Apostila Completa-2023-1

Sinais & Sistemas Prof. Eduardo G. Bertogna UTFPR / DAELN Sinais e Sistemas Conteúdos da Disciplina: • Revisão de Números Complexos • Conceitos e Classicação de Sinais e Sistemas • Convolução Contínua e Discreta • Série Exponencial Complexa e Trigonométrica de Fourier • Espectro de Magnitude e de Fase • Transformada de Fourier, Resposta em Frequência • Transformada de Laplace, Função de Transferência • Filtros Seletivos de Frequências Bibliograa Básica: • Sinais e Sistemas. HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. 1ªEd., Bo- okman, 2001. • Sinais e Sistemas. HWEI, P.HSU. 1ªEd., Bookman, 2004. • Sinais e Sistemas Lineares. LATHI, B.P. 2ªEd. Bookman, 2007 • Apostila em http://pessoal.utfpr.edu.br/ebertonha. 1 Aplicações da Teoria de Sinais e Sistemas Algumas áreas de aplicação: - Sistemas de Comunicação (Tipos de Modulação) - Sistemas de Controle (Modelagem e Síntese) - Processamento de Sinais Biológicos; - Instrumentação (Modelagem e Síntese) - Processamento de Sinais (Audio, Video, etc) Formas de Aplicação da Teoria 1. Síntese * Projetos de Sistemas de Processamento de Sinais - Filtragem de ruído e equalização de sinais; - Compressão de sinais; - Classicação de padrões; - Controle adaptativo; - Cancelamento de eco em transmissão digital. 2. Análise * Caracterização de Sistemas - Modelamento de um sistema de controle; - Modelamento de sistemas biológicos, exemplo: estudar como o sistema auditivo responde aos vários tipos de excitações. 2 Revisao de Nameros Complexos Numero Imaginario Ou Operador Imaginario O namero ou operador imaginario, designado por 7 ou i (aqui adotaremos j pois i ja 6 usado para corrente elétrica), é definido como: j= Portanto: 7 = /—1, 7? =j7.j*7 = —j, e ainda: 74 = 77.77 = 1 Numero Complexo O numero complexo € aquele que se constitui de uma compo- nente real e outra imaginaria, do tipo: A =a-+ jb, podendo ser representado de 3 formas: Forma Cartesiana: A =a-+ jb Onde: j = /—1, a= Re(A), b= Im(A) Forma Polar: A = CZ0 Onde: C = |A| = Va? +02,e0= arctan(*) Forma Exponencial: A = C.e!® = C.cos(@) + 7.C.sen(@) Onde: C = |A| = Va? +02,e0= arctan(*) C’ =Modulo de A, e 6 =Argumento de A OBS: e = 2, 71828182...€ a base natural ou neperiana. Complexo Conjugado O numero A* =a-—j.b, € denominado de conjugado de A. 3 Plano Complexo: Da forma explonencial: A = C.ejθ = C.cos(θ)+j.C.sen(θ), chega- se a Identidade ou Fórmula de Euler: ejθ = cos(θ) + j.sen(θ) Com: cos(θ) = 1 2(ejθ + e−jθ), e: sen(θ) = 1 2j(ejθ − e−jθ) Operações Básicas com Números Complexos Considere 2 números complexos, A e B, representados por: A = a + j.b = C.ejθ1, e B = c + j.d = D.ejθ2 Soma Algébrica: A + B = (a + c) + j(b + d) Subtração Algébrica: A − B = (a − c) + j(b − d) Multiplicação: A.B = (ac − bd) + j.(bc + ad) = C.D.ej(θ1+θ2) Divisão: A B = A.B∗ B.B∗ = (a+j.b).(c−j.d) c2+d2 = (ac+bd)+j(bc−ad) c2+d2 = C D.ej(θ1−θ2) 4 Propriedades do Complexo Conjugado Considere: A e A*, então: • A + A∗ = 2.Re(A) • A − A∗ = 2.Im(A) • A.A∗ = (a + j.b).(a − j.b) = a2 − j2.b2 = a2 + b2 ⇒ Nº real !!! Exercícios 1. Dados: x1 = 2 + j3, x2 = 4 − j3, e x3 = 5∠0, 927 Efetuar as operações indicadas: (a) x1 + x2 (c) x2 − x3 (e) x2/x3 (g) Im(x3) (b) x2 + x3 (d) x2.x3 (f) Re(x3) (h) |x1| 2. Efetuar as operações indicadas: (a) (6 + j7).(1 + j) (c) (1 + j2)2 − (3 + j4) (b) (5 + j4).(1 − j) + (2 + j).j 3. Determine o módulo e o argumento, colocar na forma polar e representar gracamente os seguintes números: (a) 4 (d) − √ 2 + j. √ 2 (b) 1 + j. √ 3 (e) −5 (c) j.3 (f) −j.2 5 4. Calcule o módulo e o argumento dos seguintes números com- plexos: (a) 3 − j.4 (d) cos(θ) + jsen(θ) (b) √ 2 + j. √ 2 (e) −3 + j.4 (c) 12 + j.5 (f) 7 − j.2 5. Colocar na forma cartesiana ou retangular os seguintes nú- meros complexos: (a) 3.ejπ (d) 5.ej3π/2 (b) 4.ej11π/6 (e) 7.ejπ/2 (c) 2.ejπ/4 (f) 4.ejπ/3 6. Usando propriedades calular os módulos dos seguintes núme- ros complexos: (a) (1 − j).(2 + j.2) (c) 3+j.3 1+j.2 (b) (1 + j. √ 3)6 7. Escrever o número complexo: 1 1−j − 1 j na forma polar. 8. Representar os seguintes números complexos no plano com- plexo, indicando o seus módulos e argumentos: (a) 2 + j.5 (c) −2 − j.3 (b) −3 + j.2 (d) 1 − j.4 6 Estudos dos Sinais Denições: - Conjunto de Dados, ou Informações. - Podem ser função do tempo, ou outra variável independente. Ex.: Sinal de Densidade de Carga Elétrica - Função do Espaço. Classicação dos Sinais 1. Sinais Contínuos e Discretos no Tempo • Sinais de Tempo Contínuo A função que os descreve é denida para todos os valores de suas variáveis. Exemplo: Sinal proveniente de um sensor de temperatura. • Sinais de Tempo Discreto A função que os descreve é denida apenas para alguns valores de suas variáveis. => Sequência de Valores: x = {..., x[−1], x[0], x[1], x[2], ...x[n]} Exemplo: O mesmo sinal de temperatura amostrado. 7 2. Sinais Pares e Ímpares • Sinais Pares: Simétricos em relação ao eixo vertical, e à origem. Devem sasfazer a seguinte condição: Domínio Contínuo: x(t) = x(−t) Domínio Discreto: x[n] = x[−n] Ex. Sinal Par: • Sinais Ímpares*: Antissimetria em relação à origem. De- vem satisfazer a seguinte condição: Domínio Contínuo: x(−t) = −x(t) Domínio Discreto: x[−n] = −x[n] Ex. Sinal Ímpar: Obs: O sinal ímpar deve obedecer: x(0) = 0 ou x[0] = 0 Partes Par e Ímpar de um Sinal Real -Todo sinal pode ser decomposto como uma soma de sua parte Par com sua parte Ímpar: Par{x(t)} = 1 2{x(t) + x(−t)} Impar{x(t)} = 1 2{x(t) − x(−t)}, x(t)⇔ x[n] Obs: As denições acima só valem se o sinal não apresentar valor complexo, caso contrário deve-se falar em simetria conju- gada: x(-t)=x*(t), com: x(t)=a(t)+jb(t) e x*(t)=a(t)-jb(t). 8 Exemplo: Parte Par de x(t) ⇒ xe(t): Parte Ímpar de x(t) ⇒ xo(t): Sendo que: x(t) = xe(t) + xo(t): 9 3. Sinais Periódicos e Aperiódicos • Sinais Periódicos  Domínio Contínuo: x(t) = x(t + mT), ∀t, e com: m ∈ Z Período Fundamental (T0): -Menor Valor de T p/ o qual: x(t) = x(t+T),∀t  Domínio Discreto: x[n] = x[n + k.N], com: k ∈ Z e N ∈ Z+ Período Fundamental (N0): -Menor Valor de N p/ o qual: x[n] = x[n+N],∀n ∗ Ex: Sinal com N0 = 12: • Sinais Aperiódicos - Aqueles que não são períódicos serão Aperiódicos ! 10 4. Sinais Determinísticos e Aleatórios • Sinais Determinísticos: Podem ser modelados como fun- ções de tempo completamente especicados. Não há incer- teza quanto ao seu valor em qualquer instante de tempo. Exemplo: Onda quadrada. • Sinais Aleatórios: Não podem ser modelados como fun- ções de tempo, pois há incertezas quanto ao seu valor em qualquer instante de tempo. => Estudado através de Probabilidades. Exemplo: Sinal de Eletroencefalograma - EEG 5. Sinais de Energia e de Potência Considere um resistor R, alimentado por uma tensão v(t), pro- duzindo uma corrente i(t). A potência instantânea dissipada por este resistor será: p(t) = v2(t) R = R.i2(t) Considere agora que R = 1ohm, e x(t)representando tensão ou corrente, neste caso a potência instantânea: p(t) = x2(t) 11 Baseado no resultado anterior, podemos definir a Energia Total e a Poténcia Média de um sinal de tempo continuo como: Energia Total de um Sinal de Tempo Continuo: T/2 Co E = limps / x*(t)dt = / x? (t)dt —T/2 —oo Poténcia Média de um Sinal de Tempo Continuo: 1 tl P= limr son f x? (t)dt LT J_7r/2 Se o sinal € Periddico com periodo fundamental T, ficara: 1 t/2 P=— / x? (t)dt LT J_7/2 E a raiz quadrada de P sera 0 Valor Médio Quadratico (rms=root mean-square) do sinal. Energia Total e Poténcia Média de um Sinal no Tempo Discreto: CO 1 N _ 2 n=—N Se o sinal € Periddico com periodo fundamental N, ficara: 1 N-1 P= Nr Ss” a? [n] n=0 12 - Um sinal é dito ser Sinal de Energia se: 0 < E < ∞ - Um sinal é dito ser Sinal de Potência se: 0 < P < ∞ - Estas classicações mutuamente exclusivas. - Sinais aleatórios e periódicos são normalmente Sinais de Potência. - Sinais determinísticos e não-periódicos são Sinais de Energia. 6. Simetria Conjugada em Sinais Complexos Dene-se o conjugado complexo como sendo: x(−t) = x∗(t) Onde: x(t) = a(t) + jb(t), e x∗(t) = a(t) − jb(t) Exercícios: 1. Qual a energia total do pulso retangular mostrado ao lado ? 2. Qual a potência média da onda quadrada mostrada ao lado ? 3. Qual a potência média da onda triangular mostrada ao lado ? 4. Qual a energia total do sinal de tempo discreto mostrado ao lado ? 5. Qual a potência média do sinal periódico de tempo discreto mos- trado abaixo ? 13 Operações Básicas em Sinais 1. Operações nas Variáveis Independentes • Reexão em relação ao eixo vertical Domínio Contínuo: x(t) ⇒ x(−t) Domínio Discreto: x[n] ⇒ x[−n] Exemplo: • Compressão/Expansão (Mudança de Escala de Tempo) Contínuo: x(t) ⇒ x(k.t), com k > 0, e k ∈ ℜ Discreto: x[n] ⇒ x[k.n], com k > 0, e k ∈ Z (Perde-se amostras) Exemplo: 14 • Atraso (Deslocamento no Tempo) x(t) ⇒ x(t − t0), com t0 > 0, e t0 ∈ ℜ x[n] ⇒ x[n − n0], com n0 > 0, e n0 ∈ Z Exemplo: • Precedência entre Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala A operação de Deslocamento no Tempo, deverá preceder a operação de Mudança de Escala (Compressão/Expansão). Se por exemplo: y(t) = x(at − b) Deslocamento no tempo é efetuado primeiro: z(t) = x(t−b) Só depois, a Mudança de Escala de Tempo: y(t) = z(at) = x(at − b) Exemplo: y(t) = x(2t + 1) 15 2. Operações nas Variáveis Dependentes • Mudança de Escala de Amplitude x(t) ⇒ k.x(t), com k > 0, e k ∈ ℜ x[n] ⇒ k.x[n], com k > 0, e k ∈ ℜ Exemplos:  Amplicador Eletrônico com ganho k  Resistor, onde k, representa o valor do resistor e k.x(t), a tensão nos seus terminais, sendo x(t), a corrente que o atravessa. • Adição x1(t), x2(t) ⇒ y(t) = x1(t) + x2(t) x1[n], x2[n] ⇒ y[n] = x1[n] + x2[n] Exemplo:  Amplicador Somador de ganho unitário • Multiplicação x1(t), x2(t) ⇒ y(t) = x1(t).x2(t) x1[n], x2[n] ⇒ y[n] = x1[n].x2[n] Exemplo:  Modulador AM, onde: x1[n], x2[n], são os sinais modu- lante de áudio, e uma portadora tipo senoidal. 16 e Diferenciacao d x(t) > Sa(t) Exemplo: Um Indutor realiza a diferenciacao da corrente que o atra- vessa, O que se traduz na tensao entre seus terminais. v(t) = L#i(t) dt Onde L @é a indutdancia do Indutor e Integracao x(t) => long a(7) dr Exemplo: Um Capacitor realiza a integra¢ao da corrente que o atra- vessa, O que se traduz na tensao entre seus terminais. —_ 1 ¢t . v(t) = GJ tlt )dr Onde C é a Capacitancia do Capacitor 17 Integrais e Derivadas Importantes e Integracao [ k.da = kx [k.f(@).dx =k. [ f(x).dx (fC) = g(a)).dx = | f(x).dx + [ g(a).dx far.da ==5,c/n#-1 fe? .da = +e" f sen(ax).dx = —+cos(x) f cos(ax).dx = =sen(x) fu.dv =u.v — f v.du fu.dv =u.v — f v.du e Diferenciacao “(k) =0 “[k.u(x)] = k.u'(a) “[u(a) v(x)] = v(x) £ u'(z) qlu(a).v(a)] = u(2).v'(x) + u'(x).v(2) £(a") =n} E(t) =e “ sen(x) = cos(x) “ cos(a) = —sen(x) 18 Sinais Importantes 1. Sinal Degrau Unitario Degrau Unitario Continuo: u(t) u(t) _ j O ,se:t<O ; uy ={ § ,se:t>0O 0 t Obs: u(t) nao é definido para t=O Degrau Unitario Discreto: u[n] u[n] 1 uln] = O ,se:n<O _ ~~ ) lL yse:n>0 uv 3 -2 -1 012 3 4 5 6 n Operacoes com o Degrau Unitario Continuo -A.u(t) -A.u(t-T) -A.u(t+T) T -T t t t -A -A -A A.u(-t) A.u(-t+T) A.u(-t-T) t T t -T t -A.u(-t) -A.u(-t+T) -A.u(-t-T) T -T t t t + +H. __ : 19 No Matlab o degrau unitario pode ser definido uSando-se oO Ope- rador relacional ’>=’, que retorna 1 se verdadeiro: > u=inline(’(t>=0)’,’t’) > t=(-2:0.01:2) > plot(t,u(t)) 2. Sinal Rampa Unitaria Rampa Unitaria Continua: r(t) r(t) J QO ,se:t<O rO=4 4 ,se:t>0 ( 4 t Rampa Unitaria Discreta: r[n] r[n] 3 r[n] = O ,se:n<O 5 ~ jn ,se:n>O0 . 1 _ 3-2-103123 «2° e Relacdo entre u(t) e r(t): t r(t) =/ u(t ).dt — CO 20 3. Sinal Impulso Unitario Impulso Unitario Continuo: 6(t) oo Fo° / 5(t).d(t).dt = 6(0)=> / 5(t).dt =1 —oo — Oo - Relacdo entre u(t) e d(t): t u(t) = / 5(r).dr —Co } t 0 Impulso Unitario Discreto: 6[n] d[n] jl, n=0 1 =| Zo . | . 2 -1 0 1 2 nN 21 - Interpretacao do Impulso como um limite: au, (t) ia(t) = MM —1, o<t<a | A t => d(t) = lima+o(da(t)) Ou ainda: 45,(t) da(t) = Zu(t) — Au(t-A) ma A t =>d6(t) = lima-so(da (t)) Multiplicacao de Funcao por Impulso Propriedade da Amostragem 1. y(t) = x(t)d(t) => y(t) = «(0)d(4) 2. y(t) = x(t)d(t —to) = y(t) = x(to)d(t — to) +oo +oo 3. / x(t).6(t — to).dt =/ x(to).6(t — to).dt =x(to) —COoO —COoO 22 4. Sinal Exponencial Sinal Exponencial Contínuo Caso Geral: x(t) = K.est Onde: s = σ + j.ω0 ⇒ x(t) = K.e(σ+j.ω0).t = K.eσt.ejωt • s = σ + j.ω, e σ > 0 ⇒ Senóide Crescente • s = σ + j.ω, e σ < 0 ⇒ Senóide Decresc. • s = j.ω, e σ = 0 ⇒ Senóide . 23 Casos Especícos: s = σ, ou seja: s ∈ R • a > 0, C > 0 ⇒ Exp. Crescente • a < 0, C > 0 ⇒ Exp. Decresc. • a = 0, C ̸= 0 ⇒ Constante • Forma Trigonométrica do Sinal Exponencial x(t) = K.e(σ+j.ω).t ⇒ x(t) = K.eσt.ejω.t x(t) = K.eσt(cosωt + j.senωt) 24 Exercicios: 1) Fac¢a um esboco dos seguintes sinais: a) Xi(t)=-2.u(t) g) X7(t)=u(t)-u(t-2) b) Xo(t)=4.u(t-2) h) xg(t)=3[u(t+2)-u(t-2)] C) X3(t)=2u(-t-3) i) X9(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-1)-u(t-2) d) xa(t)=5u(t+2) Jj) X10(t)=x7(2t) e) X5(t)=-3u(-t) kK) X11(t)=xg(0,5t) f) xe6(t)=-6u(-t+2) 1) Xi2(t)=x7(2t-5) 2) Faca um esboco dos seguintes sinais: a) Xi[n]=2.u[-n] g) X7[n]=2u[n]-2u[n-3] b) x2[n]=5.u[n-2] h) xg[n]=u[n+2]-u[n-2] Cc) x3[n]=-3u[-n-3] — i) X9[n]=u[n]-u[n-1]-+-u[n-1]-u[t-2] d) xa[n]=-3u[n+2] Jj) xio[n]=x7[2n] e) x5[n]=-2u[n] kK) X11[n]=xg[0,5n] f) x6[n]=-6u[-n+2] 1) x12[n]=x7[2n-5] 3) Esboce o sinal x[n] abaixo e seus derivados: 1, -3<n<0 + oo a) z[n] = —-1, O<n<4 f) x5[n] = > d(n — 3k) O, outros k = —oo b) a1[n] = 22[2n] C) r2[n] = 3a[5n] d) x4[n] = 26[n + 2] — 36[n] + 26[n — 2] + 36[n — 3] + 6[n — 4] e) r3[n] = 22[n] — u[n — 2] 25 Exercicios Complementares: 1) Esboce os seguintes sinais: a) x(t) = 2e77*u(t) e) a(t) = 2e7**u(t — 2) b) x(t) = —2e7'u(t) f) x(t) = 3e- u(t) Cc) x(t) = 2e~**u(—t) g) x(t) = —tu(t — 2) d) x(t) = —2e7*u(—t) h) x(t) = (t? — 4) [u(t + 2) — u(t — 2)] 2) Esboce os seguintes sinais: +oo a) e(t) = > d(t—kto), onde ke Zetp = T =periodo k= —-oco C) ai(t) = x(t)[u(t + 2) — u(t — 2)] d) xo(t) = x1(2t) e) x3(t) = x1 (5t) f) ra(t) = r1(t — 4) g) wfnJ= PP MSO h) xi[n] = z[n]{u[n + 3] — uln — 3]} i) xo[n] = 21[2n] j) x3[n] = xi[5n] k) x4[n] = xi[n — 3] 26 Estudo dos Sistemas Sistema: Entidade que processa um ou mais sinais de entrada, para realizar uma função, resultando em outros sinais de saída. => Produz uma transformação em um sinal. - A saída poderá ser a modicação da entrada ou extração de informações desta entrada. - Pode ser construido com componentes físicos (realização em hardware), ou pode ser um algoritmo (realização em software). - Pode ser do tipo Contínuo ou Discreto. Matematicamente: É uma transformação ou interconexão de operações que mapeia um sinal (ou uma sequência) de en- trada: x(t) (ou x[n]) em um sinal (ou uma sequência) de saída y(t) (ou y[n]). 27 Sistemas como Interconexão de Operações: Visto como uma interconexão de operações pode-se chegar a um operador global do sistema: H, onde este operador transformará o sinal de entrada de algum modo. Exemplo: Considere um sistema de tempo discreto cujo sinal de saída y[n] que seja a média dos três valores mais recentes do sinal de en- trada x[n], ou seja: y[n] = 1 3(x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]). Se o operador SKdenotar um Sistema que desloca a entrada no tempo de K unidades, produzindo uma saída x[n − k], simboli- camente o Operador SK seria representado como: Então pode-se denir o operador global do sistema como: H = 1 3(1 + S + S2) Simbolicamente o Operador Média Móvel seria representado de uma das duas formas abaixo: 28 Alguns tipos de Sistemas: • Sistemas de Comunicações • Sistemas de Controle • Sistemas de Processamento de Sinais 1. Sistema de Comunicação Um sistema de comunicação é constituido de 3 blocos bá- sicos: Transmissor, Canal de Comunicação, e Receptor. Canal de Comunicação: Proporciona um meio físico entre o transmissor e o receptor. É neste canal que o sinal (ou mensagem, ou ainda informação) sofre inuências de inter- ferências, e ruídos. Transmissor: Tem a função de Processar o sinal a ser transmitido em uma forma de sinal apropriado à transmissão através do canal. Esta operação é chamada de modulação. Receptor: Processa o sinal recebido através do canal, de modo a produzir um sinal que seja de algum modo próximo do sinal original transmitido. Esta operação é chamada de detecção ou demodulação. 29 2. Sistema de Controle Um sistema de controle é um sistema responsável por controlar uma variável de controle de um processo, e em geral é realimen- tado, conforme a gura a seguir. Set-Point: Proporciona uma informação do ponto de operação desejado para o sistema. Controlador: Tem a função de Processar o sinal de erro através de alguma estratégia de controle, e atuar na planta para corrigir o desvio ou perturbação. Planta: Processo a ser controlado. Sensores: Transforma o sinal de saída da planta em um si- nal que será enviado ao comparador de erro para gerar um sinal que o controlador usará para controlar a planta. 30 Propriedades dos Sistemas - Estabilidade - Memória - Causalidade - Invertibilidade - Invariancia no Tempo - Linearidade 1. Sistema Estável e Instável Diz-se que um sistema é do tipo Entrada-Limitada- Saída Limitada - BIBO (Bounded Input/Bounded Output), Estável, se para uma Entrada limitada re- sultar uma saída também limitada. => A saída do sistema não diverge se a entrada não divergir. Matematicamente: Sistema de Tempo Contínuo: |y(t)| ≤ My < ∞ ⇒ |x(t)| ≤ Mx < ∞, ∀t Sistema de Tempo Discreto: |y[n]| ≤ My < ∞ ⇒ |x[n]| ≤ Mx < ∞, ∀n Com Mx, My sendo números positivos nitos. => O sistema será Instável se não atender a condi- ção acima. 31 2. Sistema c/ Memoria e s/ Memoria Um sistema possui Memoria se depender de valores passados do sinal de entrada. O sistema @ dito Sem Memoria se a saida depender apenas do valor presente da entrada. A extensao dos valores passados, define quao longe a memoria do sistema se estende no passado. Exemplo 1: O Resistor 6 sem memoria, ja que i(t) depende da tensdo u(t) instantanea aplicada a ele, ou seja: _ 1 i(t) = v(t) Exemplo 2: O Indutor 6 com meméoria, ja que i(t) depende da integral da tensdo v(t) aplicada a ele, ou seja: ; _ let (t) = F Jong u(r) dr Além disto, 0 passado do indutor se estende ao passado infinito. Exemplo 3: O Sistema de Média Mével descrito antes por: y[n| = 3(2x[n] + zx[n — 1] + 2[n — 2]) tem memoria e se estende a 2 valores no passado. Exemplo 4: © Sistema descrito por: y[n] = x2[n], nao tem memoria, pois a saida depende somente do tempo atual n. Exemplo 2: O Capacitor € com meméria, ja que a tensdo v(t) nos seus terminais depende da integral da corrente i(t) que por ele circula, Ou seja: —_ 1 ¢t v(t) = @ Jew tr) dr 32 3. Sistema Causal e Não-Causal Um sistema é Causal ou Não-Antecipativo se a saída depender somente de valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. Um sistema será Não-Causal ou Antecipativo se depender de valores futuros do sinal de entrada. Exemplo 1: O Sistema de Média Móvel: y[n] = 1 3(x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]) é causal, e depende de 2 valores no passado e um no presente. Exemplo 2: O Sistema: y[n] = x[n + 1] + x[n] + x[n − 1]) é não-causal, já que depende de 1 valor no futuro. 4. Sistema Invertível Um sistema é Invertível se a entrada aplicada a este pode ser recuperada da saída. Matematicamente: ⇒ O Sistema é Invertível se: H−1H = I Sendo: I o Operador Identidade, produz a saída idêntica à entrada. H−1 é o Operador Inverso, associado é o Sistema Inverso. Simbolicamente: Exs: 1- Em Sistemas de Comunicações, Modulação x Demodulação. 2- y(t) = 4x(t) ⇒ z(t) = 1 4y(t) 33 5. Sistema Invariante no Tempo Um sistema é Invariante no Tempo se um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada, levar a um deslocamento de tempo idêntico na saída. Isto implica que um sistema Invariante no Tempo sempre reage da mesma maneira, independente do instante em que a entrada seja aplicada., Ou seja, as características do sistema não se modicam com o tempo, caso contrário este será Variante no Tempo. Considere um sistema de tempo contínuo representado por: y(t) = H{x(t)} Suponha que a entrada seja deslocada no tempo de t0 segundos: x(t − t0) = St0{x(t)} Onde: St0 representa o operador deslocamento no tempo de t0 segundos. Se yi(t) for a saída do sistema para a entrada x(t − t0), então pode-se escrever: yi(t) = H{x(t − t0)} = H{St0{x(t)} = H.St0{x(t)} Se y0(t) for a saída do sistema original deslocada no tempo t0 segundos, então pode-se escrever: y0(t) = St0{y(t)} = St0{H{x(t)}} = St0.H{x(t)} Se o sistema for invariante no tempo, as saídas y0(t) deve ser igual a saída yi(t), para qualquer x(t), ou seja: H.St0 = St0.H 34 6. Sistema Linear e Nao-Linear: Um sistema é Linear se satisfizer os principios da homogenei- dade e da superposicao. Isto implica que a resposta do sistema a uma soma ponderada de sinais € igual a soma ponderada das Saidas individuais de cada um dos sSinais. Matematicamente: Se o sinal de entrada do sistema for representado por: x(t) = ey a,;x;(t), ou seja uma soma ponderada de sinais E o sinal de saida do sistema : _ __ N y(t) = A{x(t)} = ALL, axi(t)} = O Sistema é Linear se: y(t) = ~ a;y;(t) Sendo: y;(t) a saida do sistema em resposta a entrada 2;(t). Deve-se notar que se um sistema é€ Linear atende as proprieda- des da homogeneidade e superposicao, entao: x(t) =0 > y(t) =0 => O sistema sera Nao Linear se nao atender as condicoes acima. Simbolicamente: x (t) x, (t) y(t) ay, (t) : La [a Fy x (t) x (t) y, (t) , Defi vere STP ha oer x(t) : Ct a Fa Gey 35 Representações no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo => Domínio do Tempo => Sinais de Entrada e Saída são funções do tempo. => Linearidade e Invariância no Tempo => Propriedades mais importantes dos sistemas. => Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT) => alvo de estudo de Sinais e Sistemas. => Representações no Domínio do Tempo=> Métodos usados p/ descrever um Sistema LIT através da relação entre a entrada e a saída. Resposta ao Impulso p/ Sistemas LTI => Método usado p/ se caracterizar completa/te o compor- tamento de um sistema LTI. => Conhecendo-se a Resposta ao Impulso de um Sistema, pode- se determinar a resposta para uma entrada qquer arbitrária. => Se baseia na aplicação de um Impulso na entrada do sistema no instante t = 0 ou n = 0, sendo a resposta a este impulso como a seguir, onde H é o operador do sstema: h[n] = H{δ[n]} => No sistema de tempo discreto uma sequência de impulsos é facilmente obtida. => No sistema de tempo contínuo, o impulso deve ser conside- rado como um pulso de grande amplitude e largura estreita. 36 Soma de Convolução e Integral de Convolução => Ferramentas matemáticas para se descobrir a resposta de um sistema LIT a uma entrada arbitrária. => No sistema de tempo discreto esta ferramenta é a Soma de Convolução => No sistema de tempo contínuo é a Integral de Convolução. A Soma de Convolução (Tempo Discreto) => A entrada de um sistema linear pode ser expressa como uma superposição ponderada de impulsos deslocados no tempo, sendo a ponderação dada pelo valor da entrada no instante onde o impulso deslocado ocorre. Sabemos que o produto de x[n] e uma sequência de impulsos δ[n], resulta: x[n].δ[n] = x[0].δ[n] Então, generalizando p/ o produto de x[n] e uma sequência de impulsos deslocados no tempo δ[n − k], teremos: x[n].δ[n − k] = x[k].δ[n − k] => x[n] representa um sinal no tempo discreto (sequência) onde n é o instante de tempo considerado. => x[k] representa o valor do sinal no instante de tempo k. => O sinal multiplicado por um impulso deslocado no tempo x[n].δ[n − k] => Resulta um Impulso deslocado no tempo com a amplitude do sinal no instante em que ocorre o impulso: x[k].δ[n − k] 37 => A somatoria da expressdo: x[k].6[n—k], para todo e qualquer deslocamento k resulta em: x[n] =... + x[—2].6[n + 2] + 2[-1].6[n + 1] + 2[0].6[n]+ +2[1].6[n — 1] + x[2].6[n — 2] +... Ou de forma mais concisa: x[n] = S— xfk].d[n — k] k=—co => A sSaida de um sistema LIT a esta entrada também sera uma superposicao ponderada da resposta do sistema a cada impulso ponderado e deslocado no tempo. Se o operador H representar o sistema, a entrada z[n] produzira a saida: yln] = H{x[n]} = At >| afk].o[n — k]} k=—oo A propriedade da linearidade permite intercambiar o operador H com o somatorio de valores de z[k], de onde se obtém: yln] = So afk].A{5[n—k]} = S © afk] -h[n — kl] k=—c k=—c Onde: h[n —k] = H{d[n — k]} € a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo de k. Conclusao: A resposta de um sistema LTI @ a soma ponderada das respostas ao impulso deslocadas no tempo. A expressao: OO y[n] = z[n] * h[n] = Ss” x[k].h[n — k] k=—o0o €é conhecida como Soma de Convolucao para o Tempo Dis- creto, sendo denotada pelo simbolo: ”’*”. 38 Exemplo: Seja um sistema LTI, cuja resposta ao impulso seja como mostrado abaixo: h[n] 1, n=z1 2 h[n] = 2, n=0 1 O, outros ve oh -2 -1 0 1 2 Determine a saida deste sistema em resposta a entrada mostrada abaixo: x[n] 3 2 2, n=O x(n] = 3, n=1 1 —_ —2, n —_ 2 oon mth O, outros -1 lo 121 3 1 2 Solucao: Escrevendo z[n] como uma soma ponderada de impulsos ponde- rados e deslocados no tempo: x[n] = 26[n] + 36[n — 1] — 26[n — 2] Entao, visto que o sistema @ Linear, a saida deste pode ser escrita Como uma soma ponderada das respostas dos impulsos ponderados e deslocados no tempo, ou seja: CO yln] = S > afk].h[n — k] = 2h[n] + 3h[n — 1] — 2h[n — 2] k=—co 39 Da expressdo de y[n]: CO yln] = S > afk].h[n — k] = 2h[n] + 3h[n — 1] — 2h[n — 2] k=—-co Graficamente: 2h[n] 3h[n-1] -2h[n-2] 4 6 aa wen 0 yy 2| 3 4 2 + 3 + . “ “ n _ n 2 -1 #|0 1 2 2 -1 [0 1 2 8 “4 © que resulta: y[n] 7 Oo, n<-2 ° 2, n=-1 ° T, n=O 4 y[n] = 6, n=1 3 —-1l, n=2 2 —2, n=3 oon 1 oon 0, n24 n -2 -1 0 1 2 4 -1 -2 Esta abordagem grafica € essencialmente didatica, dando uma nocao do que ocorre quando da execucao da Soma de Convolu- ¢ao, no entanto nao é de forma alguma pratica para a resolucao das Somas de Convolu¢ao em geral. Deve-se ter algum tipo de procedimento pratico, com vistas a ser facilmente implementado na forma de um algoritmo. 40 Abordagem Pratica Se a resposta ao impulso é finita e constitufida de uma sequéncia de curta duracao, a Soma de Convolucao pode ser resolvida de forma simples se aplicados os seguintes passos, podendo ser facilmente implementada em um computador: a) Inverter h[k] , produzindo h[—k]. b) Deslocar h[—k] produzindo h[—k +n] c) Multiplicar h[-k +n] por z[k] para cada valor de k d) Somar todos os termos multiplicados para todo valor de n Exemplo 1 Determine a saida de um sistema LTI, que tenha resposta ao impulso, e entrada conforme abaixo: 1, O0<n<2 1/2, n=0 h[n) = 0 x[n] = 2, n=1 , outros O, outros Solucao: a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[—k] b) Deslocar h[—k], produzindo h[—k+ n] c,d) Multiplicar e somar através da tabela abaixo: —k [| -3)-2]-1| 0 |1/2/3/4/5]| yin) ns-1/) 1/1/11) 0 (0/0/0/0/ 0) yL1J=0 -n=0/0/1]1/) 1 /0/0/0/0/ 0 | yloJ=0,5 -n=1/0/)0]1)/ 1 /1/0/0/0/ 0) yf1J=2,5 -n=2/ 0/0] 0/ 1 /1/1/0/0/ 0) yl2]=2,5 -n=3 fo [olo|o /1l1{i/o]o| visi=2,0 on=4/0/0/0/ 0 /0/1/1/1/0/ yl4J=o _xtk] | 0 | 0 | 0/05) 2/o0/0/0/0)] xk] 41 Exemplo 2 Suponha um sistema H do tipo LTI, cuja resposta ao impulso seja a seguinte: 2, —2<n<4 h[n| = : O, outros Determine a saida deste sistema em resposta a entrada: ctn] = { n, 2<n<6 ~ ) 0, outros Solucao: a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[—k] b) Deslocar h[—k], produzindo h[—k-+ n], ver tabela abaixo: _m\k | -5 | -4 | -3 | -2| -1] 0/1] 2/3] 4/5] 6/7] 8/ yin 0 |o| 2] 2/2) 2/2) 2/2}o]o/ofolojo} 4 1 jo }o} 2/2) 2/2) 2/2)/2])0/o}o]o/o} 10 2 |o}o}o/ 2) 2/2) 2/2)2)2/o0}o]o/o} 18 3 | ool] o/o| 2} 2/2]2/2]/2/2]0/o}o/ 28 4 | 0] 0/0] 0] o} 2/2] 2/2]2/2]2/0]0/ 40 5 | 0]; 0/0) 0] ojo} 2|2/2]2/2]2/2]0/ 40 6 | 0/0/00) 0) o}o}o|2/2})2/2]2/2|2/ 40° 7 | 0] 0/0] 0] o}ojojo)|2}|2/2]2/2|2/ 36 8 |o}o}o/o}o)}o|o/o}o}2/2)2]|2/2] 30° 9 |o}o}o/o}ojololojolo/2}2}|2/2} 22° —10 | 0 |o}o/o}ojo\olojolo/o}2}|2/2} 12° 41 jo} oloj oj] ololojojojojojlo/2}2/ o xtkl | o | o | of o | oo} ojo} 2) 3)4/ 5] 6/0] 0] xtky 42 Exercicio 3 Suponha um sistema H do tipo LTI, cuja resposta ao impulso seja a seguinte: 1, O<n<2 h[n| = : O, outros Determine a saida deste sistema em resposta a entrada: 1, O<n<2 “=| 1, 5<n<6 O, outros Solucao: a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[—k] b) Deslocar h[—k], produzindo h[—k-+ n], ver tabela abaixo: _m\k | -4 | -3 | -2 | -1}0]1/2/) 3/4] 5]6/7| 8/9] yin) —-t |o}afalajolofolojojojojoljojo| o | —o |o}ofalsalajofolojojojojojojol a4 | 1 jolojo}afalajojojofojojojojo} 2— 2 |o}ojo}ofajajajojofolojojojo} 3_ 3 |o}o}o}ofolaj1jajofolojojojo} 2 4 [o}o}o}ofojolajajajojojojojo} 1 5 j|o}o}o}ofolojojajajajojojojo} a —6 |o}o}o/ojojofolojajijaioljojo| 2 | 7 |o}o}o/ojojofojojojzjajiajojo| 2 | 8 |o}o}o/ojojofoljojojolajiajajo| a | 9 |o}ojo}ofojolojojofojoja}aja} oo xtkl | o | o | o | oo fajajaj}olofajajo} ol o| xtky 43 O enfoque da soma de todas as respostas ao impulso ponderadas e deslocadas no tempo para k, so é viavel se a entrada é de curta duracao, viabilizando assim a soma. Porém quando a entrada tem uma duracao longa, este enfoque ja nao é mais pratico, assim uma nova alternativa sera apresentada. Abordagem Alternativa para Avaliar a Soma de Convolucao no Tempo Discreto Considere avaliar a saida num instante de tempo fixo no: CO ylno] = S— vino] k=—c Suponha o sinal: Wno lk], representando os valores em n = no como func¢ao da variavel independente k, ou seja: wp,[k] = vz[nol A saida em n= no sera obtida avaliando-se: CO y[no] = S > wn fk] k=—co Definamos entao, a sequéncia intermediaria: wWnlk] = vz[n] = a[k].h[n — k], Onde agora k @ a variavel independente, e n é tratado como uma constante. Observe que: h[n—k] = h[—(k—n)], € uma versdo de h[k] refletida e deslocada no tempo de —n, onde este deslocamento no tempo determina o instante de tempo em que y[n] sera avaliada, de acordo com: CO yln] = S~ walk k=—c 44 Exemplo: Considere um sistema LTI de tempo discreto repre- sentado pela resposta ao impulso abaixo: 3 h[n] = (=)” [n] = (3)"uln] Se a entrada do sistema for: x[n] = ul[n], determine a saida em: n=—-5,n=—5,en=10. Solucao: Usando a equacao abaixo: Devemos achar as funcdes w,[k] = x[k].h[n — k] para os valores de n de interesse. Vemos que: 3 —k (3)r-k k < n — =— (_)” — =— 4 , _ h[n — k] (7) u[n — k] : 0, outros Se: n = —5 => w_5[k] = ulk].h[-5 —k] = O = Pois: k< -5 => u[k] = 0 y[-5] = D> w-slk] =0 k=—-co oe _ a J Qe", O<k<5 Se: n= 5 => ws[k] = ulk].h[5 —k] = : 0, outros => Pois: 0<k<5=>u[k] =1 oo 5 5 4\6 3 3 4 3.. 1—(%) yi5] = S> wslk] = S7(=)P* = (2) SOS) = FE )8.S8 k=—00 i=o * 4 =o > 4 1-@) 3)10—k Sen =10 > wolk] ={ » OSKSIO => Pois: 0<k< O, outros 10 > u[k] = 1 00 10 10 A\11 3 3 4 3.,, 1-(§) y[10]} = S— wiolk] = S-(=)1°* = (=) S (LF = (FE) k=—00 i=o * 4 f=0 3 4 1— (3) 45 Integral de Convolucao - Convolucao Continua A Soma de Convolucao para os Sistemas de Tempo Discreto, tem a sua contrapartida para os Sistemas de Tempo Continuo, que é a Integral de Convolucao, em que a somatoria de todas as respostas ao impulso ponderadas e deslocadas no tempo para k, agora se converte em uma integral em 7, de —oo a +o0, conforme mostrado a seguir: +oo y(t) = x(t) * h(t) = / x(7r)h(t — r)dr —CoO Com: x(t) representando a entrada arbitraria e h(t) a resposta ao impulso do sistema de tempo continuo. Este resultado pode ser comprovado considerando-se um sistema de tempo continuo cujo operador do sistema é@ H, apresentando uma Saida y(t) quando a entrada x(t) a este é aplicada, sabendo- se ainda que qualquer sinal de tempo continuo pode ser represen- tado como: z(t) = fre x(7)d(t — T)dr, entao pode-se escrever: +oo y(t) = H{e(t)} = Af / v(r)5(t — 7) dr} —CoO Da mesma forma que para a convolucao discreta, a Convolucao Continua baseia-se em 4 operacoes:. a) Inverter h(7), obtendo-se h(—T). b) Deslocar h(—7r), obtendo-se h(—7r +f). c) Multiplicar x(7) por h(t— 7) para todo r. d) Integrar (calcular a area sob a Curva) para todo valor de r. 46 Exemplo 1: Considere um sistema LIT de tempo continuo re- presentado pela resposta ao impulso abaixo: A h(t) 1, O<t<l ' h(t)=<¢ —-1, 1<t<2 0 ' 5) O, outros 4 Determine a Saida do sistema para a seguinte entrada: A x(t) adh -h<t<l ~ ) O, outros > -1 0 1 t Solucao: A h(-1) 1 a) Inverter h(7), para se obter h(—7T): , og -1 A h(t—t) 1 b) Deslocar h(—7T), para se obter h(t — 7): 3 .. - t- t tT -1 c,d) Multiplicar e Integrar x(7).h(t—T), para os seguintes trechos: 1°Trecho: —coo<7r<-1,et<-l => y(t) = 0, pois xz(7T).h(t-—7T) =O A h(t—T) t-2 t-l t -l O 1 T -1 47 2°Trecho: -l<r<t,e-1<t<0O => y(t) = pr x(r)h(t —7)dr = fi, lidr=r|i,=t+1 A h(t—T) t-2 t-l -lt 1 T -l 3°Trecho: -l<7r<t,eO0<t<l => y(t) =f") (-1).1dr + fl elder = tf +7], = -t41 A h(t-t) 1 | | > t-2 tl t T -| 4°Trecho: t—-2<7r<1l,el<t<2 _ t-l 1 _ t—1 1 => y(t) = f, 5 (-1).1dr + fp deldr = -tl25 4-7], =-t+1 A h(t-t) 1 | | t-2 t-l1 t - -| 48 5°Trecho: t-2<7r<1,e2<t<3 1 => y(t) = J,_5(-1).1dr =-rlL,=t-3 A h(t-t) 1 | | > t-2 t-1 t T -] Resposta final: t+1, -1<t<0o y(t) =< -t+1, O<t<2 t-3, 2<t<3 A y(t) 1 Oop -| 49 Exemplo 2: Considere um sistema LIT de tempo continuo re- presentado pela resposta ao impulso abaixo: a y(t) 2T jf t, O<t< 2T h(t) = : O, outros 2T - Determine a Saida do sistema para a seguinte entrada: A y(t) 1 jf 1, o<t<T a(t) = : O, outros T rt Solucao: a) Inverter h(7), para se obter h(—7T): A y( 1 +t) b) Deslocar h(—7T), para se obter h(t — 7): c,d) Multiplicar e Integrar x(7).h(t—T), para os seguintes trechos: 1°Trecho: -o <7r<0,et<O0=> y(t) =O, pois x(7T).h(t-—T) =O A y(t ') 2T 1 a -2T+t t 0 TO 50 2°Trecho: O<7<t,e0<t<T= y(t) = fT a(r)h(t—7)dr = t t Jo1-@—7)dr = fo 1.—7)dr = t.r — 7?/2|§ = t? — 7/2 = t?/2 a y(t ') 2T 1 > -2T+t t T 3°Trecho: O0<7r<T,eT<t<2T => yt) =t.7—77/2\6 = tT —T?/2 A y(t 1) 27 1 > -2T+t T t 4°Trecho: t—-2T<7r<T,e2T <t<3T => y(t) =t.7—77/2|F 7 = —t?7/2 + tT — 3T?/2 A y(t 1) 27 1 > -2T+t T t | 51 Exercicio Propostos 1) Considere um sistema LIT de tempo continuo representado pela resposta ao impulso abaixo: Determine a saida do sistema t, —-l<t<il para a seguinte entrada: —_ j) -1, -2<t<-l n= 1, b<t<2 1, 0<t<4 O, t — , Oe C8 x(t) : O, outros 2) Considere um sistema LIT de tempo continuo representado pela resposta ao impulso abaixo: Determine a saida do sistema para a seguinte entrada: 2t, O<t<l h(t) =< —-2t, -1<t<0O > 0ete?2 O, outros _— , <t< x(t) = : O, outros 3) Considere um sistema LIT de tempo continuo representado pela resposta ao impulso h(t) abaixo. Determine a saida do sistema para a seguinte entrada x(t). —-1, O<t<l h(t) =16 O<t<t “o=| 1, -1<t<0 , outros O, outros 4) Considere um sistema LIT de tempo continuo representado pela resposta ao impulso h(t) = e~7".u(t), ache a resposta deste sistema a entrada x(t) =e '.u(t). 52 Resolução do Exercicio 4 no Matlab/Octave dt=0.001; t=0:dt:7; x=(exp(-t).*(t>=0)); plot(t,x); pause; h=(exp(-2*t).*(t>=0)); plot(t,h); pause; y=conv(x,h)*dt; plot(t,y(1:length(t))); title('y(t)=\int x(\tau).h(t-\tau)d\tau'); xlabel('t'); ylabel('y(t)'); 53 Sistemas Interconectados Interconexao Paralelo h(t) 8 (t) CE Hm h(t)=h,(t) +h, () ue 2 Interconexao Série (Cascata) 5(t) H h(t) H —>| H, Po], be iti, (t) h(t) Resposta ao Degrau t g(t) = | h(r)ar —CoO Resposta a Rampa t FQ) = | g(r)ar —CoO 54 Propriedades da Convolução • Propriedade Comutativa x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) • Propriedade Distributiva x(t) ∗ [y(t) + z(t)] = x(t) ∗ y(t) + x(t) ∗ z(t) • Propriedade Associativa x(t) ∗ [y(t) ∗ z(t)] = [x(t) ∗ y(t)] ∗ z(t) • Propriedade de Deslocamento Se: x(t) ∗ y(t) = c(t) Então: x(t) ∗ y(t − t0) = x(t − t0) ∗ y(t) = c(t − t0) • Convolução com Impulso x(t) ∗ δ(t) = x(t) • Propriedade da Largura Se: x(t) tem largura T1e y(t) largura T2, Então: x(t) ∗ y(t) terá largura T = T1 + T2 55 Analise de Fourier Representacao em Série de Fourier de Sinais Pe- riodicos Como visto um sinal de tempo continuo periodico é do tipo: x(t) =a(t+mT), Vt, e com: mEZ Sendo o Perfiodo Fundamental (Jo), © menor valor de T p/ o qual: x(t) =a(t+T),Vt Dois exemplos de sinais periddicos basicos sao: x(t) = cos(wot + >) x(t) = eset Onde: wo = 27 /To € a frequéncia angular fundamental Série Exponencial Complexa de Fourier Pode-se representar um sinal periddico x(t) com periodo To atra- ves da somatoria de exponenciais complexas, com abaixo: OO ° c(t)= SS cy.el kwot k=—oo Sendo: wo = 27n/To, € Ch os coeficiéntes de Fourier complexos, dados por: 1 —jkwot Cc. =— |]. ax(t).e 2°O'dt Io /To Na integral Tg denota o calculo desta integral em um periodo, usando-se por exemplo: 0 a To , ou —T9/2 a To/2 56 Se fizermos k = O na expressdo de Cp, 0 valor Co, indicara o valor médio de x(t) em um periodo, ou seja: J co=— | x(t)dt To Jt, Exemplo: Determine a série exponencial complexa de Fourier do sinal periddico x(t) mostrado abaixo: A x(t) 1 -27 a -m/2 O w2 2n t Solucao: wo = 27 /T = 27 /2n = 1(rad/s) 1 . 1 7/2 . —1 aq Ch = | x(t).e IR dt = =. | Le dt = ———— ek = To Jt, 2m J_ 7/2 27.9.k —] 1 jkn/2 _ ,—jkr/2 1 = ——_ (e Shr /? _ eikn/2) — a = — sen(k7/2) 27.5.k kn 2) kn O, k = par cy = Semtbn?) = 2 tA /kn, k= +1,45,+9,... co =a0/2=1/2 Fi/knr, k=+3,+7,+11.,... Entdo: x(t) = oP cy.eF vot = rool ze sen(kr /2).e)*'] 1 ; 1 ; 1 ~ 1 1 1. 1 t) =...+— —jot. os ty tt a tt St gt . v(t) TEx° 3.0 TT TAT Tze 3.0 TEx° T Aplicando a relacao de Euler para o cosseno: 1 2 1 1 1 t) = ~ + —|cost — —cos3t + —cos5t — —cos?ft +... v(t) = 5 + <[cost — <cos3t + = =00s7t + J 57 Série Trigonomeétrica de Fourier Pode-se representar um sinal periddico x(t) com periodo To atra- vés da somatoria de senos e cossenos, com abaixo: ao oS x(t) = —+ © [az.cos(kwot) + by.sen(kwot)] 2 k=1 Sendo: wo = 2n/Top, € Ap e by OS Coeficiéntes de Fourier: 2 [| a(¢).cos(hwot)at ap, = — L(t ).cos( KW k; To JT O b= 2 [| o(6).sen(kwot)at = — a(t).sen( Kw k; To JT O Os coeficiéntes Ap e by se relacionam com os coeficiéntes de Fourier complexos por: ao 1 1 co = — cp. = —.(ap — 7b c_p=—.(ap + 7b 0= 5 k 5 (ak joy) k 5 (ak joy) Quando x(t) for real, entao Ap e bj. serdo reais, entao teremos: ak = 2.Re[cx| b,. = —2.ImI|c;z| 58 Série Trigonométrica de Fourier de Sinais Perio- dicos Pares e Impares Se o sinal periddico x(t) com periodo To for Par, entdo by sera zero, e a série de Fourier fica: a CO x(t) = > + Ss” [a;,.cos(kwot)] wo = 21 /To k=1 Se o sinal periddico x(t) com periodo To for Impar, entdo a, sera zero, e a série de Fourier fica: CO x(t) = )— [b,.sen(kwot)] wo = 2n/Tp k=1 Série de Fourier em Forma Harmo6Onica Outra forma de representacao em série de Foueier de um sinal periddico x(t) com periodo Toé: CO x(t) =cp+ Ss” [c,.cos(kwot — Ox)] wo = 2n/To k=1 2 2 ar = — | x(t).cos(kwot)dt b, = — | a(t).sen(kwot)dt To Jr, To JT, Os coeficiéntes Cp e 6; se relacionam com Ap e by por: _ 20 _ 2 2 b oD Ce = VERT Es 0. = arctg(—*) k 59 Convergéncia da Série de Fourier Um sinal periddico x(t) tera uma representacao em série de Fou- rier se atender as condicoes de Dirichlet 1. Se x(t) é integravel em méddulo no intervalo de um periodo qualquer: | |x(t)|dt < co Lo 2. Se x(t) tem um numero finito de maximos e minimos dentro de qualquer intervalo finito t 3. Se x(t) tem um numero finito de descontinuidades dentro de qualquer intervalo finito t e cada uma delas é finita Espectro de Amplitude e Fase de Sinais Periodi- COS Admitindo-se que os coeficiéntes complexos de Fourier c, de um sinal periddico x(t) seja: __ 1O Cr, = |cz|.e27* O grafico de |c;| versus a frequéncia angular w € chamado de Espectro de Amplitude do sinal x(t), e o grafico de 0) versus a frequéncia angular w @€ chamado de Espectro de Fase do sinal x(t). Como os valores de k sao inteiros os graficos de Amplitude e Fase nao sao curvas continuas, mas ocorrem somente nas frequéncias discretas kwo , sendo por esta razao chamados de Espectros Discretos de Frequéncia, ou Espectros de Linha. 60 Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periddico x(t): A x(t) 1 a -21 a -0/2 O wW2 = 27 t Solucao: wo = 2n/T = 2n/2n7 = 1, € OS coeficiéntes da série serao calculados como abaixo, sendo a integracao de —7/2 a m /2: s2=1/ a@)dt= 2 [1d = 247, = 2 [-(-2)] =1/2 2 To JTo Qn J—n/2~° Qn '!—n/2 2Qr°'2 2 => by = 2 pr" sen(kt)dt = 0, uma vez que: x(t) é par. nr /2 >a,= z Jp, ©(t).cos(kwot)dt = a ae 1.cos(kt)dt = r/2 WT 7 7 = d-sen(kt)|",, = (-).[sen(**) — sen(—*2)] = (~).sen(**) Sabendo-se que: sen(“#) = —sen(—"=) O, k = par ay, = Q/kr, k=1,5,9,... —2/kn, k= 3,7,11,... Entao: x(t) = 5 + 2 [é-sen(42)cos(kt)] 1 2 1 1 1 x(t) = — + —[cos(t) — =cos(3t) + =cos(5t) — =cos(7t) + ...] 2 7 3 5 t Espectros de Amplitude Espectros de Fase IC 4 az ° bi O 1/2 0k = arctan(—) = arctan(—) = 0 e Qk Qk 2/37 QA e 2/97 2/710 @©eeee@ee @ . © cco 01234567 @ e@ e@ e > 01234567 oa 61 Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periddico x(t) mostrado: A x(t) 1 a -27 -1 0) Tt 20 t Solu¢ao: wo = 27/T = 2n/2n7 = 1, entao os coeficiéntes da série serao calculados como: ao — 1 —_ 1 7 —_ 1 tr 1 — +3 = F Jp, edt = 55 Jo dt = 52-t/§ = 52-4 — 0] = 1/2 >a,= - Jp, 2(t).cos(kwot)dt = - Io 1.cos(kt)dt = = ~sen(kt)|§ = (-~).[sen(kr) — sen(O)] =O >b= 2" sen(kt)dt = < Io 1.sen(kt)dt = = .cos(kt)|§ = 4 _ iy. _ O, k = par = 7.|cos(kr) — cosO] = ;-.[1 — cos(kr)] = : 2/kn, k= impar Entao: x(t) = 5 + 2 lt — cos(k7)](1 — cos(k7).sen(kt)} 1 2 1 1 x(t) = ~ + —[sen(t) + =sen(3t) + =sen(5t) + ...] 2 7 3 5 Espectros de Amplitude Espectros de Fase Ic | 2/a 0k = arctan(%) = arctan(®) = 7/2 e k A 1/2 Tlhleeeoeeeeee eee or 01234567 o e 2/3 2/70 ° eee @ e e > 01234567 @ 62 Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periddico x(t) mostrado: prze™ 1 > -2T -T 0 Tt 27 t Escolhendo o intervalo de integracao de 0 a z, e sabendo que wo = 2n/T = 2r/n = 2(rd/s), entao os coeficiéntes da série serao calculados como: 1 /[* 1 7 2 a0 —_ ~ | et/2 dt — ~(-2) f e'/? (-1/2)dt — =e t/2\7 _ 2 Tw J, T ; 7 2 = —=.(0,2079 — 1) = 0,504 TT 2 [" 410 2 — = .cos(2kt)dt = 0,504.(———_—_— uk | et c08(2kt) Fie 2 [* 8.k —— tl? sen(2Qkt)dt = 0,504.(———__—- ‘ “| ou sen(2kt) TF 16 Entdao: x(t) = a0 + Ss” [a;,.cos(kwot) + by.sen(kwot) = 2 k=1 0, 504[1 + S*[(——2—) cos (kwnot) + (—eo# sen (wot — YU, x J) -€OS WwW x J Sen WwW = A4"*1 + 16.4? 1+ 16.k2 = 0,504[1 + S°[(——2—) (cos (hut) + 4h.sen(husot))] ret 1+ 16.k? 63 Exercicios Propostos Determine a série Trigonométrica de Fourier dos sinais periddi- cos x(t) abaixo, esbocando os espectros de amplitude e fase: x(t) 1 a) -3% “27% —- O TT 20 3x t -1 x(t) 2 b) -27 -1 0 T 2m t x(t) 1 -3n} -2n] -1 0 2n |3n"t -1 Contetido de Poténcia de um Sinal Periéddico Como visto antes a Poténcia Média de um sinal periddico x(t) em um periodo qualquer @€ dado por: 1 2 P= — | |ax(t)|*dt To Jr, Se x(t) for representado pela série Exponencial Complexa de Fourier, entao pode-se mostrar que: 1 CO pao | iw Pae= > ex? Lo To 2 =—0co Sendo esta relacdo chamada de Rela¢cao ou Teorema de Parseval da série de Fourier. 64 Transformada de Fourier Seja um sinal nao-periddico x(t) de duracao finita, ou seja: a(t) = 0, para |t| > Ty, conforme mostrado na figura abaixo: x(t) > T, 0 qT, t Seja agora um sinal periddico xz’(t) formado pela repeticao de x(t), com periodo fundamental To, conforme mostrado abaixo: X'(t) -2T, -T, -T/2 -T, | T, T/2 T, 2T, t Se: To — oo, teremos: lim «2 (t) = a(t) To—0o E a série Exponencial Complexa de Fourier de 2’(t), sera: OO . e(t)= S- cy,.eJ wot k=—oo Sendo: wo = 27n/To, € Ch os coeficiéntes de Fourier complexos, dados por: 1 To/2 _. Ch = | a! (t).e Ihwot dt To /-To/2 65 Mas como: a’/(t) = x(t), para |t| < To/2, e como x(t) = O fora deste intervalo, entao: 1 To /2 ; 1 CO ; Ch = | a! (t).e Jt dt = x | x(t).e 7%! dt Lo J_1,/2 To Joo Vamos definir X(w) como sendo: oo . X (w) =| a(t).e dt —oo ~ os ~ . _ il Entdo, substituindo na expressdo de Cp, fica: cp = T>* (kwo) Das express6es: cy, = 7,X (kwo) ,e a(t) =e. cr.e7*t, subs- tituindo a primeira na segunda vem: CO 1 W CO (t) = —X (kwo).e/! = —" SX (kwo).e/**! a(t) De (kwo).e x (kwo).e k=—oo k=—oo Quando To > co, wo = (27/To) > 0, entdo fazendo wo = Aw, e aplicando-se o limite quando Aw -> 0, a equacao anterior se torna: CO a'(t)|n+0 = lim a(t) = lim (> S 0 X(kAw).e**""Aw} = x(t) ° To—00 Aw >0 27 k=—co Mas, 1 < kL 1 [* lim {— X (kAw).e7"*“* Aw} = — xX etd dimgtae Do X(kaw).cltaw} = 5 | X(u)eltd k=—co Resultando na representacao de Fourier de um sinal nao perio- dico: 1 oe ; x(t) = >| X (w).e7 dw 277 J_o 66 Pares de Transformadas de Fourier A funcao X(w) @ chamada de Transformada de Fourier de z(t), e€ a expressao anterior @€ a Transformada Inversa de Fourier, e formam o par de transformadas de Fourier, sendo denotado por: x(t) ~ X(w). Transformada de Fourier de x(t): Co . X(w) = F{x(t)} = / a(t).e !dt —CoO Transformada Inversa de Fourier de z(t): 1 O° ,; a(t) =FUX(w)} = >. | X (w).e)*dw 27 Joo Exemplo 1: Obtenha a transformada de Fourier do pulso re- tangular dado por x(t) = ret(t/r), mostrado ao abaixo: x(t A (t) 1 a 7/2 O W2 6t Solucao: Vamos calcular: X(w) = [> ret(=) - eI*"dt ty — 1, | t I< T/2 — 7/2 —jwt como ret(=) = : 0 |t|>7/2 => X(w) = Jorigl e J“tdt 67 mas: [e~*dr = —* -e®, assim teremos: X(w) = tt -e jut 7 = _— . (eI¥7/? — Jet /2) qu T/ qw Usando a relacdo de Euler para o seno, sen(x) = Se, fica: —2 e Jwt/2 _ ejwr/2 2sen(wt/2) X(w) = — - (A _) = + W 2) W Multiplicando e dividindo a expressao anterior por 7/2 teremos: sen(wt/2) , X(w) = T - — = TT: sinc(wt/2 (w) Gur 72) (wr /2) Esta fun¢cao do tipo sen(x)/x, Cujo esbo¢co € mostrado abaixo, € chamada de sinc(x), sendo de grande importdncia, por es- tar relacionada em conceitos importantes da teoria de Sinais e Sistemas e Processamento Digitais de Sinais. T.SINC(W.7/2) Tv w -8n “6n —4 —2n 0 2 4n 61 81 Tv v v v T t v v 68 Pares de Transformadas Importantes x(t) ↔ X(ω) Condição e−atu(t) ↔ 1 a+jω a > 0 eatu(−t) ↔ 1 a−jω a > 0 e−a|t| ↔ 2a a2+ω2 a > 0 t.e−atu(t) ↔ 1 (a+jω)2 a > 0 δ(t) ↔ 1 δ(t − t0) ↔ e−jωt0 1 ↔ 2πδ(ω) ejω0t ↔ 2πδ(ω − ω0) cos(ω0t) ↔ π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] sen(ω0t) ↔ jπ[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)] u(t) ↔ πδ(ω) + 1 jω u(−t) ↔ πδ(ω) − 1 jω 69 Propriedades da Transf. de Fourier 1. Linearidade a1.x1(t) + a2.x2(t) ↔ a1.X1(ω) + a2.X2(ω) 2. Deslocamento no Tempo x(t − t0) ↔ e−jωt0.X(ω) 3. Deslocamento de Frequência e−jω0t.x(t) ↔ X(ω − ω0) 4. Mudança de Escala de Tempo x(a.t) ↔ 1 |a|.X(ω a) 5. Inversão de Tempo x(−t) ↔ X(−ω) 6. Dualidade ou Simetria X(t) ↔ 2π.x(−ω) 7. Diferenciação no Domínio do Tempo d dtx(t) ↔ jω.X(ω) 8. Diferenciação no Domínio da Frequência (−jt).x(t) ↔ d dωX(ω) 70 9. Integracao no Dominio do Tempo t / x(r)dr 4 7.X(0).6(w) + 2X (w) —oo QW 10. Convolucao x1(t) * xo(t) > X1(w).Xo(w) 11. Multiplicacao w1(t).vo(t) 4+ —-.X1(w) * Xo(w) QT 12. Partes Par e Impar de z(t) Se x(t) for real, seja: x(t) = x(t) + z(t), e x(t) 6 X(w) = AWw) + 7B(w), ainda: X(—w) = X*(w) Entao: te(t) — Re{X(w)} = Aw) Lo(t) o 7.1m{X (w)} = 7.B(w) 13. Relacoes de Parseval [- x1(A).X2(A)dA = [- X1(A).x2(A)dA [- v1 (t).co(t)dt = — [- X1(w) Xo(—w) dw 6 277 Joo J \ecPat =f \x(wy/aew 6 277 Joo 71 Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo Contínuo LIT Um sistema LIT de tempo contínuo, c/ resposta ao impulso h(t), terá uma saída y(t) em resposta a x(t): y(t) = x(t) ∗ h(t) Aplicando-se a propriedade da Convolução p/ a Transf. de Fou- rier: Y (ω) = X(ω).H(ω) Onde: Y (ω), X(ω), e H(ω), são as Transf. de Fourier de y(t), x(t), e h(t). Isolando H(ω), que é a Resposta em Frequência do sistema: H(ω) = Y (ω) X(ω) = |H(ω)|.ejθH(ω) Sendo: |H(ω)|, a Resposta de Magnitude (ou Amplitude), e θH(ω) a Resposta de Fase do sistema. A Resposta em Frequência H(ω) caracteriza totalmente o sis- tema LIT de tempo Contínuo. Conclusões: • O Espectro de Amplitude da saída de um sistema LIT - |Y (ω)|, é o produto do Espectro de Amplitude da entrada |X(ω)|, pela Resposta de Amplitude do sistema |H(ω)|. • O Espectro de Fase da saída, é a soma do Espectro de Fase da entrada θx(ω), com a Resposta de Fase do sistema θH(ω). 72 Transmissão sem Distorção Para que a transmissão através de um sistema LIT não produza distorção, o sinal de saída deve ter o mesmo formato do sinal de entrada, exceto pela amplitude, e estar atrasada no tempo. Portanto se x(t) representar o sinal de entrada do sistema, e y(t) a sua saída, esta saída será do tipo: y(t) = K.x(t − t0) Aplicando-se a transformada de Fourier da expressão anterior, ca: Y (ω) = K.e−jωt0.X(ω) Mas como visto antes: H(ω) = Y (ω)/X(ω) = K.e−jωt0 Da forma polar para H(ω): H(ω) = |H(ω)|.ejθ(ω) = K.e−jωt0, obtém-se: |H(ω)| = K θ(ω) = −jωt0 Conclusão: (1) o espectro de amplitude de H(ω) deve ser cons- tante dentro da faixa de frequências de interesse, e (2) a fase θ(ω) deve ser linear com a frequência. 73 Resposta em Frequéncia de Circuitos RC Usando a Transformada de Fourier Filtro Passa-Baixas (FPB) tipo RC de 1* Ordem Um filtro do tipo Passa-Baixas causal pode ser implementado como o circuito RC mostrado abaixo, onde z(t) representa a entrada do filtro e y(t) a sua Saida: R A Aplicando-se a LCK no no A, vem eit f° que: wo C 1 ) veo ip =ic = TOBWO = cand dy(t) _ De onde resulta: RCO—7 + y(t) = x(t) Entao, obtendo-se a Tranformada de Fourier da expressao acima, onde se aplicou a propriedade da diferenciacao, vem que: RC.jw.Y (w) + Y(w) = X(w) Y (w).(RC.jw +1) = X(w) = Y2 = 1 = (Ww) . “J —_ X(w) 1+jwRC Fazendo-se wo = ay na expressao anterior, fica: _ 1 ns H(w) = T4H7jw Ja = Resposta em Frequéncia do FPB Real. Entao, a Resposta de Amplitude e de Fase serao dadas por: _ 1 _ 1 J (w)| = [1+jw/wo| V1+(w/wo)? 0(w) = —arctan(w/wo) 74 Filtro Passa-Altas (FPA) tipo RC de 1* Ordem Um filtro do tipo Passa-Altas causal pode ser implementado como o circuito RC mostrado abaixo, onde z(t) representa a entrada do filtro e y(t) a sua Saida: C . . Aplicando-se a LCK no no A, vem . | que: f R J - d|x(t)—y(t)} _ yt ip=ic = CHOW] = uO De onde resulta: R.c Leow) = y(t) Entao, obtendo-se a Tranformada de Fourier da expressao acima, onde se aplicou a propriedade da diferenciacao, vem que: R.C.jw.[X(w) — Y(w)] = Y(w) R.C.jw.X(w) = Y(w).(R.C.jw + 1) Y(w) _ RCjw __ 1 X(w) jwRC+1 7 14+1/(jwRC) Y@)_ lL X(w) = 1Fi/Gorcy = 4) Fazendo-se wo = ay na expressao anterior, fica: 1 as H(w) = — . ; => Resposta em Frequéncia do FPA (wo) = TFiGa/Jao) P 0 Real. Entao, a Resposta de Amplitude e de Fase serao dadas por: 1 1 H(w)) = aoe ODE OS eee 1()| = TET Gaywol — Vrpay (w/o)? O0(w) = —arctan(1/(w/wo)) 75 Analise de Sistemas usando a Transformada de Laplace A Transformada de Laplace Bidirecional de um sinal x(t) de tempo continuo, é definida como: CO L{a(t)} = X(S) = / x(t).e “dt —Co Onde em geral a variavel s tem valor complexo e € expressa como: s=a-+.jw. Em contraste a Transformada de Laplace Bidirecional a Trans- formada de Laplace Unidirecional € definida como: CO L{ax(t)} = X7(S) = [e@ertat Oo-— e as duas transformadas serao equivalentes apenas se z(t) = O parat<0O. Dai resulta que x(t) sera a Transformada Inversa de Laplace de X(s), sendo expressa por: 1 ctjoo L-1{X(s)} = x(t) = — / x(s).e*ds 277 C—JOo A integral acima @ calculada ao longo de c+ jw COM w variando de —oo a +oo. Diz-se que o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(S) formam um par de transformadas de Laplace simbolizado por: x(t) ~ X(s). 76 Regiao de Convergéncia da Transformada de Laplace (RDC) © intervalo de valores da variavel complexa s para oO qual a integral da expressao da Transformada de Laplace converge é chamado de Regiao de Convergéncia (RDC). Exemplo 1: Consideremos o sinal x(t) =e “u(t), com ac R x(t)=e“u(t) | 0 t Aplicando-se a Transformada de Laplace de x(t), vem que: X(S) = J etutt).eat = etic at = fecroat —oco O O 1 00 1 1 X(S) = ——— e Fat = (g 1) = (S) sta lo sda! ) sta Isto considerando-se que: limtsoe STUY! = O Plano s J@ a>0 | O que ocorre se e somente se: | R{s + a} > O | ou seja: R{o + ju +a} >0 “a | O | ou ainda: o+a>0 ! Entdao: o > —a. 77 Exemplo 2: Consideremos o sinal x(t) = —e-“u(-t), comaEeERr x(t)=-e“u(-t) ol t -] Aplicando-se a Transformada de Laplace de x(t), vem que: oo O O X(S) = [Ce )ut.eat = — / ee “dt = — / e Stat dt 1 1 1 X(8) = ——e OH", = (1-0) = sta sta sta Isto considerando-se que: limis—oe7 STU =O jJ® | Plano s O que ocorre se e somente se: | a>0 e~ (sta) (—oo) —_— e(s+a) (co) —_— O | Ou seja: R{s+a}<0 i-a O R{o+jwtak<0>0+a<0 | Entdao: o < —a. | 78 Conclusão sobre a RDC: Como os sinais: e−atu(t), causal, e −e−atu(−t), não-causal, pos- suem a mesma transformada de Laplace, porém com regiões de convergência distintas, a conclusão que se tira é: Para que a transformada de Laplace seja única a RDC deve ser especicada como parte da transformada. Região de Convergência para Sinais de Duração Finita Considere um sinal x(t) não nulo somente para t1 ≤ t ≤ t2 com t1 e t2 nitos. Para este sinal nito, absolutamente integrável, a RDC será todo o plano s. Transformada de Laplace Unidirecional Como visto antes se a transformada de Laplace é do tipo Bidi- recional ela se aplica a sinais causais e não-causais. Para sinais causais, esta ambiguidade desaparece, e existirá uma relação biunívoca entre o sinal e sua transformada de Laplace, sendo desnecessário a especicação da RDC. Convém lembrar que os sinais que são tratados na prática serão sempre do tipo causal. 79 Daí podemos ter uma tabela de pares de transformadas de La- place, como temos para a transformada de Fourier. Pares de Transformadas de Laplace Importantes x(t) ↔ X(s) δ(t) ↔ 1 u(t) ↔ 1 s t.u(t) ↔ 1 s2 tn.u(t) ↔ n! sn+1 e−at.u(t) ↔ 1 s+a t.e−at.u(t) ↔ 1 (s+a)2 cosω0t.u(t) ↔ s s2+ω2 0 senω0t.u(t) ↔ ω0 s2+ω2 0 e−at.cosω0t.u(t) ↔ s+a (s+a)2+ω2 0 e−at.senω0t.u(t) ↔ ω0 (s+a)2+ω2 0 80 Propriedades da Transf. de Laplace 1- Linearidade da Transformada de Laplace Se temos: x1i(t) © X1i(s) @ zo(t) & X2(s) Entao: a ,xr1(t) + a2xr2(t) +> a,X1(s) + a2X2(s) 2- Deslocamento no Tempo x(t — to) 6 e 8”.X(s) 3- Deslocamento no Dominio s e! a(t) o X(s — 80) 4- Mudanca de Escala de Tempo xr(a.t) 6 is (3) 5- Inversao de Tempo x(—t) ~ X(-s) 6- Diferenciacao no Dominio do Tempo x(t) +> s.X(s) 7- Diferenciacao no Dominio s —t.r(t) © £ X(s) 8- Integracao no Dominio do Tempo [adr re *+.X (s) ol 9- Convolução Se temos: x1(t) ↔ X1(s) e x2(t) ↔ X2(s) Então: x1(t) ∗ x2(t) ↔ X1(s).X2(s) Pólos e Zeros Usualmente X(s) será uma função racional do tipo: X(s) = a0sm + a1sm−1 + ... + am b0sn + b1sn−1 + ... + bn = a0(s − z1)...(s − zm) b0(s − p1)...(s − pn) Onde: ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos. As raízes do numerador zk são chamados zéros de X(s), por levarem X(s) a zero, e serão representados por um o. As raízes do denominador pk são chamados pólos de X(s) por levarem X(s) ao innito, e serão representados por um x. Portanto os pólos de X(s) carão fora da RDC porque X(s) não converge nos pólos. Os zeros por sua vez podem car dentro ou fora da região de convergência. Exemplo: X(s) = 2s+4 s2+4s+3 = 2 s+2 (s+1)(s+3). 82 Métodos de Inversao da Transformada Inversa de Laplace Existem varios métodos para se achar a Transformada Inversa de Laplace, os quais serao apresentados a seguir: 1- Usando a Formula da Inversao Conforme visto antes, a transformada de Laplace inversa € uma operacdo que leva a x(t) a partir de X(s), sendo expressa como: 1 c+joo L-1{X(s)} = x(t) = — / x(s).e*ds 277 C—JOo Esta integral de linha no plano complexo, sendo de dificil reso- lucao. 2- Usando os Pares de Transformadas de Laplace Um método viavel de inversao da transformada de Laplace é tentar expressar X(s) COMO uma soma do tipo: X(s) = X1(s) + Xo(s) +... + Xn(s) De onde em se conhecendo as transformadas inversas: x1(t), xo(t),...en(t), de X1(s), Xo(s),...Xn(s) Pela propriedade da linearidade pode-se facilmente determinar x(t), Como sendo: x(t) = 71(t) + zo(t) +... + en (t) 83 3- Expansão em Frações Parciais Se X(s) for expressa como uma função racional da forma: X(s) = N(s) D(s) = k.(s − z1)...(s − zm) (s − p1)...(s − pn) 1ºCaso: Quando X(s) for uma função racional própria ou seja: m < n (a) Pólos Simples: Se os pólos de X(s) forem simples (distin- tos) então: X(s) = c1 s − p1 + c2 s − p2 + ... + cn s − pn Onde: ck = (s − pk)X(s)|s=pk Exemplo: Encontre a transformada de Laplace inversa de X(s) = 2s+4 s2+4s+3 Solução: X(s) = 2s+4 s2+4s+3 = 2 s+2 s2+4s+3 = c1 s+1 + c2 s+3 ck = (s − pk)X(s)|s=pk ⇒ c1 = (s + 1)X(s)|s=−1 = 2s + 2 s + 3|s=−1 = 1 c2 = (s + 3)X(s)|s=−3 = 2s + 2 s + 1|s=−3 = 1 Logo: X(s) = 1 s+1 + 1 s+3 ⇒ x(t) = e−tu(t) + e−3tu(t). 84 (b) Pólos Múltiplos: Se os pólos de X(s) forem múltiplos, ou seja conter fatores (s − pi)r, onde o pólo pi tem multiplicidade r, então a expansão em frações parciais cará: c1 s − pi + c2 (s − pi)2 + ... + cn (s − pi)r Exemplo: Encontre a transformada de Laplace inversa de X(s) = s2+2s+5 (s+3)(s+5)2 Solução: X(s) = s2+2s+5 (s+3)(s+5)2 = A s+3 + B s+5 + C (s+5)2 Então: X(s) = A s+3 + B s+5 + C (s+5)2 = A(s+5)2+B(s+3)(s+5)+C(s+3) (S+3)(S+5)2 ⇒ s2 + 2s + 5 = A(s + 5)2 + B(s + 3)(s + 5) + C(s + 3) ⇒ s2 + 2s + 5 = (A + B)s2 + (10A + 8B + C)s + 25A + 15B + 3C Resolvendo o sistema de equações:    A + B = 1 10A + 8B + C = 2 25A + 15B + 3C = 5 resulta em: A = 2 B = −1 C = −10 . Logo: X(s) = 2 s+3 − 1 s+5 − 10 (s+5)2 E a transformada inversa ca: x(t) = (2e−3t − e−5t − 10te−5t)u(t) 85 2º Caso: Quando X(s) for uma função racional imprópria ou seja: m ≥ n Neste caso por divisão de polinômios, pode-se escrever X(s) como: X(s) = N(s) D(s) = Q(s) + R(s) D(s) Onde: Q(s) é o polinômio quociênte, de grau m − n R(s) é o polinômio resto de grau menor que n. Pode-se agora achar a transformada inversa de Q(s), através da tabela de pares de transformada, e R(s)/D(s) sendo uma função racional própria pode ser resolvida como no item (a), ou seja por frações parciais. Exemplo: Ache a Transformada de Laplace inversa x(t) de X(s) = s2+1 s2−s−2 Solução: X(s) = s2+1 s2−s−2 = 1 + s+3 s2−s−2 = 1 + s+3 (s−2)(s+1) = 1 + A s−2 + B s+1 X(s) = 1 + 5/3 s−2 − 2/3 s+1 ⇒ x(t) = δ(t) + (5/3)e2t − (2/3)e−t Exercícios: Ache as Transformadas de Laplace inversas x(t) de X(s) abaixo: (a) X(s) = 2s+1 s+2 x(t) = 2δ(t) − 3e−2tu(t). (b) X(s) = 10s+15 (s−1)(s+2)s2 x(t) = (25 3 et + 5 12e−2t − 35 4 − 15 2 t)u(t). (c) X(s) = s3+s2+s+1 s+1 x(t) = d2δ(t) dt + δ(t) 86 3º Caso: Quando X(s) for uma função racional com pólos complexos: Suponha agora que σ −jω, e σ +jω, sejam um par de pólos com- plexos conjugados, neste caso a expansão por frações parciais de X(s) permite escrever os seguintes termos associados ao par de pólos: C1 s−σ−jω0 + C1 s−σ+jω0 = B1s+B2 (s−σ−jω0)(s−σ+jω0) = B1s+B2 (s−σ)2+ω2 0 B1s + B2 (s − σ)2 + ω2 0 = Aω0 (s − σ)2 + ω2 0 + B(s − σ) (s − σ)2 + ω2 0 Pode-se agora achar a transformada inversa de X(s), através dos pares de transformadas: A(s − σ) (s − σ)2 + ω2 0 ↔ Aeσtcos(ω0t).u(t) Bω0 (s − σ)2 + ω2 0 ↔ Beσtsen(ω0t).u(t) . Exemplo: Ache a Transformada de Laplace inversa x(t) de X(s) = s+1 s2+s+1) Solução: X(s) tem um par de pólos complexos conjugados, −1 2 ± j √ 3 2 . Então pode-se escrever: X(s) = s+1 (s+1/2+j √ 3/2)(s+1/2−j √ 3/2) De onde vem que: X(s) = A(s + 1/2) (s + 1/2)2 + 3/4 + B( √ 3/2) (s + 1/2)2 + 3/4 87 Assim o numerador de X(s) cará: N(s) = A(s + 1/2) + B( √ 3/2) = s + 1 N(s) = As + A/2 + B( √ 3/2) = s + 1 Então: A = 1, e A/2 + B √ 3 2 = 1 ⇒ B = 1/ √ 3 E nas frações parciais teremos: X(s) = s+1/2 (s+1/2)2+3/4 + (1/ √ 3)( √ 3/2) (s+1/2)2+3/4 De onde resulta as seguintes transformadas inversas: x(t) = e−t/2cos( √ 3 2 t)u(t) + 1 √ 3e−t/2sen( √ 3 2 t)u(t) Exercícios: Ache as Transformadas de Laplace inversas x(t) de X(s) abaixo: (a) X(s) = 2s+12 s2+2s+5 x(t) = 5e−tsen(2t).u(t) + 2e−tcos(2t).u(t) (b) X(s) = 4s2+6 (s−1)(s2+2s+2) x(t) = 2etu(t) + 2e−tcos(t).u(t) − 4e−tsen(t).u(t) (c) X(s) = s2+s−2 s3+3s2+5s+3 x(t) = −e−tu(t) + 2e−tcos( √ 2t).u(t) − 1 √ 2e−tsen( √ 2t).u(t) Obs: No Matlab/Octave existe a função: [r,p,k]=residue(ns,ds) que devolve como resultado os resíduos (r), pólos (p) e constan- tes (k) da função racional: N(s)/D(s), sendo ns e ds os vetores constituidos dos coecientes de N(s) e D(s). 88 Função de Transferência (F.T.) Como visto antes a resposta ao impulso h(t) caracteriza comple- tamente o sistema, logo a Transformada de Laplace da resposta ao impulso H(s) conhecida como Função de Transferência (ou Função Sistema) também caracteriza completamente o sistema. Esquematicamente: H(s) = Y (s) X(s) Filtragem Operação básica em qualquer sistema de processamento de si- nais, permite alterar/eliminar componentes de frequência inde- sejáveis de um sinal. Filtros do tipo Passa-Baixas são requeridos em sistemas de aqui- sição de dados, na etapa anterior à amostragem do sinal de entrada, de modo a limitar da largura de faixa do espectro de frequências deste sinal, evitando o problema de sobreposição de espectros. Filtros Passa-Altas são requeridos em sistemas de aquisição de dados, na etapa posterior à conversão de digital para analógico, de modo a suavizar o sinal de saída analógico. 89 Filtros Seletivos de Frequéncias Ideais Filtro Passa-Baixas Ideal (FPB) A IH(@)! Sy mol={ 9 ESS XL’ -O. 0 00 Filtro Passa-Altas Ideal (FPA) 4 IH(o)! -/- —_ J 0, Iw] < we XN [> | =| 1, Jw] > we 1 > -@ 0 O. wo Filtro Passa-Faixa Ideal (FPF) 4 |H(o)| (wy) =f b or < lel <we © XS ~ ) O, outros ! OX > -, -, 0 0, @, o Filtro Rejeita-Faixa Ideal (FRF) 4 |H(o)| HH (wy) = % #1 < lel <w2 ) RO ~ ) 1, outros ! OND YP -@, -O, 0 ®, 0, @ 90 Respostas de Amplitude e Fase Denições Importantes 1. Largura de Faixa do Filtro BW (Bandwidth) A largura de faixa BW de um ltro ideal é denido para cada tipo de ltro como: FPB: BW = ωC FPF: BW = ω2 − ω1 Para o FPF se BW ≪ ω0 = ω2−ω1 2 , então este será de faixa es- treita. FPA e FRF: Não se dene BW 2. Largura de Faixa de 3dB Para ltro causais (ou práticos) dene-se ω3dB como sendo a frequência para a qual |H(ω)| cai para |H(0)|/ √ 2 em i(t) ou v(t). Ou seja, corresponde a atenuar potência à metade. 3. Largura de Faixa do Sinal A largura de faixa do sinal corresponde ao intervalo de frequên- cias dentro do qual se situa a maior parte da energia do sinal. 4. Largura de Faixa do Sinal p/ 3dB Da mesma que denido para o ltro, dene-se a largura de 3dB para um sinal como sendo a frequência para a qual |X(ω)| cai para |X(0)|/ √ 2 provocando atenuação da potência p/ metade. 91 5. Sinal de Faixa Limitada Um sinal terá sua faixa de frequências limitada a ωM se: |X(ω)| = 0, |ω| > ωM 6. Faixas de Passagem, Transição e Corte 7. Seletividade dos FPF e FRF - Fator de Qua- lidade Dene-se Fator de Qualidade de um Filtro Passa-Faixa ou Re- jeita Faixa como sendo: Q0 = ω0 BW Com: ω0 = ω2 − ω1 Quanto maior o valor de Q0 maior a seletividade do ltro. 92 Filtros Seletivos de Frequéncias Nao-Ideais (Causais ou Praticos) Filtro Passa-Baixas (FPB) tipo RC de 1* Ordem Um filtro do tipo Passa-Baixas causal pode ser implementado como o circuito RC mostrado abaixo, onde z(t) representa a entrada do filtro e y(t) a sua Saida: R A Aplicando-se a LCK no no A, vem eit f° que: wo C 1 ) veo ip =ic = TOBWO = cand dy(t) _ De onde resulta: RCO—7 + y(t) = x(t) Entao, obtendo-se a Tranformada de Laplace da expressdao acima, onde se aplicou a propriedade da diferenciacao, vem que: R.C.s.Y(s) + Y(s) = X(s) Y(s).(R.C.s +1) = X(s) = %$2 = 1 = H(s) " _ a X(s) 1+sRC Fazendo-se wo = ay na expressao anterior, fica: H(s) = ItsJuo — F. T. do FPB RC 120Ordem. Entao, a Resposta de Amplitude e de Fase serao dadas por: 0(w) = —arctan(w/wo) 93 Filtro Passa-Altas (FPA) tipo RC de 1* Ordem Um filtro do tipo Passa-Altas causal pode ser implementado como o circuito RC mostrado abaixo, onde z(t) representa a entrada do filtro e y(t) a sua Saida: Cc . - Aplicando-se a LCK no no A, vem ° | que: “f R J - d|x(t)—y(t)} _ yt ip =ic = CHOW) = wl De onde resulta: R.c Leow) = y(t) Entao, obtendo-se a Tranformada de Laplace da expressdao acima, onde se aplicou a propriedade da diferenciacao, vem que: R.C.s.[X(s) — Y(s)] = Y(s) R.C.s.X (w) = Y(s).(R.C.s + 1) Y(s) _ RCs _ 1 X(s) sRC+1 ~~ 1+41/(sRC) Y(s) _ 1 _ X(s) — 1+1/(sRC) — H(s) Fazendo-se wo = ay na expressao anterior, fica: _ 1 Q H(s) = TH (Jao) = FT. do FPA RC 12Ordem. Entao, a Resposta de Amplitude e de Fase serao dadas por: 1 1 /1(s)is=ju = TT FI/Gufoo)l ~ Vi41/ (w/w)? O0(w) = —arctan(1/(w/wo)) 94 Filtros RLC de 2º Ordem A partir da resposta ao impulso dos ltros pode-se obter as ca- racterísticas destes, bem como sua curva de resposta em frequên- cia, pólos, e zeros. Filtro Passa-Baixa de 2ªOrdem Considere o circuito RLC abaixo: Para se obter H(s) deste circuito, aplica-se o impulso na entrada x(t), isto signica que X(s) = 1, então: H(s) = Y (s) X(s) = Y (s) Considerando-se as impedâncias em R, L, e C, como ZR = R, ZL = SL, e ZC = 1/SC, e sabendo-se que H(s) = Y (s) = V C(s), teremos: H(s) = Vi(s).ZC ZC+ZL+ZR = 1.(1/SC) 1 SC+SL+R Esta expressão após algum algebrismo conduz à: H(s) = 1/LC S2+S R L+ 1 LC Que á a expressão de um ltro Passa-Baixas de 2ª Ordem, po- dendo ser escrita como: H(s) = ω2 c s2 + 2ξωcs + ω2c 95 Onde: € @€ o fator de amortecimento do filtro; we a freq. de corte. Além disto, se nota que: We = 1/VLC, 2&w. = R/L, sendo ainda o fator Q = 1/2€ A curva de resposta em frequéncia deste filtro sera dada por H(w) obtida como: Aw) = A(s)|s=juw = |H jw)| Entao: oy 1/LC _ 1/LC _ 1/LC HGw) = apts = Goward PM) = Te ae oip Que se normalizado para R=L=C=1, ficara: 1 LO ————— (1 — w?) + w2 H() A 1 2 3 (o(rd/s) 96 Filtro Passa-Altas de 2ªOrdem Considere o circuito RLC abaixo: Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior, H(s) para este circuito, será: H(s) = Y (s) X(s) = Y (s) Considerando-se novamente as impedâncias em R, L, e C, como ZR = R, ZL = SL, e ZC = 1/SC, teremos: H(s) = Vi(s).ZL ZC+ZL+ZR = 1.SL 1 SC+SL+R = S2L S2L+SR+ 1 C Esta expressão após algum algebrismo conduz à: H(s) = S2 S2+S R L+ 1 LC Que á a expressão de um ltro Passa-Altas de 2ª Ordem, po- dendo ser escrita como: H(s) = S2 s2+2ξωcs+ω2c Onde: ωc = 1/ √ LC, 2ξωc = R/L, e Q = 1/2ξ A curva de resposta em frequência deste ltro será dada por H(ω) obtida como: H(ω) = H(s)|s=jω = |H(jω)| 97 Entao: . __ —w? __ —w? __ V (—w?)? HG) = Tate = Gow tet PHO) = Tey Que se normalizado para R=L=C=1 Ficara: 2 H(w) = OF \/(1 — w?) + w? A curva de resposta em frequéncia deste filtro pode ser esbocada como: H(@) & 1 _/ PP 1 2 3. @(rd/s) Filtro Passa-Faixa de 2*Ordem Considere o circuito RLC abaixo: L C o—(YY\+ of R v0 Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior, H(s) para este circuito, sera: —_ Y(s) _ H(s) = ¥43 = Y(s) 98 Considerando-se novamente as impedancias em R, L, e C, como ZrR=R, Zp =SL,e Zo = 1/SC, teremos: 4Zo+4Z,T4ZR aetSL+R S2L4+SR+4 Esta expressao apos algum algebrismo conduz a: _ S.R/L Ws) = serstee Que aa expressao de um filtro Passa-Faixa de 2%® Ordem, po- dendo ser escrita como: __ S.2EWe H(s) a s*+2&wes+w? Onde: we = 1/VLC, 2w. = R/L, e Q = 1/2 A curva de resposta em frequéncia deste filtro sera dada por H(w) obtida como: Aw) = A(s)|s=juw = |H jw)| Entao: -\ 9 jwR/L ss jw R/L _ V (wR/L)? H(jw) = “wrt jwke ft ~ (2-0?) +juF + H(w) = (4-0) + wey Que se normalizado para R=L=C=1 Ficara: H(w) = YM /(1 — w2) + w? A curva de resposta em frequéncia deste filtro pode ser esbocada como: H() A 1 _/ YE 1 2 3 w(rd/s) 99 Síntese de Filtros Para se poder sintetizar um ltro Passa-Baixas deve-se partir da Resposta em Magnitude Quadrática: A2(ω), e sabendo-se que: A2(ω) = |H(jω)| = H(jω).H∗(jω) = H(s).H(−s)|s=jω deriva-se a função de transferência H(s). Ex: Determine A2(ω) se a função de transferência é: H(s) = s2 + 1 s2 + 4s + 2 Solução: H(−s) = s2 + 1 s2 − 4s + 2) Então: H(s).H(−s) = s2+1 s2+4s+2. s2+1 s2−4s+2) = s4+2s2+1 s4−12s2+4 E nalmente: A2(ω) = H(s).H(−s)|s=jω = ω4−2ω2+1 ω4+12ω2+4 De outra maneira, se a expressão de A2(ω) é conhecida, pode-se obter H(s) substituindo-se (jω)2 = −ω2 = s2. Ex: Determine H(s) se a resposta em magnitude quadrática A2(ω) é: A2(ω) = 16(−ω2 + 1) (ω2 + 4)(ω2 + 9) Solução: H(s).H(−s) = A2(ω)|ω2=−s2 = 16(s2+1) (−s2+4)(−s2+9) Esta expressão possui zeros em: s = ±j, e pólos em: s = ±2,±3. 100 Entao por uma questdao de estabilidade H(s) devera conter ape- nas os polos situados no semi-plano esquerdo do plano s, ou seja: s=—-2,es=-3. Logo: K.(s? +1 H(s) = eS +) (s+ 2)(s+3) Além disto, para se determinar o valor de kK, deve-se ter H(O) = A(O) = 4/V36 = 2/3 Ou seja: A2(0) = 16/36 = 4/9=A(0) = 2/3 Como: H(0) = K/6 =K/6=2/3 =k =4 Finalmente: 4.(s? +1 H(s) = 46st +1) (s+ 2)(s+3) Sintese de FPB de Butterworth A curva de resposta em magnitude de um filtro de Butterwoth é€ dada por: A |Z) = ——— 1+)" Onde: w. é@ a frequéncia de corte, A @ oganho, e k € um inteiro positivo que corresponde a ordem do filtro. Normalizando-se para w. = 1, fica: A |Hn(w)| = = /1 + yk As várias curvas de resposta para alguns valores de k na expressão anterior são mostrados abaixo: Todos os ltros de Butterworth com sua resposta normalizada (ωc = 1 rad/s) terá os pólos da sua função de transferência H(s) sobre uma circunferência de raio unitário no plano s, cando separados de π/k. Na gura abaixo, exemplo de como cam os 6 pólos de H(s) de ordem 3. Quando a função de transferência tem um número ímpar de pó- los, sempre haverá um pólo em s=-1. Além disto, todos os pólos estarão em simetria em relação ao eixo jω. Por questões de esta- bilidade na implementação do ltro somente os pólos localizados no semiplano esquerdo formarão a função de transferência 101 Exemplo: Para um FPB Butterworth de 3® ordem, tem-se k = 3, € a expressao da resposta em frequéncia normalizada sera: 1 Ayw) = = 1+ Entao, partindo-se da resposta em magnitude quadratica: A*(w) = tio para se achar a funcao de transferéncia deste filtro faz-se: w? = —s*, em: H(s).H(—s) = A?(w)|,2=_.2, Obtendo-se: H(s).H(-s) = — S). —Ss) = — — 1 — 86 Cujos polos se localizam em: s = +1,s= 145% ,s= 14 jv, Porém, como explicado antes somente os polos do semi-plano esquerdo estarao em H(s): kK H(s) = —7T___ WT (st1)(s+4—p-S)(s+i4+5¥8) O que resulta em: kK H S a=. CC (s) se +2s5s2+2s+1 Sendo o ganho K calculado de A?(0) = H(0) =>1=K Finalmente: 1 H S a= (s) se +2s5s2+2s+1 102 De forma sistematizada, os polin6mios de Butterwoth normaliza- dos, que constituem o denominador da F.T., podem ser obtidos com a expressdo: Br(s) = P(s). 1G + 2cos(@ny)s +1) _ 1, k = par Sendo: P(s) = : s+1, k=impar com: 2.cos(@) = 2€ = 1/Q Onde: k =Ordem do filtro, 6 =Angulo entreo polo e o eixo real, € =Coeficiénte de amortecimento do filtro. e Se k =Impar = existira uma raiz em @ = O°; e Se k =Par > 6 = +90°/k; @ Os polos estarado sempre separados de a/k. Por exemplo, para k=1, 2, 3 e 4, os polin6émios ficariam: k=1=> Bi(s)=s+1 k=2>kéPars>(2=+°77=477?=48 => Bo(s) = s* + 2cos(r7/4) +1 = 82+ J2s+1 k=3=>k éImpar > 6; = 0, 62.3 =7/3 => B3(s) = (s+ 1)(s? + 2cos(7/3) +1) = (8 +1)(s? +541) k=4 3012 =4+°* =42, 63,547? 47T= 4% => Ba(s) = (s? + 2cos(37/8).s + 1).(s? + 2cos(m/8).s + 1) => Ba(s) = (s? + 0, 7654.s + 1).(s? + 1,8478.s + 1) 103 Na tabela a seguir, estão apresentados os polinômios do de- nominador da FT para os FPBs de Butterwoth normalizados (ωc = 1rad/s) de 1ª a 7ª ordem: k Polinômios do Denominador da F.T. 1 s + 1 2 s2 + 1, 4142s + 1 3 (s + 1)(s2 + s + 1) 4 (s2 + 0, 7654s + 1)(s2 + 1, 8478s + 1) 5 (s + 1)(s2 + 0, 6180s + 1)(s2 + 1, 6180s + 1) 6 (s20, 5176s + 1)(s2 + 1.4142s + 1)(s2 + 1, 9318s + 1) 7 (s + 1)(s2 + 0, 4449s + 1)(s2 + 1, 2465s + 1)(s2 + 1, 8022s + 1) Para que se possa achar a F.T. para uma frequência de corte ωc qualquer, a partir da F.T. normalizada HN(s) deve-se fazer um reescalamento: H(s) = HN( s ωc ) Por exemplo, seja a F.T. de um ltro Passa-Baixas Butterwoth como abaixo: HN(s) = 1 (s2 + 0, 7654s + 1)(s2 + 1, 8478s + 1) Se deseja-se uma frequência de corte de 5rad/s, o reescalamento seria como segue: H(s) = 1 ( s2 25 + 0,7654s 5 + 1)( s2 25 + 1,8478s 5 + 1) = H(s) = 625 (s2 + 3, 827s + 25)(s2 + 9, 239s + 25) O conduzirá a seguinte função de transferência: H(s) = 625 (s4 + 13, 066s3 + 85, 385s2 + 326, 650s + 625) 104 Projeto de Filtros Ativos Filtro Passa-Baixas tipo Butterwoth de 1ªOrdem Para o ltro apresentado o ganho (A) será de: A = 1 + R3 R2 (1) Para se minimizar a tensão de oset, devemos ter: R1 = R2.R3 R2 + R3 (2) E a relação entre a frequência de corte (fC) e R1 será: R1 = 1 2.π.fC.C (3) 105 Isolando R3 em (1), e substituindo em (2), obtém-se: R2 = ( A A − 1).R1 (4) R3 = A.R1 (5) Se: A = 1, R2 = ∞, e R3 = 0 O valor de C deverá ser: C = 10 fc , (em µF ) Procedimento de projeto: 1- Estabelecer o ganho A; 2- Estabelecer a Frequencia de Corte fC; 3- Determinar R1 através da equação (3), sabendo-se que C = 10 fc , (em µF); 4- Determinar R2 através da equação (4); 5- Determinar R3 através da equação (5); 6- Ajustar na prática o ganho A através de R2 ou R3; 7- Ajustar na prática a frequência de corte de −3dB através de R1. 106 Exemplo de projeto de ltro ativo de 1ªOrdem 1) Projetar um ltro Passa-Baixas de 1ªOrdem tipo Butterwoth, com frequência de corte de 10kHz. Solução: 1- Arbitrando um ganho de A = 2; 2- Frequência de corte fc = 10kHz; 3- Com: C = 10 fc = 10 10k = 10−3µF = 1nF Se obtém: R1 = 1 2.π.fc.C = 1 2.π.104.10−9 = 15, 9kΩ 4- Então: R2 = ( A A−1).R1 = ( 2 2−1).15, 9k = 31, 8kΩ 5- Ainda: R3 = 2.R1 = 31, 8kΩ 6,7- Procedimento prático de ajuste do ganho e da frequência de corte. 107 Projetos de Filtros Ativos usando a Estrutura Sallen-Key A estrutura Sallen-Key se deve aos seus idealizadores, os pes- quisadores do Lincon Laboratory do MIT, R.P.Sallen e E.L.Key. A estrutura geral com ganho unitário e conguração inversora é mostrada abaixo: E cuja função de transferência é a seguinte: H(s) = Z3(s).Z4(s) Z1(s).Z2(s) + Z4(s)[Z1(s) + Z2(s)] + Z3(s).Z4(s) Esta estrutura apresenta uma impedância de entrada pratica- mente innita e impedância de saída praticamente zero, po- dendo ser usada para se implementar ltros de 2ª ordem dos tipos Passa-Altas, Passa-Baixas e Passa-Faixa, como será visto a seguir. 108 Filtro Passa-Baixas tipo Buttherwoth de 2ªOrdem Sallen-Key H(s) = ωc2 s2 + ωc Q + ωc2 Para o ltro ser do tipo Butterworth o ganho (A) deverá ser de: A = 1, 586 ⇒ A(dB) = 20.log(1, 586) = 4 Logo: A = 1 + RB RA = 1, 586 ⇒ RB RA = 0, 586 Então, para: RB RA = 0, 586, se pode atribuir os valores práticos: RA = 47kΩ, e RB = 27kΩ, que se obtém uma boa aproximação. 109 E a frequência de corte (fC) será: fc = 1 2.π.√R1.R2.C1.C2 (6) Onde fazendo-se: R1 = R2, e C1 = C2, resulta: fc = 1 2.π.R.C (7) Ex: Projetar um ltro Ativo Passa-Baixas de 2ªOrdem tipo Butterwoth, com frequência de corte de 700Hz. Solução: 1- Arbitrando um capacitor de C = 3, 3nF; 2- Para uma frequência de corte fc = 700Hz obtém-se: R = 1 2.π.fc.C = 1 2.π.700.3,3.10−9 = 68, 9kΩ 110 Filtro Passa-Altas tipo Buttherwoth de 2ªOrdem Sallen-Key H(s) = s2 s2 + ωc Q + ωc2 Mais uma vez, para o ltro ser do tipo Butterworth o ganho (A) deverá ser de: A = 1, 586 E como visto antes: RB RA = 0, 586, com os valores: RA = 47kΩ, e RB = 27kΩ. A frequência de corte (fC) será também idêntica, com R1 = R2 e C1 = C2: fc = 1 2.π.R.C (8) 111 Filtro Passa-Faixa tipo Buttherwoth de 2°Ordem Sallen-Key C R C R 1 3 Vi — Vo R 2 Neste caso a frequéncia de corte (fc) sera dada por: _ i (Ri + R2) Ie = S56 \) R1.R2.R3 (9) Simplificando-se: _ CQ 1 OF fo AoC (20) _ 4) 12 = Oe fo. O.(2Q2 — Ao) 4) _ @Q Ag = T.fo.C (12) 112 Combinando-se as equacdes (10), e (11), obtém-se o ganho na frequéncia central: R3 Ao = ——— 13 0= sR, (13) Tendo como restricdao: Q > ,/Ao/2 EX: Projetar um filtro Ativo Passa-Faixa de 2°Ordem tipo But- terwoth, com frequéncia central de 750Hz, ganho nesta frequén- cia de 1,32, e fator de qualidade de 4,2. Solucao: 1- Arbitrando um capacitor de C=0,01lyF Através da equacao (10): _ Q _ _ Ry —_— 2m. fo.Ao.C —_— 67, 6kQ2 =>Ri —_— 68kQ2 2- E entao, usando a equacao (13): R3 = 2.A0.Ri = 2.1, 32.67.6k = 178kQ => R3z = 180kQ 3- Finalmente, a equacao (11) leva a: _ Q _ _ Ro — 2m. fo.C. (2Q2—Ao) — 2, 6kQ2 > Ro — 2, 7kQ2Q 10n 68k 10n 180k Vi | Vo 2k7 113