Análise de Vibrações Mecânicas em Sistemas com Dois Graus de Liberdade

VIBRAÇÕES MECÂNICAS INTRODUÇÃO Quando é necessário duas coordenadas generalizadas para descrever o movimento dizemos que ele possui 2 graus de liberdade Por exemplo os sistemas a seguir INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DE MOVIMENTO Considere o sistema com 2 graus de liberdade O diagrama do corpo livre do sistema 5 Aplicando a segunda lei de Newton As duas equações envolvem as coordenadas x1 e x2 por isto podemos dizer que estão acopladas As equações podem ser escrita na forma matricial EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 6 As matrizes são dadas por EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 7 Estas matrizes são quadradas e simétricas portanto O vetor posição e força são representados por EQUAÇÕES DE MOVIMENTO 8 ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO Considerando F1 F2 0 c1 c2 c3 0 no modelo obtido anteriormente temos Admitindo que m1 e m2 tenham movimento harmônico com frequência e ângulo de fases iguais sendo diferente apenas a amplitude a solução é 9 Derivando a solução e substituindo nas equações de movimento Simplificando ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 10 Para encontrar uma solução não trivial o determinante dos coeficientes X1 e X2 deve ser nulo Assim ou ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 11 Com isso é possível determinar as frequências naturais do sistema Note que o sistema com 2 graus de liberdade possui 2 frequências naturais ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 12 Definindo os seguintes valores X11 e X2 1 para ω1 X12 e X2 2 para ω2 e as razões ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 13 Os modos de vibrar correspondentes a ω1 e ω2 são dados por A resposta para cada modo com X11 X12 Φ1 e Φ2 constantes determinadas pelas condições iniciais ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 14 A solução é dada pela sobreposição dos modos como X11 e X12 são constantes podemos fazer c1 c2 1 sem perder generalidade A solução do sistema fica Aplicando as condições iniciais ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 15 chegase nos seguintes resultados que são 4 equações algébricas com 4 incógnitas podendo ser resolvidas como um sistema linear ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 16 A solução deste sistema é dada por Podemos determinar as amplitudes e os ângulos de fase utilizando as equações a seguir ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 17 ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE EM UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 18 EXERCÍCIO 1 Determine as frequências naturais do sistema mostrado na figura ao lado com m1 m m2 2m k1 k k2 2k Determine a resposta do sistema quando k 1000 Nm e m 20 kg e os valores iniciais do deslocamentos da massa m1 e m2 são 1 e 1 respectivamente 21 SISTEMA TORCIONAL A solução de um sistema torcional com vibração livre sem amortecimento se torna similar ao caso anterior sistema linear As equações são as mesmas alterando apenas as variáveis análogas Considere o sitema abaixo 22 Se Mt1 e Mt2 for zero para a condição de vibração livre que é similar ao sistema linear então podemos utilizar os resultados anteriores SISTEMA TORCIONAL 23 ACOPLAMENTO DE COORDENADAS E COORDENADAS PRINCIPAIS Um sistema com n graus de liberdade requer n coordenadas independentes para descrever sua configuração É possível escolher mais de um conjunto de n coordenadas para descrever sua configuração Cada conjunto é chamado de coordenada generalizada A escolha do conjunto de coordenadas generalizadas vai definir o tipo de acoplamento das equações ou seja o grau de dependência entre as equações diferenciais O sistema pode ser acoplado estaticamente elástico ou dinamicamente inercial ou de amortecimento ACOPLAMENTO DE COORDENADAS E COORDENADAS PRINCIPAIS 25 Seja a equação de movimento podemos definir o tipo de acoplamento como segue a Se a matriz massa ou amortecimento não for diagonal o acoplamento é dinâmico b Se a matriz rigidez não for diagonal o acoplamento é estático Pode ocorrer tanto acoplamento estático como dinâmico e também pode ocorrer o não acoplamento do sistema ou seja as matrizes massa rigidez e amortecimento serem diagonais ACOPLAMENTO DE COORDENADAS E COORDENADAS PRINCIPAIS 26 Quanto maior for o grau de acoplamento do sistema mais complexo será para encontrar a solução do mesmo É possível determinar as coordenadas para que o sistema não seja acoplado facilitando a resolução Essas coordenadas são denominadas coordenadas principais A determinação das coordenadas principais muitas vezes exige o conhecimento prévio do comportamento do sistema ACOPLAMENTO DE COORDENADAS E COORDENADAS PRINCIPAIS 27 ANÁLISE DE VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE Seja a equação geral de um sistema com 2 graus de liberdade Considerando que as forças atuantes são harmônicas A solução em regime permanente é dada por 28 Derivando a solução e substituindo na equação de movimento Definindo a impedância mecânica Zrsiω como então ANÁLISE DE VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE 29 onde ANÁLISE DE VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE 30 A equação pode ser resolvida calculando a matriz inversa da impedância ANÁLISE DE VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE 31 SISTEMAS SEMIDEFINIDOS Quando o sistema movese como um todo sem movimento relativo entre as massas considerando vibração livre uma das frequências naturais é nula Classifcase este sistema como semidefinido irrestrito ou degenerado 32 Modelando o sistema e resolvendo as equações de movimento como visto anteriormente é possível encontrar a resposta do sistema As frequências naturais são dadas por SISTEMAS SEMIDEFINIDOS 33 EXERCÍCIO 2 Dois cilindros circulares idênticos de raio r e massa m cada estão ligados por uma mola Determine as frequências naturais de vibração do sistema A Melhor Formação