automatic tuning of PID controllers Instrument Society of America ISA 1988 BALCAZAR Ricardo et al The regulation of an electric oven and an inverted pendulum Symmetry v 14 n 4 p 759 2022 IBEKWE Henry Realization of a lowcost OpAmp based PID Controller 2018 RELATÓRIO SISTEMAS DE CONTROLE 1 Diagrama eletrônico funcional da planta Foi desenvolvido o diagrama no ambiente Simulink para realizar a simulação da planta e do controlador o arquivo é o arquivo1slx A seguir todos os blocos do sistema são comentados o A figura abaixo representa a planta ou seja é um bloco de função de transferência que recebe os dados do artigo de Balcazar 2022 p 5 À direita há um scope que coleta os dados de saída do modelo e plota um gráfico da saída do sistema em relação ao tempo o A figura abaixo representa a região de realimentação do controlador Há um medidor de tensão à direita que realiza a medição na saída do modelo da função de transferência esse valor é convertido de de Simulink para o modelo de PowerSystem SimulinkPS converter Há também outro medidor de tensão que recebe a constante 250 após passar pelo conversor essa constante é a entrada do sistema responsável por definir o setpoint desejado À esquerda há um amplificador operacional na topologia de amplificador somador ou seja os dois dados na estrada dos resistores R7 e R8 são somados analogicamente Como todos os resistores são iguais a 10𝑘Ω o ganho da soma é unitário Por fim para que o modelo simulink não entre em conflito no início da simulação um bloco de inicialização fx0 solver configuration é posto junto à entrada de 250 o Toda a figura abaixo é a implementação do controlador PID No primeiro estágio temos um amplificador operacional na configuração integradorderivativo assim sua função de transferência é de segunda ordem e seus resistores e capacitores podem ser modelados de acordo com os ganhos PID Ibekwe 2018 o A saída do primeiro estágio apresenta uma fase de 180 assim para que a fase retorne para 0 é implementado um segundo estágio de amplificador com ganho unitário 𝑅3 𝑅4 Após estas duas operações temse um medidor de tensão com o conversor PSSimulink responsável por enviar a ação de controle para a planta Diagrama eletrônico funcional do sintonizador A figura a seguir apresenta a parte do diagrama alterada para realizar a sintonia do controlador arquivo2slx O circuito consiste em um transistor TBJ polarizado para funcionar como chave assim de acordo com o sinal na entrada do resistor R10 o transistor pode entrar em condução ou não Quando em condução o medidor de tensão captura o sinal da fonte e enviar à planta para verificar seu comportamento Como ainda há a realimentação o sinal de comando da planta entra em oscilação ou seja com esse comportamento é verificada a oscilação do sinal de entrada e observada a histerese da resposta do sistema O resultado da simulação é capturado pelo bloco outsimout que envia o resultado da simulação para o workspace Sintonia do controlador Realizando a execução do arquivo2slx o resultado apresentado pela planta é o a seguir Para a sintonia do controlador utilizase o método de ÅSTRÖM 1988 p 1 A seguir foram identificados os pontos acima para determinação dos parâmetros 𝑎 𝑇𝑢 e ℎ Assim os cálculos realizados são os a seguir 𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 2341 2159 182 ℎ 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 25 2159 341 𝑇𝑢 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 3274 1555 1719 Calculando a constante 𝐾𝑢 𝐾𝑢 4ℎ 𝜋𝑎 4 341 314 182 238 Para determinar as constantes PID utilizase a tabela a seguir Logo 𝐾𝑝 06 238 143 𝑇𝑖 1719 2 86 𝐾𝑖 𝐾𝑝 𝑇𝑖 143 86 016 𝑇𝑑 1719 8 86 𝐾𝑑 𝐾𝑝 𝑇𝑑 143 215 307 O próximo passo é determinar os resistores e capacitores do modelo PID utilizando amplificadores operacionais Fazendo 𝑅2 10 𝑘Ω 𝐶1 𝐾𝑑 𝑅2 307 10000 307 𝜇𝐹 Substituindo a terceira equação na segunda 𝐾𝑝 𝐶1𝑅1 𝐶2𝑅2 1 𝐾𝑖 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝐶1𝑅1 𝐶2𝑅2 143 016 0000307 𝑅1 10000 𝐶2 0000307 𝑅1 10000 𝐶2 894 Além disso da terceira expressão 𝐶2 1 016 𝑅1 Substituindo 0000307 𝑅1 10000 1 016 𝑅1 894 Que resulta em 𝑅1 17961 ou 𝑅1 11446 Escolhendo a primeira solução temos 𝑅1 1796 𝑘Ω 𝐶2 1 016 17961 348 μF Portanto substituindo esses resultados nos parâmetros do PID na planta temos o seguinte resultado de controle Como observado a planta atingiu o setpoint desejado em 250C REFERÊNCIAS ÅSTRÖM Karl Johan HÄGGLUND Tore Automatic tuning of PID controllers Instrument Society of America ISA 1988 BALCAZAR Ricardo et al The regulation of an electric oven and an inverted pendulum Symmetry v 14 n 4 p 759 2022 IBEKWE Henry Realization of a lowcost OpAmp based PID Controller 2018