Trabalho 1 Resolvido-2023-2

ET64A - Sinais e Sistemas Professor: Cristiano Marcos Agulhari 2s2023 1 Objetivo O principal objetivo deste trabalho consiste na elabora¸c˜ao de um sistema linear e invariante no tempo que realize separa¸c˜ao de dois sinais, utilizando conceitos de filtragem. O procedimento ser´a realizado em ambiente MATLAB ou equivalente, a ser discutido com o professor. 2 Resposta em Frequˆencia Seja H(s) a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema BIBO-est´avel. Neste caso, a sa´ıda `a aplica¸c˜ao de um sinal senoidal x(t) = sin(ω0t), em regime permanente, ´e dada por yRP (t) = |H(jω0)| sin(ω0t + ∠H(jω0)), sendo | · | o m´odulo e ∠ a fase de um n´umero complexo. Em outras palavras, a sa´ıda em regime permanente de um sinal de frequˆencia ω0 ´e um sinal de mesma frequˆencia ω0, por´em com uma mudan¸ca em amplitude (dada por |H(jω0)|) e uma mudan¸ca em fase (dada por ∠H(jω0)). Note que, para cada componente de frequˆencia do sinal de entrada, ´e poss´ıvel saber quais as mudan¸cas em amplitude e em fase que o sistema vai causar, a partir do estudo da fun¸c˜ao H(jω). Tal fun¸c˜ao ´e chamada de Resposta em frequˆencia, e ´e obtida a partir da fun¸c˜ao de transferˆencia H(s), substituindo s → jω. Exemplo 1 A resposta em frequˆencia do sistema H(s) = 1 s2 + 3s + 2 (1) ´e dada por H(jω) = 1 (jω)2 + 3(jω) + 2 = 1 2 − ω2 + j3ω. A sa´ıda em regime permanente do sistema `a entrada x(t) = cos(0.7t) + 3 sin(5.27t) ´e, portanto, dada por yRP (t) = 0.3866 cos(0.7t − 0.9474) + 0.0331 sin(5.27t − 2.5914), pois H(j0.7) = 0.2257 − 0.3139j ⇒ |H(j0.7)| = 0.3866, ∠H(j0.7) = −0.9474, H(j5.27) = −0.0282 − 0.0173j ⇒ |H(j5.27)| = 0.0331, ∠H(j5) = −2.5914. (2) Os gr´aficos das fun¸c˜oes |H(jω)| e ∠H(jω) (isto ´e, do m´odulo e da fase da resposta em frequˆencia) ´e comumente chamado de Diagrama de Bode. A Figura 1 mostra o Diagrama de Bode referente ao Sistema (1). A partir da Figura 1, ´e poss´ıvel obter, de forma aproximada, os valores de m´odulo e fase mostrados em (2). Note, por´em, que a informa¸c˜ao de m´odulo na figura ´e dada na unidade Decibeis (dB). Para realizar a convers˜ao correta, deve-se utilizar a rela¸c˜ao (|H(jω0)|)dB = 20 log10 |H(jω0)| ⇔ |H(jω0)| = 10 (|H(jω0)|)dB 20 . Por exemplo, na frequˆencia ω = 2, tem-se que (|H(j0.7)|)dB = −8.28dB. Portanto, |H(j0.7)| = 10 −8.28 20 = 0.3855, pr´oximo ao valor 0.3866 mostrado em (2). 1 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Magnitude (dB) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/s) System: H Frequency (rad/s): 0.704 Magnitude (dB): -8.28 System: H Frequency (rad/s): 5.27 Magnitude (dB): -29.6 System: H Frequency (rad/s): 0.704 Phase (deg): -54.6 System: H Frequency (rad/s): 5.27 Phase (deg): -148 Figura 1: Diagrama de Bode do Sistema (1). De maneira semelhante, a fase mostrada na Figura 1 ´e dada em graus; para converter em radianos, basta aplicar a rela¸c˜ao (∠H(jω0))rad = 2π 360(∠H(jω0))graus. Da figura, (∠H(j2))graus = −54.6, portanto (∠H(jω0))rad = −0.9529, pr´oximo ao valor −0.9474 mostrado em (2). Quest˜ao 1 • Determine os valores de |H(j5.27)| e ∠H(j5.27), obtidos a partir do Diagrama de Bode da Figura 1, e compare com os valores exatos obtidos em (2). 3 S´ıntese de Filtros Filtros s˜ao sistemas respons´aveis por atenuar ou acentuar componentes espec´ıficas de frequˆencia dos sinais de entrada. Em geral existem quatro classes de filtros: 1. Filtros Passa-Baixas (FPB): S˜ao sistemas cuja resposta em frequˆencia H(jω) ´e idealmente dada como mostrado na Figura 2(a), sendo ωc denominada frequˆencia de corte. Quando um sinal ´e aplicado a este tipo de sistema, todas as componentes de frequˆencia menores que ωc s˜ao mantidas sem nenhum ganho ou atenua¸c˜ao (caso a magnitude da resposta em frequˆencia seja igual a 1 para ω < ωc), e as componentes de frequˆencia maiores que ωc s˜ao completamente eliminadas. Em outras palavras, apenas baixas frequˆencias “passam” pelo filtro. 2. Filtros Passa-Altas (FPA): S˜ao complementares aos FPB, uma vez que mantˆem apenas as componentes de alta frequˆencia, isto ´e, de frequˆencia ω > ωc, conforme ilustrado na Figura 2(b). 3. Filtros Passa-Faixas (FPF): Tais filtros conservam apenas as componentes de frequˆencia na faixa determinada por ωc1 < ω < ωc2. A resposta em frequˆencia ´e ilustrada na Figura 2(c). 4. Filtros Rejeita-Faixas (FRF): S˜ao complementares aos FPF, e rejeitam apenas frequˆencias no intervalo ωc1 < ω < ωc2. A resposta em frequˆencia ´e ilustrada na Figura 2(d). No entanto, as respostas em frequˆencia mostradas na Figura 2, que possuem uma queda abrupta (des- continuidade) nas frequˆencias de corte, s˜ao ideais, e infelizmente n˜ao s˜ao implement´aveis na pr´atica. 2 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 -10 0 10 -10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a)F P B HF P B(jω) (b)F P A HF P A(jω) (c)F P F HF P f (jω) (d)F RF HF RB(jω) −ωc −ωc −ωc −ωc ωc ωc ωc ωc −ωc2 −ωc2 −ωc1 −ωc1 ωc1 ωc1 ωc2 ωc2 Figura 2: Respostas em Frequˆencia dos filtros. Quest˜ao 2 • Justifique porque os filtros da Figura 2 n˜ao s˜ao implement´aveis. N˜ao ser˜ao aceitas respostas circulares, por exemplo, “N˜ao s˜ao implement´aveis porque s˜ao ideais”. Dica: Calcule a resposta ao impulso do Filtro Passa-Baixas, por exemplo, e classifique o sistema resultante em termos de causalidade. Em situa¸c˜oes pr´aticas, s˜ao utilizados filtros com resposta em frequˆencia mais suaves. A Figura 3 ilustra a resposta em frequˆencia de um filtro passa-baixas, com frequˆencia de corte ωc = 10 rad/s, tanto em escala linear quanto em escala logar´ıtmica (como representado em um diagrama de Bode). Existem diversas t´ecnicas para determinar fun¸c˜oes de transferˆencia que implementem os filtros desejados. As metodologias mais comuns s˜ao os filtros de Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2. 3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 ω (Escala linear) |HF P B(jω)| ω (Escala logar´ıtmica) |HF P B(jω)|dB Figura 3: Resposta em frequˆencia reais de um FPB com frequˆencia de corte ωc = 10. 4 3.1 Filtros de Butterworth A resposta em frequéncia de um filtro passa-baixas de Butterworth de ordem m € Z satisfaz . 1 |H (jw) |? = ———_.. Ww i+(2) We As principais propriedades deste tipo de filtro sao: e O ganho DC é 1, e o ganho tende a 0 para w — +00; e Na frequéncia w = w, o ganho é 1/,/2 do ganho DC; e A resposta em frequéncia é suave tanto na faixa de passagem (isto é, para w < w,) quanto na faixa de rejeigado (isto é, para w > w); e Quanto maior a ordem m do filtro, maior é a queda na faixa de rejeigao. O filtro mostrado na Figura 3 corresponde a um filtro de Butterworth. E possivel aplicar transformacoes em frequéncia para obter FPA, FPF e FRF a partir do FPB [1]. 3.2 Filtros de Chebyshev Tipo 1 Os filtros passa-baixas de Chebyshev Tipo 1 de ordem m € Z possuem resposta em frequéncia dada por 1 H(jw)|? = ———— NGe)P = a sendo € um escalar pertencente ao intervalo (0, 1] e ¢(3) o polindmio real de ordem m denominado polinémio de Chebyshev, obtido pela relacao Cm+1(8) = 28¢m(B) — Gm—1(8), co(8) = 1, 1(8) = 8. A principal caracteristica do filtro de Chebyshev Tipo 1 é6 que, para um valor fixo para a ordem m, a transicao entre a faixa de passagem e a faixa de rejeicao é a mais abrupta possivel. Em contrapartida, a resposta em frequéncia do filtro na faixa de passagem apresenta oscilagdes, que podem distorcer o sinal filtrado. 3.3 Filtros de Chebyshev Tipo 2 Os filtros passa-baixas de Chebyshev Tipo 2 de ordem m € Z, por outro lado, apresentam resposta em frequéncia . 1 |H(joo)|? = ———;—. 1+>3,———- 7 (w/w) De maneira semelhante ao Tipo 1, o filtro de Chebyshev Tipo 2 apresenta a mais abrupta transicao possivel entre a faixa de passagem e a faixa de rejeicao, porém a oscilacaéo ocorre na faixa de rejeigao. A Figura 4 apresenta a resposta em frequéncia dos filtros Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2 de mesma ordem m = 5. 4 Modulagao AM A modulagéo em amplitude (Amplitude Modulation) é um procedimento comumente utilizado para trans- mitir diferentes sinais de Audio utilizando um mesmo meio. Suponha que se deseje efetuar a modulacao AM de um sinal g;(t). Para tanto, o sinal modulado ¢,,(t) é gerado a partir da expressao g(t) = gi(t) cos(wyt), sendo w; uma frequéncia fixa denominada frequéncia de portadora. A Figura 5 ilustra o sinal modulado e seu espectro em frequéncia ®1(w). 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 butter cheby1 cheby2 ω |H(jω)| Figura 4: Respostas em frequˆencia dos filtros Butterworth, Chebyshev Tipo 1 e Chebyshev Tipo 2, de ordem m = 5. 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t g1(t) ω |G1(jω)| t φg1(t) ω |Φ1(ω)| Figura 5: Ilustra¸c˜ao da modula¸c˜ao AM Considere agora que se deseje enviar dois sinais diferentes g1(t) e g2(t) utilizando o mesmo meio de transmiss˜ao. Para isso, pode-se realizar a modula¸c˜ao AM utilizando, para cada sinal, diferentes frequˆencias de portadora. Considerando ω1 e ω2 as frequˆencias usadas para modular, respectivamente, g1(t) e g2(t), 6 cada sinal modulado ´e computado como φg1(t) = g1(t) cos(ω1t), φg2(t) = g2(t) cos(ω2t), e ´e transmitida a soma y(t) = φg1(t) + φg2(t). A Figura 6 ilustra tal procedimento em frequˆencia. |G1(ω)| |G2(ω)| ω ω ω ω ω |Φ1(jω)| |Φ2(jω)| |Φ1(jω) + Φ2(jω)| −ω1 −ω1 ω1 ω1 −ω2 −ω2 ω2 ω2 × cos(ω1t) × cos(ω2t) Soma Figura 6: Esquema do procedimento de modula¸c˜ao AM de dois sinais distintos. 5 Demodula¸c˜ao AM O procedimento de demodula¸c˜ao AM consiste em receber o sinal y(t), composto de diferentes sinais modu- lados, e recuperar o sinal desejado. Por exemplo, supondo que se deseje recuperar o sinal g1(t), modulado utilizando a frequˆencia ω1, deve-se seguir os seguintes passos: 1. Calcular ˜y(t) = y(t) cos(ω1t); 2. Aplicar um Filtro Passa-Baixas (FPB) em ˜y(t). A sa´ıda do filtro ser´a dada por g1(t). Quest˜ao 3 • Comente porque os dois passos descritos anteriormente resultam na recupera¸c˜ao de g1(t). Dica: Considerando o espectro em frequˆencia de y(t) mostrado na Figura 6, esboce o espectro de ˜y(t) e o resultado da aplica¸c˜ao do FPB. Parte Pr´atica: Recupera¸c˜ao de sinais O arquivo sinalrecebido.mat, dispon´ıvel no Moodle da disciplina, cont´em um sinal composto por dois sinais de ´audio modulados: Um sinal g1(t) modulado na frequˆencia ω1 = 120000 rad/s, e um sinal g2(t) modulado na frequˆencia ω2 = 580000 rad/s. O objetivo da parte pr´atica deste trabalho ´e projetar um sistema de demodula¸c˜ao, seguindo os passos mostrados na Se¸c˜ao 5, apara recuperar dois sinais com ´audios reconhec´ıveis. Programe uma rotina que fa¸ca a s´ıntese do filtro, aplique o procedimento de demodula¸c˜ao e, por fim, toque os ´audios em seu computador. Para tanto, considere que as informa¸c˜oes aud´ıveis dos sinais g1(t) e g2(t), antes da modula¸c˜ao, est˜ao contidas na faixa de frequˆencias ω < 2π2000 rad/s. A seguir, ser˜ao apresentados alguns comandos, na ferramenta MATLAB®, que podem ajudar neste trabalho. Abrir um arquivo Para abrir um arquivo, por exemplo sinalrecebido.mat, basta entrar com o comando load sinalrecebido.mat 7 As vari´aveis que foram gravadas neste arquivo ser˜ao carregadas no workspace do MATLAB. Por exemplo, no arquivo utilizado para este trabalho, duas vari´aveis s˜ao carregadas: sig, que cont´em o ´audio, e Fs, que corresponde `a frequˆencia de amostragem (em Hz) utilizada para digitalizar o ´audio. Tocar um sinal de ´audio O conte´udo do sinal de ´audio pode ser ouvido utilizando o comando soundsc(sig,Fs) sendo sig o sinal e Fs a frequˆencia de amostragem utilizada no armazenamento. Visualizar um sinal Para visualizar um sinal qualquer, basta utilizar o comando plot, da forma plot(sig) Por padr˜ao, a abscissa do gr´afico conter´a os ´ındices inteiros do vetor (´ındice 1, ´ındice 2, etc). Caso se conhe¸ca o vetor de tempo t, pode-se utilizar o comando plot(t,sig) para que a abscissa contenha a informa¸c˜ao temporal. No sinal considerado no trabalho, ´e poss´ıvel obter tal gr´afico utilizando a seguinte sequˆencia de comandos: tam = length(sig); %Numero de amostras do sinal Ts = 1/Fs; %Intervalo de tempo entre duas amostras t = 0:Ts:(tam-1)*Ts; %Construcao do vetor de tempo plot(t,sig); Produto entre sinais Como, no MATLAB, a opera¸c˜ao de produto ∗ ´e vetorial, o produto entre os sinais sig e cos(100*t) deve ser realizado utilizando o operador .* da forma sig.*cos(100*t); S´ıntese de filtros A s´ıntese de filtros utilizando a plataforma MATLAB pode ser realizada utilizando comandos apropriados. Para sintetizar um filtro de Butterworth, utilize o comando [num,den] = butter(m,wc,'s') Os argumentos de entrada s˜ao a ordem m do filtro desejado (vari´avel m) e a frequˆencia de corte ωc (vari´avel wc). O terceiro parˆametro, 's', ´e utilizado para especificar que o filtro sintetizado ´e de tempo cont´ınuo (para sintetizar filtros discretos, basta n˜ao colocar o terceiro argumento). As vari´aveis de sa´ıda s˜ao o numerador (num) e o denominador (den) da fun¸c˜ao de transferˆencia resultante. Para sintetizar um filtro de Chebyshev Tipo 1, basta utilizar a sintaxe [num,den] = cheby1(m,rp,wc,'s') A sintaxe ´e similar ao comando butter, com a inclus˜ao do parˆametro rp, que indica a magnitude da oscila¸c˜ao (em dB) que a resposta em frequˆencia do filtro apresentar´a na faixa de passagem. De maneira similar, o comando [num,den] = cheby2(m,rr,wc,'s') 8 gera um filtro de Chebyshev Tipo 2, sendo o parˆametro rr referente `a atenua¸c˜ao apresentada na faixa de rejei¸c˜ao. Defini¸c˜ao e visualiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia Dados os vetores num referentes ao numerador e den ao denominador, a fun¸c˜ao de transferˆencia pode ser obtida pelo comando H = tf(num,den) Por exemplo, a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) = s2 + 2s + 3 4s3 + 5s2 + 6s + 7 ´e definida pelo comando H = tf([1 2 3],[4 5 6 7]) Aplica¸c˜ao de um sinal a um sistema Para obter a sa´ıda y(t) resultante da aplica¸c˜ao de um sinal x(t) a um sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia H(s), basta utilizar o comando y = lsim(H,x,t) sendo H a fun¸c˜ao de transferˆencia definida pelo comando tf(), x o sinal no tempo e t o vetor de tempo. Entrega do Trabalho O trabalho dever´a ser entregue at´e o dia 15/12, pelo Moodle. A entrega dever´a ser um arquivo em formato .pdf, e deve relatar: • As respostas das Quest˜oes 1, 2 e 3; • O c´odigo usado para desenvolver o trabalho; • O diagrama de Bode do filtro utilizado para a demodula¸c˜ao; • Uma breve descri¸c˜ao dos ´audios ouvidos. Referˆencias [1] B. P. Lathi. Sinais e Sistemas Lineares. Bookman, 2nd edition, 2007. 9 Sumário 1. Introdução.............................................................................................................. 2 2. Desenvolvimento Teórico ..................................................................................... 3 2.1. Resposta em Frequência .................................................................................... 3 2.2. Filtros ................................................................................................................. 5 2.3. Filtro Butterworth .............................................................................................. 6 2.4. Filtro Chebyshev................................................................................................ 8 2.5. Modulação e Demodulação ............................................................................... 8 3. Exercícios .............................................................................................................. 9 3.1. Questão 1 ........................................................................................................... 9 3.1.1. Resposta .......................................................................................................... 10 3.2. Questão 2 ......................................................................................................... 12 3.2.1. Resposta .......................................................................................................... 12 3.3. Questão 3 ......................................................................................................... 13 3.3.1. Resposta .......................................................................................................... 14 4. Parte Prática......................................................................................................... 15 5. Conclusão ............................................................................................................ 21 6. Anexos ................................................................................................................. 22 1. Introdução O estudo de sistemas lineares invariantes no tempo e as técnicas de análise em frequência são de grande importância pois ajudam a implementar técnicas como modulação e demodulação de sinais. Tais técnicas permitem a transmissão e recepção de sinais a longas distancias e também são importantes meios de unir sinais de tal forma que possam ser separados posteriormente. Para separar sinais de forma eficiente a técnica utilizada é a filtragem onde o filtro escolhido depende completamente das especificações do projeto. Com relação a faixa de passagem, existem 4 tipos principais de filtros, passa-baixas, passa-altas, passa-faixas e rejeita-faixas. Quanto ao tipo de filtro existem dois principais, os filtros de resposta infinita no tempo (IIR), que podem ser implementados fisicamente e os filtros de resposta finita no tempo (FIR), que só podem ser implementados computacionalmente. Neste trabalho serão abordados apenas filtros IIR. Neste relatório serão abordadas técnicas de filtragem para separação de dois sinais temporais. O estudo será feito utilizando a ferramenta computacional MATLAB e serão apresentados os resultados e as interpretações dos devidos resultados. 2. Desenvolvimento Teórico 2.1. Resposta em Frequência A representação dos sinais temporais em relação ao tempo pode apresentar diversas informações importantes como valor máximo do sinal, tempo de pico, período do sinal, entre outras. Mas a análise da soma de sinais com diferentes frequências se torna complicada pois os sinais se misturam de tal forma a ser difícil identificar padrões. 1- Representação temporal de soma de sinais Para contornar tal problema, o físico e matemático Fourier ao estudar a transferência de calor em determinados materiais, desenvolveu uma ferramenta matemática importantíssima para o estudo de sinais em geral. Fourier desenvolveu um método de representar sinais a partir da soma de senos e cossenos e com isso, se tornou possível a representação de sinais a partir de seus valores de frequência. As séries e transformadas de Fourier auxiliaram na compreensão de tais sinais apresentando assim maneiras de analisar sinais a partir de suas componentes em frequência: 2- Amplitude e fase do sinal em relação a frequência. Como pode ser visto no exemplo supracitado, é possível notar as componentes do sinal 𝑥1 e do sinal 𝑥2 de forma separada, identificando que um sinal possui frequência 0,3Hz, amplitude 7 e fase 60° e o outro sinal possui frequência 0,5Hz, amplitude 10 e fase 45°. O diagrama de bode do sistema apresenta a amplitude do sinal em decibéis e as frequências são apresentadas de forma logarítmica, desta forma, o diagrama de bode do sinal apresentado anteriormente pode ser visto a seguir. Um outro matemático importante para o estudo dos sinais temporais foi Laplace, onde seu método amplia as possibilidades do método de Fourier. A transformada de Laplace leva em consideração não só a frequência, mas também o valor direto do sinal. Laplace utiliza da variável 𝑠 = 𝑎 + 𝑗𝜔 enquanto Fourier utiliza apenas o 𝑠 = 𝑗𝜔. Para sinais onde se deseja realizar a análise apenas das componentes de frequência a resposta em frequência por Fourier apresenta todos os dados desejados. A partir de uma função de transferência em Laplace, pode-se obter sua forma em relação a frequência utilizando da igualdade 𝑠 = 𝑗𝜔. Desta forma toda a análise do circuito será feita no domínio da frequência. 2.2. Filtros Diferentes áreas da ciência utilizam-se de filtros para separar sinais de acordo com as faixas de frequência. Sinais de áudio podem ser separados em graves, médios e agudos, imagens podem ter as componentes de cada cor separadas, sinais mensagem podem ser separados do sinal de modulação. Para filtrar os sinais, existem quatro tipos básicos de filtro. O filtro passa baixas atenua as componentes do sinal cuja frequência é maior que um valor específico. O filtro passa altas atenua as componentes do sinal cuja frequência é menor que um valor específico. O filtro passa faixas atenua as componentes do sinal cujo as frequências estejam fora de um intervalo de frequências conhecido. O filtro rejeita faixas atenua as componentes do sinal cujo as frequências estejam dentro de um intervalo de frequências conhecido. 3- Filtros Passa baixas, Passa Altas, Passa Faixa e Rejeita Faixa 2.3. Filtro Butterworth Para os quatro tipos de filtros e suas respectivas respostas em frequência, existem padrões de aproximações que traduz a forma mais ideal possível de representa-los de maneira a atender as expectativas do projetista. Essas formas são denominadas funções matemáticas que determinam as equações de transferência de um filtro. E são elas: aproximação de Butterworth, aproximação de Chebyshev, aproximação Elíptica ou de Cauer e aproximação de Bessel, entre outras. A aproximação de Butterworth é cognominada de aproximação maximamente plana. É considerada o modelo matemático que admite atenuação quase zero na banda de passagem onde se localiza o ripple. A resposta para este tipo de aproximação, em relação ao grau de nivelamento do filtro projetado, depende exclusivamente de sua ordem n, ou seja, à medida que n aumenta mais ideal se apresenta a resposta de frequência do mesmo. Além do mais, sua taxa de decaimento, medida em dB (decibéis) por década, é igual a 20n dB/década A partir da função de transferência é possível encontrar as fórmulas para obtenção da ordem do filtro e da frequência central de trabalho. [𝐻(𝑗ω)]2 = 1 1 + ( ω 𝑗ω𝑐) 2𝑚 Considerando que a atenuação máxima da banda de passagem ocorre na frequencia de corte da banda de passagem, temos que: 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 = 1 1 + (ω𝑝 𝑗ω𝑐) 2𝑚 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 = 1 + (ω𝑝 𝑗ω𝑐 ) 2𝑚 ( ω𝑝 𝑗ω𝑐 ) 2𝑚 = 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1 ω𝑝 𝑗ω𝑐 = ( 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1) 1 2𝑚 ω𝑐 = ω𝑝 ( 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1) − 1 2𝑚 De forma análoga, pode ser feito o cálculo utilizando a atenuação mínima da banda de rejeição na frequência de corte da banda de rejeição. 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 = 1 1 + ( ω𝑠 𝑗ω𝑐) 2𝑚 ω𝑐 = ω𝑠 ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 − 1) − 1 2𝑚 Ao utilizar a equação para o cálculo da frequência de corte utilizando como parâmetro a frequência da faixa de passagem, garantimos que a atenuação na faixa de passagem será exatamente a especificada e a atenuação na faixa de rejeição será determinada a partir da ordem escolhida para o filtro. Para o calculo da ordem do filtro, basta igualar as duas equações encontradas até então: ω𝑝 ( 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1) − 1 2𝑚 = ω𝑠 ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 − 1) − 1 2𝑚 ω𝑝 ω𝑠 = ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 − 1 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1 ) − 1 2𝑚 − 1 2𝑚 = log ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛2−1 1 𝐴𝑚𝑎𝑥2−1 ) (ω𝑝 ω𝑠 ) 1 2𝑚 = log (ω𝑠 ω𝑝) 𝑙𝑜𝑔 ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 − 1 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1 ) 𝑚 = 𝑙𝑜𝑔 ( 1 𝐴𝑚𝑖𝑛 2 − 1 1 𝐴𝑚𝑎𝑥 2 − 1 ) 2 log (ω𝑠 ω𝑝) 2.4. Filtro Chebyshev O filtro de Chebyshev possui oscilações na mudança da faixa de passagem para a faixa de rejeição, porém sua resposta é mais rápida e abrupta que o filtro de Butterworth. Existem dois tipos, o tipo 1 possui oscilações na banda passante sem oscilações na banda de rejeição, o tipo 2 possui oscilações na banda de rejeição, mas não possui na banda passante. Para o tipo 1, também chamado de Chebyshev direto, a função de transferência é dada por: |𝐻(𝑗𝜔)|2 = 1 1 + 𝜖2𝑐𝑚 2 ( 𝜔 𝜔𝑐) Para o tipo 2, também chamado de Chebyshev inverso, a função de transferência é dada por: |𝐻(𝑗𝜔)|2 = 1 1 + 1 𝜖2𝑐𝑚 2 (𝜔𝑐 𝜔 ) 2.5. Modulação e Demodulação Para envio de informação por diferentes meios, é necessário que o sinal onde está a informação possua certas propriedades. Quanto menor a frequência de um sinal, maior a perda de energia ao se propagar em um meio e desta forma se torna mais difícil de transmitir por longas distancias, isso pode ser observado em áudio, onde sons graves necessitam de muita potência para percorrer uma distancia considerável no espaço, já sons agudos com pouca energia são ouvidos a distancias mais longas. Desta forma, um método de enviar sinais por longas distancias é transladar o sinal para uma alta frequência e na recepção transladar de volta para a frequência original. A técnica em que se translada o sinal para uma alta frequência é chamada de modulação e pode ser realizada multiplicando o sinal por um cosseno na alta frequência desejada. Como a alta frequência pode ser escolhida arbitrariamente, é possível transmitir diferentes sinais todos juntos alterando apenas a frequência de modulação de cada um. Esta é chamada de modulação por amplitude (AM). É desta forma que são enviados os sinais de rádio pelo ar e o receptor só precisa definir qual frequência central que ele deseja demodular para assim escutar a rádio desejada. O espectro de frequências possui uma divisão padrão para garantir que só sejam transmitidos os sinais corretos para cada faixa. 4- Faixas de frequência e seus respectivos usos 3. Exercícios 3.1. Questão 1 Determine os valores de |𝐻(𝑗5.27)| e ∠𝐻(𝑗5.27), obtidos a partir do Diagrama de Bode da Figura 5, e compare com os valores exatos obtidos em (2). 5- Diagrama de Bode da questão 1 𝐻(𝑗5.27) = −0.0282 − 0.0173𝑗 → |𝐻(𝑗5.27)| = 0.0331, ∠𝐻(𝑗5.27) = −2.5914 (2) 3.1.1. Resposta Para a frequência 𝜔 = 5,27 𝑟𝑎𝑑/𝑠 o módulo em decibéis é dado por -29,6dB. Para obter o ganho em V/V, temos: (|𝐻(𝑗𝜔0)|)𝑑𝐵 = 20 log(|𝐻(𝑗𝜔0)|) |𝐻(𝑗𝜔0)| = 10 (|𝐻(𝑗𝜔0)|)𝑑𝐵 20 |𝐻(𝑗𝜔0)| = 10 −29,6 20 |𝐻(𝑗𝜔0)| = 0,03311 Valor este idêntico ao apresentado em (2). A fase encontrada no gráfico é −148°, este valor pode ser dado em radianos como: (∠𝐻(𝑗𝜔0))𝑟𝑎𝑑 = (∠𝐻(𝑗𝜔0))𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 ∙ 𝜋 180 (∠𝐻(𝑗𝜔0))𝑟𝑎𝑑 = −148 ∙ 𝜋 180 (∠𝐻(𝑗𝜔0))𝑟𝑎𝑑 = −2,583 𝑟𝑎𝑑 O valor encontrado é bastante próximo ao encontrado em (2), o valor em (2) é -2,5914 que em graus seria: (−2,5914 𝑟𝑎𝑑)𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 = −2,5914 ∙ 180 𝜋 = −148,476° O erro encontrado é um erro de arredondamento. Para se obter os valores reais é possível partir da função em Laplace para seu equivalente na frequência por Fourier e assim determinar o módulo e a fase, como pode ser visto a seguir: 𝐻(𝑠) = 1 𝑠2 + 3𝑠 + 2 𝐻(𝑗𝜔) = 1 (𝑗𝜔)2 + 3(𝑗𝜔) + 2 𝐻(𝑗𝜔) = 1 2 − 𝜔2 + 𝑗3𝜔 Multiplicando pelo conjugado, para que o denominador seja um valor Real: 𝐻(𝑗𝜔) = 1 2 − 𝜔2 + 𝑗3𝜔 ∙ 2 − 𝜔2 − 𝑗3𝜔 2 − 𝜔2 − 𝑗3𝜔 𝐻(𝑗𝜔) = 2 − 𝜔2 − 𝑗3𝜔 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2 𝐻(𝑗𝜔) = ( 2 − 𝜔2 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2) − 𝑗 ( 3𝜔 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2) O módulo é dado por: |𝐻(𝑗𝜔)| = √( 2 − 𝜔2 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2) 2 + ( 3𝜔 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2) 2 |𝐻(𝑗𝜔)| = √(2 − 𝜔2)2 + (3𝜔)2 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2 |𝐻(𝑗𝜔)| = √(2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2 (2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2 |𝐻(𝑗𝜔)| = 1 √(2 − 𝜔2)2 + 9𝜔2 |𝐻(𝑗𝜔)| = 1 √𝜔4 + 5𝜔2 + 4 |𝐻(𝑗𝜔)| = 1 √(𝜔2 + 4)(𝜔2 + 1) A fase é dada por: ∠𝐻(𝑗𝜔) = −𝑡𝑔−1 ( 3𝜔 2 − 𝜔2) Desta forma, temos que: |𝐻(5,27)| = 1 √(5,272 + 4)(5,272 + 1) ∠𝐻(𝑗𝜔) = −𝑡𝑔−1 ( 3 ∙ 5,27 2 − 5,272) |𝐻(5,27)| = 0,0331 ∠𝐻(𝑗𝜔) = 148,47° = 2,5914 𝑟𝑎𝑑 3.2. Questão 2 Justifique porque os filtros da Figura 6 não são implementáveis. Não serão aceitas respostas circulares, por exemplo, “Não são implementáveis porque são ideais”. Dica: Calcule a resposta ao impulso do Filtro Passa-Baixas, por exemplo, e classifique o sistema resultante em termos de causalidade. 6- Resposta em frequência dos filtros 3.2.1. Resposta Os filtros supracitados são representados por janelas, tais janelas possuem uma variação que tende a infinito na borda entre a passagem e a rejeição, esta variação leva a uma resposta temporal infinita como pode ser visto a seguir: 𝐻(𝑗𝜔) = {1, |𝜔| < 𝜔𝑐 0, |𝜔| > 𝜔𝑐 𝐻(𝑗𝜔) = 𝑢(𝜔 + 𝜔𝑐) − 𝑢(𝜔 − 𝜔𝑐) A transformada do sinal porta é dado por: ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑡) 𝜋𝑡 Como é possível observar, o filtro possui resposta ao impulso infinita e por conta disso ele não é absolutamente somável. Para que o filtro possa ser implementado é necessário utilizar de técnicas de aproximação para que assim a mudança da banda de passagem para a banda de rejeição não ocorra de forma abrupta e a resposta ao impulso do sistema possa ser absolutamente somável. 3.3. Questão 3 𝜙𝑔1(𝑡) = 𝑔1(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡), 𝜙𝑔2(𝑡) = 𝑔2(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡), 𝑦(𝑡) = 𝜙𝑔1(𝑡) + 𝜙𝑔2(𝑡) 7- Espectro da magnitude dos sinais mensagem, dos sinais modulados e da soma dos sinais 1. Calcular 𝑦̃(𝑡) = 𝑦(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡); 2. Aplicar um Filtro Passa-Baixas (FPB) em 𝑦̃(𝑡). A saída do filtro será dada por 𝑔1(𝑡). Comente porque os dois passos descritos anteriormente resultam na recuperação de 𝑔1(𝑡). Dica: Considerando o espectro em frequência de 𝑦(𝑡) mostrado na Figura 7, esboce o espectro de 𝑦̃(𝑡) e o resultado da aplicação do FPB. 3.3.1. Resposta A multiplicação por um cosseno com frequência 𝜔𝑐 no tempo, resulta em cópias do sinal deslocadas de 𝜔𝑐 na frequência e módulo dividido por 2. ℱ{𝑓(𝑡) ∙ cos(𝜔𝑐𝑡)} = 𝐹(𝜔 + 𝜔𝑐) 2 + 𝐹(𝜔 − 𝜔𝑐) 2 Desta forma, ao modular o sinal, temos as seguintes saídas: 𝜙𝑔1(𝑡) = 𝑔1(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡), 𝜙𝑔2(𝑡) = 𝑔2(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡) Φ𝑔1(𝑗𝜔) = 𝐺1(𝜔 + 𝜔1) 2 + 𝐺1(𝜔 − 𝜔1) 2 , Φ𝑔2(𝑗𝜔) = 𝐺2(𝜔 + 𝜔2) 2 + 𝐺2(𝜔 − 𝜔2) 2 𝑌(𝑗𝜔) = 𝐺1(𝜔 + 𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 + 𝜔2) 2 + 𝐺1(𝜔 − 𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 − 𝜔2) 2 Com isso, aplicando novamente a modulação com frequência 𝜔1, temos: 𝑌̃(𝑗𝜔) = 𝐺1(𝜔) 2 + 𝐺1(𝜔 + 2𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 + 𝜔1)) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 − 𝜔1)) 2 + 𝐺1(𝜔) 2 + 𝐺1(𝜔 − 2𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 − 𝜔1)) 2 + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 + 𝜔1)) 2 𝑌̃(𝑗𝜔) = 𝐺1(𝜔) + 𝐺1(𝜔 + 2𝜔1) + 𝐺1(𝜔 − 2𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 + 𝜔1)) + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 + 𝜔1)) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 − 𝜔1)) + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 − 𝜔1)) 2 8- Sinal Y(𝜔) e modulado novamente com frequência 𝜔1 formando 𝑌̃(𝜔) É possível notar que para o sinal em questão, como as frequências 𝜔1 e 𝜔2 estão muito próximas, em um determinado ponto as funções se sobrepõe formando assim um efeito conhecido como Aliasing. O sinal de interesse, dado por 𝑔1(𝑡) está completo e centrado na origem sem aliasing, desta forma, basta aplicar um filtro passa baixas com frequência 𝜔1 para eliminar as demais componentes. O sinal final então será: 𝑌̃(𝑗𝜔) = 𝐺1(𝜔) + 𝐺1(𝜔 + 2𝜔1) + 𝐺1(𝜔 − 2𝜔1) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 + 𝜔1)) + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 + 𝜔1)) 2 + 𝐺2(𝜔 + (𝜔2 − 𝜔1)) + 𝐺2(𝜔 − (𝜔2 − 𝜔1)) 2 (𝑌̃(𝑗𝜔)) 𝐹𝑃𝐵 = 𝐺1(𝜔) Desta forma, o sinal no tempo será: (𝑦̃(𝑗𝜔))𝐹𝑃𝐵 = 𝑔1(𝑡) Ao aplicar os passos supracitados, o 𝐺1(𝜔) que tinha sido deslocado em 𝜔1 e −𝜔1, passa a ser deslocado em 𝜔1 e −𝜔1 novamente, desta forma, uma das componentes estará na origem novamente e ao filtrar esta componente resulta no sinal original. 4. Parte Prática Com o auxílio do Matlab, foram carregadas as variáveis do sinal e da frequência de amostragem dos sinais um e dois. Foi gerado o vetor de tempo e foram salvas as constantes referente as frequencias de amostragem do sinal 1, do sinal 2 e a frequência máxima do sinal original. Após isso, é realizada a demodulação dos sinais como pode ser visto a seguir: clear; %Limpa as variáveis clc; %Limpa a janela de comandos close all; %Fecha todos os gráficos load("sinalrecebido.mat"); %Carrega as informações do sinal w1=120000; %Modulação utilizada no sinal 1 w2=580000; %Modulação utilizada no sinal 2 wmax=2*pi*2000; %Frequência máxima dos sinais originais tam = length(sig); %Numero de amostras do sinal Ts = 1/Fs; %Intervalo de tempo entre duas amostras Tmax=(tam-1)*Ts; %Tempo do áudio t = 0:Ts:Tmax; %Construcao do vetor de tempo %Demodulação sinal1=sig.*cos(w1*t); %Demodulação do sinal 1 sinal2=sig.*cos(w2*t); %Demodulação do sinal 2 Após a demodulação dos sinais, é criado o filtro. Para a criação do filtro foi utilizado o modelo Butterworth de ordem 6 e frequência de corte dada pela frequência máxima informada para o áudio, no caso, 2kHz. A filtragem do sinal então é feita utilizando-se do filtro Butterworth encontrado: %Filtro m=6; %Escolhida ordem 6 para o filtro [num,den] = butter(m,wmax,'s');%Filtro Butterworth H=tf(num,den) %Função de transferência do filtro %Diagrama de Bode do filtro figure(1) %Cria uma segunda figura bode(H) %Apresenta o diagrama de bode do filtro grid; %Filtragem s1=lsim(H,sinal1,t); %Aplicação do filtro ao sinal 1 s2=lsim(H,sinal2,t); %Aplicação do filtro ao sinal 2 9- Função de transferência do filtro encontrado 10- Diagrama de bode do filtro Para identificar se o sinal foi demodulado e filtrado corretamente utilizou-se da função soundsc para ouvir os sinais. %Tocar sinal soundsc(sig, Fs) %Toca o sinal sem demodulação nem filtragem pause(Tmax) %Aguarda o tempo do sinal soundsc(s1, Fs) %Toca o sinal 1 pause(Tmax) %Aguarda o tempo do sinal soundsc(s2, Fs) %Toca o sinal 2 O sinal original é irreconhecível, mas após as etapas de demodulação e filtragem é possível ouvir claramente que o sinal 1 é uma fala “Sucesso” e no sinal 2 é um áudio de “Aleluia”. Os sinais foram recuperados corretamente. Para melhor analisar o sinal é possível observar o gráfico temporal, mas também o módulo do espectro de frequências. Inicialmente, os gráficos do sinal original e após a filtragem pode ser visto a seguir: %Gráfico do sinal figure(2) %Cria uma figura subplot(3,1,1) %Define que serão apresentados 3 gráficos plot(t,sig) %Gráfico 1 é o sinal original title("Soma dos sinais modulados"); grid; subplot(3,1,2) %Gráfico 2 de 3 plot(t,s1) %Gráfico do sinal 1 após filtragem title("Sinal 1 demodulado e filtrado"); grid; subplot(3,1,3) %Gráfico 3 de 3 plot(t,s2) %Gráfico do sinal 2 após filtragem title("Sinal 2 demodulado e filtrado"); grid; 11- Áudio original e os sinais 1 e 2 após a demodulação e filtragem A partir do sinal original é praticamente impossível identificar os sinais 1 e 2 apenas observando seu gráfico temporal. Por isso, é necessária uma análise no domínio da frequência, para isso, como não foi informada o valor da amostragem do sinal original onde as frequências de modulação foram 120𝑘𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 580𝑘𝑟𝑎𝑑/𝑠, utilizou-se destes valores para identificar a frequência de amostragem aproximada. O valor encontrado foi 𝜔𝑠𝑖𝑔 = 1240𝑘𝑟𝑎𝑑/𝑠. Para a análise no domínio da frequência se fez uso da função fft que é uma transformada rápida de Fourier, junto a ela foi utilizada a fftshift que desloca o sinal encontrado pela fft que ia de 0 até a frequência de amostragem para ir de menos frequência de amostragem sobre dois a frequência de amostragem sobre dois. 𝑓𝑓𝑡(𝑥) → [0, 𝑓𝑎) 𝑓𝑓𝑡𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡(𝑓𝑓𝑡(𝑥)) → [− 𝑓𝑎 2 , 𝑓𝑎 2 ) O sinal encontrado pela fft possui módulo dado pelo módulo de cada sinal multiplicado pelo número de amostras do sinal, desta forma se fez necessário dividir o módulo pelo número de amostas. O código pode ser visto a seguir: %Representação do módulo do sinal ws=1340000; %Frequencia de amostragem aproximada para %que os sinais estejam em 120krad/s e 580krad/s Sig=abs(fftshift(fft(sig, ws)));%Calcula o módulo da transformada de fourier Sig=Sig/(length(Sig)); %Divide pelo numero de amostras/2 wsig=-ws/2:1:ws/2-1; %Vetor das frequencias para o sinal original S1=abs(fftshift(fft(s1))); %Calcula o modulo da transformada de fourier S1=S1/(length(S1)); %Divide pelo numero de amostras/2 S2=abs(fftshift(fft(s2))); %Calcula o modulo da transformada de fourier S2=S2/(length(S2)); %Divide pelo numero de amostras/2 fs=-Fs/2:1/Tmax:Fs/2; %Vetor das frequencias para os sinais figure(3) %Cria uma terceira figura subplot(3,1,1) %Define que serão apresentados 3 gráficos plot(wsig/1000,Sig) %Plota o módulo do sinal original com w em krad/s xlim([-700 700]) %Limita o eixo x a 700krad/s title("Sinal Original"); xlabel("Frequencia \omega (k rad/s)") ylabel("Amplitude") grid; subplot(3,1,2) %Gráfico 2 de 3 plot(fs,S1) %Plota o módulo do sinal 1 com f em Hz xlim([-2000 2000]) %Limita a 2kHz title("Sinal 1"); xlabel("Frequencia f (Hz)") ylabel("Amplitude") grid; subplot(3,1,3) %Gráfico 3 de 3 plot(fs,S2) %Plota o módulo do sinal 2 com f em Hz xlim([-2000 2000]) %Limita a 2kHz title("Sinal 2"); xlabel("Frequencia f (Hz)") ylabel("Amplitude") grid; 12- Módulo do sinal original, sinal 1 e sinal 2na frequência. É possível notar os dois gráficos separados no sinal original, onde um está centrado em 120krad/s e o outro em 580 krad/s. Como não existe aliasing entre os sinais, ou seja, eles estão bem separados e não estão se somando em nenhuma frequência, é possível recuperar ambos os sinais de forma fácil a partir da demodulação. O módulo das frequências dos sinais recuperados podem ser vistos na imagem sendo possível até identificar as frequências Com maior potência, identificando assim as notas musicais presentes em cada áudio. 5. Conclusão O estudo sobre tecnicas de modulação, demodulação e filtragem foram de extrema importância tendo em visto o número de aplicações em que estes conceitos podem ser empregados. A modulação e a demodulação de sinais oferecem a possibilidade de transmissão e recepção de sinais por meios como o ar ou com uma velocidade alta de transmissão e menor perdas para o meio garantindo assim uma alta eficiencia. O estudo dos filtros, se tornou de grande valia, pois torna possível a recuperação de sinais em meio a ruído ou a outros sinais, também pode ser utilizado para ajustar sinais nas frequências desejadas e editar imagens e vídeos de acordo com os padrões que se deseja. Os resultados obtidos se mostraram satisfatórios, tendo em vista que os sinais foram recuperados corretamente e o filtro projetado conseguiu eliminar as frequências que não eram de interesse. Tal trabalho trouxe ao aluno conhecimentos não só teóricos da análise em frequência, pois ajudou a compreender as técnicas utilizadas para o projeto de modulação e demodulação de sinais, mostrando os problemas enfrentados e soluções a serem adotadas para tais problemas. 6. Anexos Código Completo: clear; %Limpa as variáveis clc; %Limpa a janela de comandos close all; %Fecha todos os gráficos load("sinalrecebido.mat"); %Carrega as informações do sinal w1=120000; %Modulação utilizada no sinal 1 w2=580000; %Modulação utilizada no sinal 2 wmax=2*pi*2000; %Frequência máxima dos sinais originais tam = length(sig); %Numero de amostras do sinal Ts = 1/Fs; %Intervalo de tempo entre duas amostras Tmax=(tam-1)*Ts; %Tempo do áudio t = 0:Ts:Tmax; %Construcao do vetor de tempo %Demodulação sinal1=sig.*cos(w1*t); %Demodulação do sinal 1 sinal2=sig.*cos(w2*t); %Demodulação do sinal 2 %Filtro m=6; %Escolhida ordem 6 para o filtro [num,den] = butter(m,wmax,'s');%Filtro Butterworth H=tf(num,den) %Função de transferência do filtro %Diagrama de Bode do filtro figure(1) %Cria uma segunda figura bode(H) %Apresenta o diagrama de bode do filtro grid; %Filtragem s1=lsim(H,sinal1,t); %Aplicação do filtro ao sinal 1 s2=lsim(H,sinal2,t); %Aplicação do filtro ao sinal 2 %Tocar sinal soundsc(sig, Fs) %Toca o sinal sem demodulação nem filtragem pause(Tmax) %Aguarda o tempo do sinal soundsc(s1, Fs) %Toca o sinal 1 pause(Tmax) %Aguarda o tempo do sinal soundsc(s2, Fs) %Toca o sinal 2 %Gráfico do sinal figure(2) %Cria uma figura subplot(3,1,1) %Define que serão apresentados 3 gráficos plot(t,sig) %Gráfico 1 é o sinal original title("Soma dos sinais modulados"); grid; subplot(3,1,2) %Gráfico 2 de 3 plot(t,s1) %Gráfico do sinal 1 após filtragem title("Sinal 1 demodulado e filtrado"); grid; subplot(3,1,3) %Gráfico 3 de 3 plot(t,s2) %Gráfico do sinal 2 após filtragem title("Sinal 2 demodulado e filtrado"); grid; %Representação do módulo do sinal ws=1340000; %Frequencia de amostragem aproximada para %que os sinais estejam em 120krad/s e 580krad/s Sig=abs(fftshift(fft(sig, ws)));%Calcula o módulo da transformada de fourier Sig=Sig/(length(Sig)); %Divide pelo numero de amostras/2 wsig=-ws/2:1:ws/2-1; %Vetor das frequencias para o sinal original S1=abs(fftshift(fft(s1))); %Calcula o modulo da transformada de fourier S1=S1/(length(S1)); %Divide pelo numero de amostras/2 S2=abs(fftshift(fft(s2))); %Calcula o modulo da transformada de fourier S2=S2/(length(S2)); %Divide pelo numero de amostras/2 fs=-Fs/2:1/Tmax:Fs/2; %Vetor das frequencias para os sinais figure(3) %Cria uma terceira figura subplot(3,1,1) %Define que serão apresentados 3 gráficos plot(wsig/1000,Sig) %Plota o módulo do sinal original com w em krad/s xlim([-700 700]) %Limita o eixo x a 700krad/s title("Sinal Original"); xlabel("Frequencia \omega (k rad/s)") ylabel("Amplitude") grid; subplot(3,1,2) %Gráfico 2 de 3 plot(fs,S1) %Plota o módulo do sinal 1 com f em Hz xlim([-2000 2000]) %Limita a 2kHz title("Sinal 1"); xlabel("Frequencia f (Hz)") ylabel("Amplitude") grid; subplot(3,1,3) %Gráfico 3 de 3 plot(fs,S2) %Plota o módulo do sinal 2 com f em Hz xlim([-2000 2000]) %Limita a 2kHz title("Sinal 2"); xlabel("Frequencia f (Hz)") ylabel("Amplitude") grid; Código para gerar as imagens da fundamentação teórica da análise em frequência: clear; clc; close all; fa=1e1; Tmax=100; t=0:1/fa:Tmax-1/fa; f1=0.5; w1=2*pi*f1; f2=0.3; w2=2*pi*f2; x1=10*cos(w1*t+45*pi/180); x2=7*cos(w2*t+60*pi/180); x3=x1+x2; figure(1) subplot(3,1,1) plot(t,x1) title("x_1 = 10 cos(2\pi\times 0.5 t + 45°)"); xlabel("tempo (s)"); ylabel("Amplitude"); xlim([0 10]); grid; subplot(3,1,2) plot(t,x2) title("x_2 = 7 cos(2\pi\times 0.3 t + 60°)"); xlabel("tempo (s)"); ylabel("Amplitude"); xlim([0 10]); grid; subplot(3,1,3) plot(t,x3) title("x_3 = x_1+x_2"); xlabel("tempo (s)"); ylabel("Amplitude"); xlim([0 10]); grid; f=-fa/2:1/Tmax:fa/2-1/Tmax; X1_T=fftshift(fft(x1)); X1=abs(X1_T); X1_p=phase(X1_T); X2_T=fftshift(fft(x2)); X2=abs(X2_T); X2_p=phase(X2_T); X3_T=fftshift(fft(x3)); X3=abs(X3_T); tol = 1e-10; X3_T(abs(X3_T) < tol) = 0; X3_p = angle(X3_T); figure(2) subplot(2,1,1) plot(f(Tmax*fa/2+1:length(X3)),X3(Tmax*fa/2+1:length(X3))*2/length(X3)) title("|X_3|"); xlabel("frequência (Hz)"); ylabel("Amplitude"); grid; subplot(2,1,2) plot(f(Tmax*fa/2+1:length(X3)),X3_p(Tmax*fa/2+1:length(X3))*180/pi) title("\angle X_3"); xlabel("frequência (Hz)"); ylabel("Fase (°)"); grid; figure(3) subplot(2,1,1) semilogx(f(Tmax*fa/2+1:length(X3)),mag2db(X3(Tmax*fa/2+1:length(X3))*2/length (X3))) title("|X_3|"); xlabel("frequência (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)"); grid; subplot(2,1,2) semilogx(f(Tmax*fa/2+1:length(X3)),X3_p(Tmax*fa/2+1:length(X3))*180/pi) title("\angle X_3"); xlabel("frequência (Hz)"); ylabel("Fase (°)"); grid;