Experimento 3-2023-2

Experimento 3 Controlador PID Considere o sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria da Figura 1 para uma entrada do tipo degrau unit´ario, isto ´e, R(s) = 1 s· Com o aux´ılio da fer- ramenta RLTOOL do MATLAB, projete os controladores Gc(s) a seguir: Figura 1: Diagrama de blocos de um sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria. Projeto I Dada a fun¸c˜ao de transferˆencia da planta G(s) = 1 s2+1 do sistema da Figura 1, projete um controlador PID modificado Gc(s) = k (s+z1)(s+z1) s(s+p) tal que a resposta a um degrau na referˆencia satisfa¸ca: • Mp ≤ 16, 3%. • tr10%−90% ≤ 0, 9 s. • Erro estacion´ario nulo. 1 Projeto II Dado o sistema de controle da Figura 1 dotado de realimenta¸c˜ao unit´aria, sendo G(s) = e−s 10s+1 um processo de primeira ordem com atraso puro, pro- jete um controlador PI Gc(s) = k (s+zc) s , para que o sistema opere com: • ts2% ≤ 10 s. • Mp ≤ 10%. • Erro estacion´ario nulo. Nota: um sistema est´avel em malha aberta, de ordem 1 e com atraso puro, ou seja, G(s) = k e−αs Ts+1 pode ser inst´avel em malha fechada pois ´e poss´ıvel que, para algum ganho k, o lugar das ra´ızes se localize sobre o eixo imagin´ario ou no semiplano direito do plano s. Como a representa¸c˜ao do atraso puro ´e uma descri¸c˜ao n˜ao linear, h´a diversas aproxima¸c˜oes para a fun¸c˜ao exponencial que permitem escrevˆe-la na forma racional. As me- lhores s˜ao as aproxima¸c˜oes de Pad´e de ordem (m, n), sendo m e n os graus dos polinˆomios do numerador e de denominador, respectivamente. As aproxima¸c˜oes de Pad´e para a fun¸c˜ao e−αs de ordens (1,1) e (2,2) s˜ao dadas, respectivamente por −αs+2 αs+2 e α2s2−6αs+12 α2s2+6αs+12· Projeto III Projete um controlador PID Gc(s) = k (s+z1)(s+z2) s para o sistema da Figura 1, sendo G(s) = 0,05 (s+0,7)(s+0,35) , de modo que a resposta da sa´ıda y(t) do sistema em malha fechada para uma entrada do tipo degrau unit´ario na referˆencia tenha: • tr10%−90% ≤ 2, 5 s. • Mp ≤ 25%. • Erro estacion´ario nulo. Relat´orio O relat´orio dever ser enviado somente via Moodle na data pr´e-estabelecida e em um ´unico arquivo no formato PDF e deve conter os seguintes ´ıtens: 2 • Capa contendo os seguintes ´ıtens: n´umero e nome do experimento e nomes completos dos alunos em ordem alfab´etica. • Fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador projetado. • Gr´afico do lugar das ra´ızes da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema de malha aberta sem controlador. Inclua no mesmo gr´afico os limites da regi˜ao aceit´avel para os p´olos de malha fechada dominantes de acordo com as restri¸c˜oes da resposta transit´oria. • Gr´afico do lugar das ra´ızes da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema de malha aberta com controlador. Inclua no mesmo gr´afico os limites da regi˜ao aceit´avel para os p´olos de malha fechada dominantes de acordo com as restri¸c˜oes da resposta transit´oria. • Gr´afico ´unico com as respostas ao degrau unit´ario dos sistemas em malha fechada com e sem controlador. Inclua no mesmo gr´afico as informa¸c˜oes referentes as restri¸c˜oes da resposta transit´oria e/ou per- manente. • Fun¸c˜oes de transferˆencia dos sistemas de malha fechada com e sem controlador. Indique tamb´em os valores dos p´olos e zeros destes sistemas. • Discuss˜oes dos resultados obtidos. • Conclus˜oes. 3