Prova de Vibrações Mecânicas - Análise de Sistemas e Amortecimento

INSTRUÇÕES Leia todas as questões da avaliação com muita atenção Respostas incompreensíveis e ilegíveis serão descontadas podendo inclusive ser anuladas 1 Um absorvedor de choque do tipo subamortecido é projeto para uma bicicleta de 150kg de massa conforme figura a Quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical devido as saliências a curva de deslocamentotempo segue a curva b Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessários para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 4 s e amplitude x1 tiver de ser reduzida um terço em meio ciclo x15x13 Valor 25 2 Considerando um sistema de dois graus de liberdade conforme desenho esquemático abaixo determine as frequências naturais valor 20 indicando se elas estão em fase ou contra fase valor 10 Dados m1 2 kg m2 3 kg k1 1000 Nm k2 1000 Nm k32000 Nm k42000 Nm 3 Explique qual a diferença entre os dois sistemas representados pelo gráfico em termos do grau de liberdade indicando quais são as implicações em suas frequências naturais e o reflexo no caso de uma vibração forçada em termos d rotação do equipamento valor 15 4 Marque a alternativa correta valor 15 Alguns tipos de balança utilizam em seu funcionamento a relação entre o peso P e a deformação elástica δ que ele provoca em uma mola de constante elástica K ou seja Pk x δ Lei de Hooke Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo a deformação δ não ocorre instantaneamente Existe um movimento transitente que depende de outro parâmetro o nível de amortecimento no mecanismo da balança dado pelo parâmetro adimensional ζ denominado fator de amortecimento O movimento transitente a partir do instante em que a mercadoria é colocada no prato da balança pode ser descrito por 3 equações diferentes e tem comportamentos diferentes conforme o valor de ζ Para 1 δt PK 1 ωdωn e ζωn t sen ωd t φ em que ωn Km ωd ωn 1 ζ² e φ cos1 ζ A figura abaixo exemplifica o gráfico da função quando ζ 01 Para ζ1 δt PK 1 eωn t 1 ωn t cujo gráfico está ilustrado a seguir Para ζ1 δt PK 1 eωn t cosh ωd t ζ ωn senh ωd tωd em que ωd ωn ζ² 1 A figura abaixo exemplifica o gráfico da função quando ζ 2 Com base nessas informações concluise que a balança indica o valor da massa mais rapidamente quando A ζ 0 B ζ 0 C 0 ζ 1 D ζ 1 E ζ 1 Questão 5 Valor 15 Uma das modalidades esportivas mais preferidas entre os jovens é o ciclismo Todos os dias milhares deles utilizam a bicicleta para se locomover ou para se exercitar nas cidades Muitos acidentes acontecem e assim tornase necessário estudála como um sistema mecânico Deste modo considerando este sistema mecânico bicicleta usuário defina e detalhe os modelos matemáticos utilizando parâmetros concentrados massa mola e amortecedor com 3 GL Vibrações 1 m 150 Kg Td 4s wd 2πTd 2π4 05π rads x2 13 x1 Em um ciclo i x3 16 x1 δ ln x1x3 ln 6 1792 ξ 11 2πδ2 0274 Da definição de wd wd wm 1 ξ² wm wd1 ξ² 05π10274² i wm 1633 rads Logo c ξ 2 m wm 0274 2150 1633 c 13438 Nsm Da definição de frequência natural wm Km Km wm2 150 16332 K 4002 Nm 2 Pl K9 K9 Π n Fy Ne 2 Kg m K4 1000Nm 2000Nm m2 3 Kg 66667 Nm m1 2 Kg P este sistema temos que m m1 0 0 m2 k k1k9 k9 k9 k9k4 166667 66667 66667 266667 m 2 0 0 3 i P Logo km1 166667 66667 66667 266667 a11 a12 1 0 0 1 a21 a22 P wm2 3653 rads 7494 x 104 0 667 x 104 167 x 104 x12 x22 0 0827 x 104 167 x 104 x12 x22 0 167 x 104 3327 x 104 1 2 x12 x12 0 x12 2 x22 1 Logo wm2 os blocos estão em fase 3 Sistema 2 apresenta somente 1 gdl logo o sistema possui uma frequência natural e um pico de ressonância Quando excitado em sua frequência natural o sistema apresenta ressonância ou seja a sua maior amplitude Sistema 1 apresenta 2 gdl portanto possui duas frequências naturais e dois picos de ressonância Quando o sistema é excitado na frequência natural 1 o sistema vibra na frequência natural 1 de uma forma específica estando os 2 gdl em fase ou contrafase O mesmo comportamento ocorre quando excitado na frequência natural 2 de tal forma que a forma de vibração é diferente oposta da forma para a frequência natural 1 Para quaisquer frequências de excitação diferentes das frequências naturais temse uma superposição dos componentes de cada uma das frequências naturais 4 Quando o fator de amortecimento é 1 temse um sistema criticamente amortecido ou seja o tempo para a estabilização do sistema é menor e sem oscilações 166667 a11 66667 a21 166667 a12 66667 a22 1 0 66667 a11 266667 a21 66667 a12 266667 a22 0 1 Resolvendo temos que 166667 a11 66667 a21 1 a11 667 x 104 mmN 66667 a11 266667 a21 0 a21 167 x 104 mmN 166667 a12 66667 a22 0 a12 167 x 104 mmN 66667 a12 266667 a22 1 a22 417 x 104 mmN Logo λI D 0 sendo D K1 m λ 0 667 x 104 167 x 104 1 0 0 0 λ2 167 x 104 417 x 104 0 1 0 λ 667 x 104 167 x 104 0 167 x 104 λ 417 x 104 λ 667 x 104λ 417 x 104 167 x 1042 0 λ2 10183 x 104 λ 25 x 107 0 Logo λ1 3336 x 104 wm1 1λ1 5475 rads λ2 7494 x 104 wm2 1λ2 3653 rads Para determinarmos os autovetores Para encontrarmos se o sistema está em fase devemos obter os autovetores P wm1 5475 rads 3336 x 104 167 x 107 667 x 104 167 x 104 x11 x21 0 0 3336 x 104 167 x 104 417 x 104 333 x 104 167 x 104 x11 x21 0 167 x 104 434 x 104 2 1 x11 x21 0 x11 05 1 05 x22 1 2 x11 x22 x11 05 x22 0 Logo para wm1 os blocos estão em contrafase xc mc no qual Kc Cc mB KS Cs mR KR mc massa do ciclista Kc constante de rigidez do ciclista Cc de amortecimento mB massa da bicicleta Ks constante de rigidez da estrutura Cs de amortecimento mR massa roda KR rigidez da roda no qual m mc 0 0 k Kc Kc 0 0 mB 0 Kc Kc2Ks 2Ks 0 0 2mR 0 2Ks 2kcks c Cc Cc 0 Cc Cc2Cs 2Cs 0 2Cs 2Cs Considerando que há uma força harmônica aplicada na roda temse que F 0 0 Fcoswt Mx Cx Kx F no qual x xc x xc x xc