Sinais e Sistemas-2023-2

ET64A — Lista de Exercicios 3 Professor: Cristiano Marcos Agulhari 282023 1. Determine uma representacaéo em varidveis de estado, da forma v(t) = Av(t) + Ba(t) y(t) = Cv(t) + Da(t) que represente os sistemas a seguir: 4 @) H8)= ST 3246548 s?+4 () US) = TT 35h 4 bs? pds 41 s () H(s) = 3-33 y3 s?+3s4+2 (d) H(s) = Spdsel 3 2 ©) WO = sae (f) (p + 5p? + 3p + 1)y(t) = (p + 2)x(t) (g) (vp? — Tp? — p + 2)y(t) = (2p* + 3p — 1)2(t) (h) H(s) = 28° + 3s*— 453 +55 —1 s° + 3s4 — 253 — 352 +2s+1 2. Determine uma possivel representagéao em variaveis de estados para o sistema (p* + 3p° + 6p? — 5p + Ly(t) = (p* + 4p* + p? — 2p + 6)a(t), sendo p o operador derivada. 3. Determine uma possivel representacao em varidveis de estados para o sistema (p? + 2p* + 6p® — 4p? + 3p + 7)y(t) = (2p* + 3p° + 5p? — 2p + 4)a(t), sendo p o operador derivada. 4. Determine uma representacaéo em varidveis de estados para o sistema ilustrado na Figura 1. 5. Determine uma representacao em varidveis de estados para o sistema ilustrado na Figura 2. 6. Determine e4*, sendo A= " 7. Determine cos(At), sendo A= " 4 8. Determine e4*, sendo a=[a 1 X(s) stl Y(s) OS 8? +3842 Figura 1: Sistema utilizado no Exercicio 4. X(s) 42 Y(s) (_) s?+5s—1 s+6 Figura 2: Sistema utilizado no Exercicio 5. 9. Determine Al, sendo 1 1 4=[0 4] 10. Determine e“*, sendo 5 —3 A= s - 1 | 11. Determine A”, sendo —3 —-4 A-[2 12. Determine os valores de po(s) € p1(s) que satisfagam a igualdade (sI — A)! = pols) + pi(s)A, sendo 3. ol A= 0 4 | 13. Determine as fungoes escalares po(t) e p1(t) que satisfacam a igualdade e* = po(t)I + pilt)A, sendo 0 1 A= ] | 14. Determine a trajetéria v(t) do sistema . 0 1 1 ww =[", sfe@. 0) = 1] 2 15. Determine a trajetéria v(t) do sistema . 19 8 —l 16. Determine a funcao de transferéncia do sistema . 0 1 1 o(t) = 4 v(t) + | x(t) y(t) = [-1 2] v(¢) 17. Determine a fungao de transferéncia do sistema . 0 1 0 o(t) = " 4 u(t) + |" x(t) y(t) = [2 1] v(t) + [2] x(t) 18. Determine a fungao de transferéncia do sistema . 2 1 1 o(t) = F 4 u(t) + H x(t) y(t) = [0 1] v(¢) 19. Determine a safda y(t) resultante da aplicacao da entrada x(t) = e~tu(t) ao sistema . 0 1 0 1 o(t) = " 4 u(t) + |" x(t) v(0) = a y(t) = [2 1] v(t) + [2] a(t) 20. Determine a saida y(t) do sistema . 0 1 0 o(t) = Pe 4 v(t) + | x(t) y(t) = [1 0] v(t) considerando as condig6es iniciais v(0) = 6 e entrada x(t) = e~‘u(t). 21. Determine a saida y(t) resultante da aplicagdo da entrada x(t) = 2cos(t)u(t) ao sistema . 0 1 1 0 o(t) = 3 4 u(t) + H x(t) v(0) = Hl y(t) = [1 0] v(¢) 22. Determine a saida y(t) do sistema . —5 18 0 v(t) = / "| u(t) + H x(t) y(t) = [1 0] v(t) considerando as condig6es iniciais v(0) = 3 e a entrada x(t) = u(t). 23. Determine a saida y(t) do sistema . 0 1 =|" how y(t) = [1 0] v(¢) considerando as condig6es iniciais v(0) = |): 3 24. Considere o sistema . 30 —28 —8 v(t) = ie “50 u(t) + s) x(t) y(t) = [1 0) v(t) (a) Classifique a estabilidade interna do sistema. (b) Classifique a BIBO-Estabilidade do sistema. 25. Considere o sistema . 2 O 3 o(t) = Fk ‘ u(t) + [*] x(t) ylt) = [2 0] o@) (a) Classifique a estabilidade interna do sistema. (b) Classifique a BIBO-Estabilidade do sistema. 26. Considere o sistema . —7 2 —1 o(t) = = 4 u(t) + 7] x(t) y(t) = [-27 6] v(t) (a) Classifique a estabilidade interna do sistema. (b) Classifique a BIBO-Estabilidade do sistema. 27. Considere o sistema . 0 1 1 o(t) = 3 4 u(t) + H x(t) y(t) = [1 0] v(t) (a) O sistema é internamente estdvel? (b) O sistema é BIBO-Estavel? (c) O sistema é controlavel? (d) O sistema é observavel? 28. Considere o sistema . 0 1 0 o(t) = Pe 4 u(t) + | x(t) y(t) = [1 1) v(t) (a) O sistema é internamente estdvel? (b) O sistema é BIBO-Estavel? (c) O sistema é controlavel? (d) O sistema é observavel? 29. Considere o sistema . 0 1 1 v(t) = F A u(t) + H x(t) y(t) = [2 1] vf) (a) O sistema é internamente estdvel? (b) O sistema é BIBO-Estavel? 4 (c) O sistema é controlavel? (d) O sistema é observavel? 30. Considere o sistema 0 1 O 1 o(t)= }O O- 1 | v(t) + {0} a(t) 0 -—2 -3 1 y(t) = [0 1 1) v(t) (a) O sistema é internamente estdvel? (b) O sistema é BIBO-Estavel? (c) O sistema é controlavel? (d) O sistema é observavel? 31. Considere _. [2 10 6 o(t) = Fi | u(t) + |") x(t) y(t) = [y 2] v(t) (a) Determine os valores de 3 para os quais o sistema é controlavel (b) Determine os valores de 7 para os quais o sistema é observavel 32. Considere o sistema . 1 1 0 v(t) = 6 4 u(t) + 3 x(t) y(t) = [8 1] v(t) + [1] x(t). Para quais valores de @ o sistema é tanto controlavel quanto observavel? 33. Considere o sistema . 0 1 1 v(t) = " 4 u(t) + | x(t) y(t) =[-B 2] v(t) + [1] x(t). Para quais valores de @ o sistema é tanto controlavel quanto observavel? 34. Considere o sistema . 2 0 3 v(t) = Fk ‘ u(t) + 3 x(t) y(t) = [8 1] v(t) + [1] 2(0). (a) Para quais valores de 6 o sistema é controldvel? (b) Para quais valores de { o sistema é observavel? 5 Definicoes e propriedades Equacoes de Estado v(t) = Av(t) + Ba(t) y(t) = Co(t) + Dat), sendo v(t) € R”*?. H(s) =C(sI— A)"'B+D V(s) = (sf — A)~1v(0) + (sI — A) BX(s) Y(s) = C(sI — A)~'v(0) + (C(sI — A)7'B + D)X(s) ctrb(A,B)=|B AB ... A” 'B] C fea obsv(A, C’) = ; leas Transformada de Laplace L{O(t)} =1 L{eu(t)} = — L{u(t)} = = at .: _ b at _ s— a L{e™ sin(bt)u(t)} = (oa L{e™ cos(bt)u(t)} = Goa te t™ 1 laa} = eae 6 Solugoes de alguns exercicios e (1b) 0 1 0 0 0 v(t) = r 5 , Olas H x(t) 2°, -2 5 4 | y(t) = [4 0 1 0] v(t) + [0] x(t) e (1d) a(t) = " | Al v(t) + | x(t) y(t) = [1 —1] v(t) + [1] (2) e (6) At de-t — en 2t ent — ent = oe + 2e77%# —emt + be e (14) ott) = [6 e (19) y(t) = (-Fee + sel + 7") u(t) e (29) (a) Nao (b) Nao (c) Nao (d) Nao 7