Método dos Deslocamentos e Distribuição de Momentos - Cálculos e Aplicações

Iniciamos a resolução aplicando chapas para restrição dos apoios Dessa forma temos Considerando que as chapas produzem o efeito de um engastamento duplo elas gerarão momentos fletores e estes momentos serão redistribuídos Assim devemos calcular inicialmente o fator de distribuição pois cada vão da viga apresentará um coeficiente de rigidez próprio assim Com base na tabela de Deformação Unitária apresentada a seguir calculamos os coeficientes de rigidez conforme cada um dos nós K1 K2 K3 K4 I 200 I 300 I 300 A B C D Cálculo das rigidezes K1 4EJθ Lab 4E200 25 800 E 25 32 E K2 4EJθ Lbc 4E300 30 1200 E 30 40 E K3 4EJθ Lcb 4E300 30 1200 E 30 40 E K4 4EJθ Lcd 4E300 30 1200 E 30 40 E Agora determinamos o Fator de Distribuição a partir da seguinte expressão FD K Σ K FD1 K1 K1 K2 32 E 32 E 40 E 32 72 044 FD2 K2 K1 K2 40 E 32 E 40 E 40 72 056 FD3 K3 K3 K4 40 E 40 E 40 E 40 80 050 FD3 K4 K3 K4 40 E 40 E 40 E 40 80 050 Calculamos os momentos de engastamento perfeito utilizando a mesma tabela do Método dos Deslocamentos Dessa forma temos Mbesq q Lab² 12 15 25² 12 15 625 12 9375 12 78125 kNm Mbdir q Lbc² 12 2 30² 12 2 900 12 1800 12 15000 kNm Mcesq q Lbc² 12 2 30² 12 2 900 12 1800 12 15000 kNm Mcdir q Lcd² 12 35 30² 12 35 900 12 31500 12 262500 kNm 1 1 Fazemos agora a distribuição dos momentos na viga Fator de Distribuição 044 056 050 050 78125 78125 15000 15000 262500 262500 13888 27775 35350 17675 66294 132588 132588 66294 14585 29169 37125 18563 4641 9282 9282 4641 1021 2042 2600 1300 325 650 650 325 072 143 182 091 023 046 046 023 005 010 013 006 001 003 003 001 000 000 MOMENTOS FINAIS 107696 18986 18986 119934 119931 333784 Diagrama de Momento Fletor K1 K2 K3 K4 I 200 I 300 I 300 A B C D Iniciamos a resolução identificando as deslocabilidades do pórtico Dessa forma temos Propomos então um Sistema Hipergeométrico que impede as deslocabilidades internas 1 e 2 e que restringe a deslocabilidades externa 3 A B C D D1 D2 D3 D3 A B C D D1 D2 D3 D3 1 3 2 Determinamos então o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através da tabela Dessa forma teremos M0 BA 0 M0 BC Pab² Lbc² M0 BC 75 300 300² 600² M0 BC 2025 36 M0 BC 5625 kNm M0 CB 5625 kNm Logo β10 M0 BC β10 5625 kNm β20 M0 CB β20 5625 kNm β30 0 Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela kba 4EI Lba kba 4 2 10 ⁴ 600 kba 8 10 ⁴ 600 kba 133 10 ⁴ kbc 4EI Lbc kbc 4 2 10 ⁴ 600 kbc 8 10 ⁴ 600 kbc 133 10 ⁴ R3 6 EI Lab² R3 6 2 10⁴ 600² R3 12 10⁴ 600² R3 0333 10⁴ kN β11 133 10⁴ 133 10⁴ 267 10⁴ β12 133 10⁴ 2 0667 10⁴ β13 0333 10⁴ kN Rotação Unitária Δ2 1 no SP kcb 4EI Lbc kcb 4 2 10⁴ 600 kcb 8 10⁴ 600 kcb 133 10⁴ kcd 4EI Lbc kcd 4 2 10⁴ 600 kcd 810⁴ 600 kcd 133 10⁴ R3 6 EI Lab² R3 6 2 10⁴ 600² R3 12 10⁴ 600² R3 0333 10⁴ kN β21 133 10⁴ 2 067 10⁴ β22 133 10⁴ 133 10⁴ 267 10⁴ β23 0333 10⁴ kN Deslocamento Unitário 3 Kba 6EI Lab² 6 2 10 ⁴ 600² 0333 10⁹ Kcd 6EI Lcd² 6 2 10 ⁴ 600² 0333 10⁹ R3 12 EI Lab³ 12 EI Lcd³ 12 2 10⁴ 6² 12 2 10⁴ 6² 0222 10⁴ β31 033 10⁹ β32 033 10⁹ β33 022 10⁴ A partir dos coeficientes encontrados montamos a matriz de rigidez 𝟐 𝟔𝟕 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟔𝟕 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟔𝟕 𝟏𝟎𝟒 𝟐 𝟔𝟕 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝚫𝟏 𝚫𝟐 𝚫𝟑 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝟎 Resolvendo o sistema temos Δ1 281 10³ Δ2 281 10³ Δ3 0 Com o coeficiente Δ1 Δ2 e Δ3 podemos determinar quaisquer esforços no sistema original utilizando a fórmula E E0 Ei Δi Dessa forma para a estrutura original temos RHA 0 0333 10⁴ 281 10³ 0 281 10³ 936 kN RVA 3750 0333 10⁴ 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 3750 kN MA 0 0667 10⁴ 281 10³ 0 281 10³ 1874 kN RHD 0 0 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 936 kN RVD 3750 0333 10⁴ 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 3750 kN MD 0 0 281 10³ 0667 10⁴ 281 10³ 1874 kN Diagrama de Momentos Fletores Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores Definimos inicialmente o Sistema Hipergeométrico restringindo as rotações nos Nós B e C além do deslocamento horizontal com a introdução do apoio 3 Dessa forma temos Determinamos então o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através da tabela a seguir 1 3 A B C D 2 Dessa forma teremos M0 BA qL² 8 M0 BA 25 3 ² 8 M0 BA 25 9 8 M0 BA 225 8 M0 BA 2813 kNm M0 BC qL² 12 M0 CB M0 BC 75 5 ² 12 M0 BC 75 25 12 M0 BC 1875 12 M0 BC 15625 kNm M0 CB 15625 kNm R3 25 300 25 300²2 2813 300 R3 4688 Logo β10 M0 BA M0 BC β10 2813 15625 β10 12812 kNm β20 M0 CB β20 15625 kNm β30 4688 kNm Dessa forma temos Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela kba 3EI Lba kba 3 10⁹ 300 kba 10 10⁹ kbc 4EI Lbc kbc 4 10⁹ 500 kbc 08 10⁹ R3 3 10⁹ 300² R3 033 10⁹ β11 10 10⁹ 08 10⁹ 180 10⁹ β12 08 10⁹ 2 040 10⁹ β13 3 10⁹ 300² 033 10⁹ Rotação Unitária Δ2 1 no SP kcb 4EI Lbc kcb 4 10⁹ 500 kcb 08 10⁹ kcd 4EI Lbc kcd 4 10⁹ 200 kcd 20 10⁹ R3 6 10⁹ 200² R3 15 10⁹ β21 08 10⁹ 2 04 10⁹ β22 08 10⁹ 20 10⁹ 28 10⁹ β23 15 10⁹ Deslocamento Unitário 3 Kba 3EI Lab² Kba 3 10⁹ 300² Kba 033 10⁹ Kcd 6EI Lcd² Kcd 6 10⁹ 200² Kcd 150 10⁹ R3 3 10⁹ 300³ 12 10⁹ 200³ R3 011 10⁹ 15 10⁹ R3 161 10⁹ β31 033 10⁹ β32 150 10⁹ β33 161 10⁹ A partir dos coeficientes encontrados montamos a matriz de rigidez 𝟏 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟗 𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝟏 𝟔𝟏 𝟏𝟎𝟗 𝚫𝟏 𝚫𝟐 𝚫𝟑 𝟏𝟐𝟖𝟏𝟐 𝟏𝟓𝟔 𝟐𝟓 𝟒𝟔𝟖𝟖 Resolvendo o sistema temos Δ1 841 10⁸ Δ2 856 10⁸ Δ3 332 10⁸ A partir dos coeficientes Δ1 Δ2 e Δ3 podemos determinar quaisquer esforços no sistema original utilizando a fórmula E E0 Ei Δi Dessa forma temos RHA 2813 0333 10⁹ 841 10⁸ 0 856 10⁸ 0111 10⁹ 332 10⁸ RHA 358 kN RVA 18750 024 10⁹ 841 10⁸ 024 10⁹ 856 10⁸ 0 332 10⁸ RVA 18786 kN RHD 0 0 841 10⁸ 150 10⁹ 856 10⁸ 150 10⁹ 332 10⁸ RHD 7860 kN RVD 18750 024 10⁹ 841 10⁸ 024 10⁹ 856 10⁸ 0 332 10⁸ RVD 18786 kN MD 0 0 841 10⁸ 100 10⁹ 856 10⁸ 100 10⁹ 332 10⁸ MD 3580 kNm Diagrama de Momentos Fletores Diagrama de Força Cortante Iniciamos a resolução calculando o grau de hiperestaticidade do pórtico g n de componentes de reação n de aneis 3 3 nº de eq vindas de articulações internas g 4 30 30 1 1x hiperestático Definimos então um Sistema Principal SP para o Problema rompendo o apoio D para gerar uma estrutura isostática equivalente Dessa forma temos A B C D Modelo Estrutural Equivalente Calculamos agora as reações no Pórtico Isostático com o Carregamento Real e determinamos o Diagrama de Momentos Fletores DMF Pelo Equilíbrio dos Momentos no apoio A temos Σ Ma 0 4Vd 50 4 2 Σ Ma 0 4Vd 400 Σ Ma 0 Vd 100 kN Pelo Equilíbrio das Forças Verticais temos Σ Fy 0 Va 100 50 4 Σ Fy 0 Va 200 100 Σ Fy 0 Va 100 kN Traçamos agora os Diagramas de Cortante e Momentos Fletores para o Pórtico Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores A B C D A B C D X1 Agora determinamos os diagramas para o hiperestático X1 1 Pelo Equilíbrio dos Momentos no apoio D temos Σ Ma 0 4 Vd 0 Σ Ma 0 Vd 0 Pelo Equilíbrio das Forças Horizontais temos Σ Fx 0 Ha X1 Σ Fx 0 Ha 1 kN Traçamos agora os Diagramas de Cortante e Momentos Fletores para o Pórtico Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores Pelas condições de compatibilidade temse que 𝛿10 𝛿11𝑋1 0 Agora comparamos os diagramas de Momento Fletor utilizando a tabela de Kurt Beyer mostrada a seguir Calculamos o 𝜹𝟏𝟎 da seguinte forma 𝜹𝟏𝟎 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 Utilizando a Tabela de Kurt Beyer realizamos a integração dos Diagramas de Momento Fletor através de uma combinação de Retângulo x Parábola uma vez que o momento duas outras barras é nulo logo 𝑬𝑰𝜹𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 𝑳 𝑴𝒂 𝑴𝒃 𝟎 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟔𝟔 𝟔𝟕 Cálculo do coeficiente 𝜹𝟏𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝑬𝑰 𝑴𝟎 𝑴 𝟏 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 Novamente utilizando a Tabela de Kurt Beyer faremos as seguintes comparações Triângulo x Triângulo Retângulo x Retângulo Triângulo x Triângulo Dessa forma temos 𝑬𝑰𝜹𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝑳 𝑴𝒂 𝑴 𝒃 𝑳 𝑴𝒂 𝑴 𝒃 𝟏 𝟑 𝑳 𝑴𝒂 𝑴 𝒃 𝑬𝑰𝜹𝟏𝟏 𝟏 𝟑 𝟒 𝟎𝟎 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎𝟎 𝟒 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 𝟎𝟎 𝟒 𝟒 𝑬𝑰𝜹𝟏𝟏 𝟐𝟏 𝟑𝟑 𝟔𝟒 𝟎𝟎 𝟐𝟏 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟔 𝟔𝟕 Substituindo na equação temos 𝛿10 𝛿11𝑋1 0 106667 10667 𝑋1 0 X1 106667 10667 X1 100 Vamos agora analisar cada barra do pórtico sabendo que 𝑸 𝑸𝟎 𝑸𝟏𝑿𝟏 Barra AB Para y 0 m M 0 Para y 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Barra CB Para x 0 m M 0 100 4 M 40 kNm Para x 2 m M 100 100 400 M 60 kNm Para x 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Barra CD Para y 0 m M 0 Para y 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Ficamos com o seguinte Diagrama de Momentos Fletores para a estrutura original Iniciamos a resolução aplicando chapas para restrição dos apoios Dessa forma temos Considerando que as chapas produzem o efeito de um engastamento duplo elas gerarão momentos fletores e estes momentos serão redistribuídos Assim devemos calcular inicialmente o fator de distribuição pois cada vão da viga apresentará um coeficiente de rigidez próprio assim Com base na tabela de Deformação Unitária apresentada a seguir calculamos os coeficientes de rigidez conforme cada um dos nós K1 K2 K3 K4 I 200 I 300 I 300 A B C D Cálculo das rigidezes K1 4EJθ Lab 4E200 25 800 E 25 32 E K2 4EJθ Lbc 4E300 30 1200 E 30 40 E K3 4EJθ Lcb 4E300 30 1200 E 30 40 E K4 4EJθ Lcd 4E300 30 1200 E 30 40 E Agora determinamos o Fator de Distribuição a partir da seguinte expressão FD K Σ K FD1 K1 K1 K2 32 E 32 E 40 E 32 72 044 FD2 K2 K1 K2 40 E 32 E 40 E 40 72 056 FD3 K3 K3 K4 40 E 40 E 40 E 40 80 050 FD3 K4 K3 K4 40 E 40 E 40 E 40 80 050 Calculamos os momentos de engastamento perfeito utilizando a mesma tabela do Método dos Deslocamentos Dessa forma temos Mbesq q Lab² 12 15 25² 12 15 625 12 9375 12 78125 kNm Mbdir q Lbc² 12 2 30² 12 2 900 12 1800 12 15000 kNm 1 1 Mcesq q Lbc² 12 2 30² 12 2 900 12 1800 12 15000 kNm Mcdir q Lcd² 12 35 30² 12 35 900 12 31500 12 262500 kNm Fazemos agora a distribuição dos momentos na viga Fator de Distribuiçã o 044 056 050 050 78125 78125 15000 15000 262500 262500 13888 27775 35350 17675 66294 132588 132588 66294 14585 29169 37125 18563 4641 9282 9282 4641 1021 2042 2600 1300 325 650 650 325 072 143 182 091 023 046 046 023 005 010 013 006 001 003 003 001 000 000 MOMENTO S FINAIS 10769 6 18986 18986 119934 119931 333784 Diagrama de Momento Fletor K1 K2 K3 K4 I 200 I 300 I 300 A B C D Iniciamos a resolução identificando as deslocabilidades do pórtico Dessa forma temos A B C D D1 D2 D3 D3 A B C D D1 D2 D3 D3 Propomos então um Sistema Hipergeométrico que impede as deslocabilidades internas 1 e 2 e que restringe a deslocabilidades externa 3 Determinamos então o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através da tabela Dessa forma teremos M0 BA 0 M0 BC Pab² Lbc² M0 BC 75 300 300² 600² M0 BC 2025 36 M0 BC 5625 kNm M0 CB 5625 kNm 1 3 2 Logo β10 M0 BC β10 5625 kNm β20 M0 CB β20 5625 kNm β30 0 Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela kba 4EI Lba kba 4 2 10 ⁴ 600 kba 8 10 ⁴ 600 kba 133 10 ⁴ kbc 4EI Lbc kbc 4 2 10 ⁴ 600 kbc 8 10 ⁴ 600 kbc 133 10 ⁴ 133E04 667E03 333E03 133E04 667E03 333E03 000E00 333E03 333E03 1 2 3 A B D C R3 6 EI Lab² R3 6 2 10⁴ 600² R3 12 10⁴ 600² R3 0333 10⁴ kN β11 133 10⁴ 133 10⁴ 267 10⁴ β12 133 10⁴ 2 0667 10⁴ β13 0333 10⁴ kN Rotação Unitária Δ2 1 no SP kcb 4EI Lbc kcb 4 2 10⁴ 600 kcb 8 10⁴ 600 kcb 133 10⁴ kcd 4EI Lbc kcd 4 2 10⁴ 600 kcd 810⁴ 600 kcd 133 10⁴ R3 6 EI Lab² R3 6 2 10⁴ 600² R3 12 10⁴ 600² R3 0333 10⁴ kN β21 133 10⁴ 2 067 10⁴ β22 133 10⁴ 133 10⁴ 267 10⁴ β23 0333 10⁴ kN Deslocamento Unitário 3 Kba 6EI Lab² 6 2 10 ⁴ 600² 0333 10 ⁹ Kcd 6EI Lcd² 6 2 10 ⁴ 600² 0333 10 ⁹ R3 12 EI Lab³ 12 EI Lcd³ 12 2 10⁴ 6² 12 2 10⁴ 6² 0222 10⁴ β31 033 10 ⁹ β32 033 10 ⁹ β33 022 10⁴ A partir dos coeficientes encontrados montamos a matriz de rigidez 26710 4 06710 4 03310 4 06710 4 26710 4 03310 4 03310 4 03310 4 0 2210 4 Δ1 Δ2 Δ3 5625 5625 0 667E03 333E03 000E00 333E03 333E03 133E04 133E04 333E03 667E03 1 2 3 A B D C I 000E00 000E00 222E03 333E03 333E03 111E03 000E00 111E03 333E03 333E03 000E00 1 2 3 A B D C Resolvendo o sistema temos Δ1 281 10³ Δ2 281 10³ Δ3 0 Com o coeficiente 1 2 e 3 podemos determinar quaisquer esforços no sistema original utilizando a fórmula E E0 Ei i Dessa forma para a estrutura original temos RHA 0 0333 10⁴ 281 10³ 0 281 10³ 936 kN RVA 3750 0333 10⁴ 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 3750 kN MA 0 0667 10⁴ 281 10³ 0 281 10³ 1874 kN RHD 0 0 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 936 kN RVD 3750 0333 10⁴ 281 10³ 0333 10⁴ 281 10³ 3750 kN MD 0 0 281 10³ 0667 10⁴ 281 10³ 1874 kN Diagrama de Momentos Fletores Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores Definimos inicialmente o Sistema Hipergeométrico restringindo as rotações nos Nós B e C além do deslocamento horizontal com a introdução do apoio 3 Dessa forma temos 1 3 A B C D 2 Determinamos então o Efeito do Carregamento no Sistema Principal através da tabela a seguir Dessa forma teremos M0 BA qL² 8 M0 BA 25 3 ² 8 M0 BA 25 9 8 M0 BA 225 8 M0 BA 2813 kNm M0 BC qL² 12 M0 CB M0 BC 75 5 ² 12 M0 BC 75 25 12 M0 BC 1875 12 M0 BC 15625 kNm M0 CB 15625 kNm R3 25 300 25 300²2 2813 300 R3 4688 kN Logo β10 M0 BA M0 BC β10 2813 15625 β10 12812 kNm β20 M0 CB β20 15625 kNm β30 4688 kNm Dessa forma temos Aplicamos agora uma Rotação Unitária Δ1 1 no SP e calculamos os momentos de acordo com a tabela kba 3EI Lba kba 3 10⁹ 300 kba 10 10 ⁹ kbc 4EI Lbc kbc 4 10⁹ 500 kbc 08 10 ⁹ 800E08 400E08 333E08 100E09 000E00 333E08 000E00 240E08 240E08 1 2 3 A B D C R3 3 10⁹ 300² R3 033 10 ⁹ β11 10 10⁹ 08 10⁹ 180 10 ⁹ β12 08 10⁹ 2 040 10 ⁹ β13 3 10⁹ 300² 033 10 ⁹ Rotação Unitária Δ2 1 no SP kcb 4EI Lbc kcb 4 10⁹ 500 kcb 08 10 ⁹ kcd 4EI Lbc kcd 4 10⁹ 200 kcd 20 10 ⁹ R3 6 10⁹ 200² R3 15 10 ⁹ β21 08 10⁹ 2 04 10 ⁹ β22 08 10⁹ 20 10⁹ 28 10 ⁹ β23 15 10 ⁹ Deslocamento Unitário 3 Kba 3EI Lab² Kba 3 10⁹ 300² Kba 033 10 ⁹ Kcd 6EI Lcd² Kcd 6 10⁹ 200² Kcd 150 10 ⁹ R3 3 10⁹ 300³ 12 10⁹ 200³ R3 011 10 ⁹ 15 10⁹ R3 161 10 ⁹ β31 033 10⁹ β32 150 10⁹ β33 161 10⁹ A partir dos coeficientes encontrados montamos a matriz de rigidez 18010 9 0 4010 9 03310 9 04010 9 28010 9 15010 9 03310 9 15010 9 16110 9 Δ1 Δ2 Δ 3 12812 156 25 4688 Resolvendo o sistema temos 400E08 150E09 000E00 240E08 240E08 800E08 200E09 150E09 100E09 1 2 3 A B D C I 000E00 000E00 161E09 150E09 150E09 111E08 000E00 150E09 333E08 333E08 000E00 1 2 3 A B D C Δ1 841 10⁸ Δ2 856 10⁸ Δ3 332 10⁸ A partir dos coeficientes 1 2 e 3 podemos determinar quaisquer esforços no sistema original utilizando a fórmula E E0 Ei i Dessa forma temos RHA 2813 0333 10⁹ 841 10⁸ 0 856 10⁸ 0111 10⁹ 332 10⁸ RHA 358 kN RVA 18750 024 10⁹ 841 10⁸ 024 10⁹ 856 10⁸ 0 332 10⁸ RVA 18786 kN RHD 0 0 841 10⁸ 150 10⁹ 856 10⁸ 150 10⁹ 332 10⁸ RHD 7860 kN RVD 18750 024 10⁹ 841 10⁸ 024 10⁹ 856 10⁸ 0 332 10⁸ RVD 18786 kN MD 0 0 841 10⁸ 100 10 ⁹ 856 10⁸ 100 10⁹ 332 10⁸ MD 3580 kNm Diagrama de Momentos Fletores Diagrama de Força Cortante Iniciamos a resolução calculando o grau de hiperestaticidade do pórtico g n de componentes de reação n de aneis 3 3 nº de eq vindas de articulações internas g 4 30 30 1 1x hiperestático Definimos então um Sistema Principal SP para o Problema rompendo o apoio D para gerar uma estrutura isostática equivalente Dessa forma temos Modelo Estrutural Equivalente Calculamos agora as reações no Pórtico Isostático com o Carregamento Real e determinamos o Diagrama de Momentos Fletores DMF Pelo Equilíbrio dos Momentos no apoio A temos Σ Ma 0 4Vd 50 4 2 Σ Ma 0 4Vd 400 Σ Ma 0 Vd 100 kN Pelo Equilíbrio das Forças Verticais temos Σ Fy 0 Va 100 50 4 Σ Fy 0 Va 200 100 A B C D A B C D A B C D X1 Σ Fy 0 Va 100 kN Traçamos agora os Diagramas de Cortante e Momentos Fletores para o Pórtico Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores Agora determinamos os diagramas para o hiperestático X1 1 Pelo Equilíbrio dos Momentos no apoio D temos Σ Ma 0 4 Vd 0 Σ Ma 0 Vd 0 Pelo Equilíbrio das Forças Horizontais temos Σ Fx 0 Ha X1 Σ Fx 0 Ha 1 kN Traçamos agora os Diagramas de Cortante e Momentos Fletores para o Pórtico Diagrama de Força Cortante Diagrama de Momentos Fletores Pelas condições de compatibilidade temse que 𝛿10 𝛿11𝑋1 0 Agora comparamos os diagramas de Momento Fletor utilizando a tabela de Kurt Beyer mostrada a seguir Calculamos o δ 10 da seguinte forma δ 10 1 EI 0 4 M 0M 1dx 1 EI 0 4 M 0M1dx 1 EI 0 4 M 0M1dx Utilizando a Tabela de Kurt Beyer realizamos a integração dos Diagramas de Momento Fletor através de uma combinação de Retângulo x Parábola uma vez que o momento duas outras barras é nulo logo EI δ 100 2 3LMaMb0 2 34 001004 2 31600106667 Cálculo do coeficiente δ 11 δ 10 1 EI 0 4 M 0M 1dx 1 EI 0 4 M 0M1dx 1 EI 0 4 M 0M1dx Novamente utilizando a Tabela de Kurt Beyer faremos as seguintes comparações Triângulo x Triângulo Retângulo x Retângulo Triângulo x Triângulo Dessa forma temos EI δ 11 1 3LMaM b LMaM b 1 3LMaM b EI δ 11 1 34 0044 40044 1 34 0044 EI δ 11213364002133 10667 Substituindo na equação temos 𝛿10 𝛿11𝑋1 0 106667 10667 𝑋1 0 X1 106667 10667 X1 100 Vamos agora analisar cada barra do pórtico sabendo que QQ 0Q1X1 Barra AB Para y 0 m M 0 Para y 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Barra CB Para x 0 m M 0 100 4 M 40 kNm Para x 2 m M 100 100 400 M 60 kNm Para x 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Barra CD Para y 0 m M 0 Para y 4 m M 0 100 4 M 40 kNm Ficamos com o seguinte Diagrama de Momentos Fletores para a estrutura original