Exercícios Resolvidos Metodo Deslocamentos Vigas Continuas Biapoiadas

1 Utilizandose o Método dos Deslocamentos obtenha os diagramas do esforço cortante e momento fletor Apresentar toda a resolução EI cte A 2 Para a viga contínua apresentada a seguir obtenha a O Momento fletor utilizando o Método dos deslocamentos b O Momento fletor utilizando o Método de Cross c Solução via implementação no Ftool Compare os resultados I 1 cte 3 Seja uma viga biapoiada com 16m de vão apoio da direita de 1º gênero e o outro de 2º gênero Considere Carga permanente g 40 kNm Carga Móvel Eixos P1 3 kN P2 2 kN todos igualmente espaçados 40m entre si Carga de multidão 20 kNm Avalie nos seguintes pontos 0 4m 8m 10m e 16m Pedese a O diagrama de esforços cortante e momento fletor da permanente e a respectiva indicação dos valores máximos b Represente as linhas de influência c Obtenha as envoltórias de momento fletor e esforço cortante Monte uma tabela Represente graficamente 4 Para a viga biapoiada submetida ao carregamento uniformemente distribuído q 5 kN a seguir EI CONSTANTE pedese a Definir dois sistemas principais distintos para a estrutura b Escolher um SP e obter as equações de compatibilidade os Coeficientes de flexibilidade e os hiperestáticos 1 Método dos Deslocamentos Rigidez da estrutura 𝐸𝐼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Análise do Sistema 1 aplicar rotação unitária em C 𝐷1 Reações horizontais 𝐻𝐴 6𝐸𝐼 𝐿2 6 𝐸𝐼 42 0375𝐸𝐼 𝐻𝐵 0 𝐻𝐶 6𝐸𝐼 𝐿2 6 𝐸𝐼 42 0375𝐸𝐼 𝐻𝐷 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 3𝐸𝐼 𝐿2 3 𝐸𝐼 62 00833𝐸𝐼 𝑉𝐶 3𝐸𝐼 𝐿2 3 𝐸𝐼 62 00833𝐸𝐼 𝑉𝐷 0 Momentos fletores 𝑀𝐴 2𝐸𝐼 𝐿 2 𝐸𝐼 4 05𝐸𝐼 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 4𝐸𝐼 𝐿 3𝐸𝐼 𝐿 4 𝐸𝐼 4 3 𝐸𝐼 6 𝐸𝐼 05𝐸𝐼 15𝐸𝐼 𝑀𝐷 0 Análise do Sistema 2 aplicar deslocamento unitário em C 𝐷2 Reações horizontais 𝐻𝐴 12𝐸𝐼 𝐿3 12 𝐸𝐼 43 01875𝐸𝐼 𝐻𝐵 3𝐸𝐼 𝐿3 3 𝐸𝐼 43 0046875𝐸𝐼 𝐻𝐶 12𝐸𝐼 𝐿3 3𝐸𝐼 𝐿3 12 𝐸𝐼 43 3 𝐸𝐼 43 01875𝐸𝐼 0046875𝐸𝐼 0234375𝐸𝐼 𝐻𝐷 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 0 Momentos fletores 𝑀𝐴 6𝐸𝐼 𝐿2 6 𝐸𝐼 42 0375𝐸𝐼 𝑀𝐵 3𝐸𝐼 𝐿2 3 𝐸𝐼 42 01875𝐸𝐼 𝑀𝐶 6𝐸𝐼 𝐿2 6 𝐸𝐼 42 0375𝐸𝐼 𝑀𝐷 0 Análise do Sistema 0 esforços perfeitos Reações horizontais 𝐻𝐴 0 𝐻𝐵 0 𝐻𝐶 1000𝑘𝑁 𝐻𝐷 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 3 10 6 8 2250𝑘𝑁 𝑉𝐶 5 10 6 8 3750𝑘𝑁 𝑉𝐷 0 Momentos fletores 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 10 62 8 4500𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 Matriz rigidez 𝑘11 15𝐸𝐼 𝑘12 0375𝐸𝐼 𝑘21 0375𝐸𝐼 𝑘22 0234375𝐸𝐼 Equação de compatibilidade Forma matricial 𝐾𝐷 𝑓 0 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝐷1 𝐷2 𝑓1 𝑓2 0 Forma sistema de equações 15𝐸𝐼𝐷1 0375𝐸𝐼𝐷2 4500 0 0375𝐸𝐼𝐷1 0234375𝐸𝐼𝐷2 1000 0 Resolvendo o sistema 𝐷1 6778 𝐸𝐼 𝑚 𝐷2 1511 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 Momentos fletores finais 𝑀𝐴 0 05𝐸𝐼 6778 𝐸𝐼 0375𝐸𝐼 1511 𝐸𝐼 22778𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 0 0 6778 𝐸𝐼 01875𝐸𝐼 1511 𝐸𝐼 28233𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 0 1𝐸𝐼 6778 𝐸𝐼 0375𝐸𝐼 1511 𝐸𝐼 11111𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 Reações de apoio 𝐻𝐴 11111 22778 4 2917𝑘𝑁 𝑉𝐴 10 6 3 11111 6 31852𝑘𝑁 𝐻𝐵 2917 10 7083𝑘𝑁 𝑉𝐵 10 6 31852 28148𝑘𝑁 Diagrama dos esforços Diagrama de esforços normais kN Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momentos fletores kNm 𝑀𝐶𝐷 11111 31852 3185 2 39616𝑘𝑁𝑚 2 a Método dos Deslocamentos Rigidez 𝐸𝐼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sistema 1 aplicar rotação unitária em B 𝑘𝐴 2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 4 05𝐸𝐼 𝑘𝐵 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 4 4𝐸𝐼 6 𝐸𝐼 0667 1667𝐸𝐼 𝑘𝐶 2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 6 0333𝐸𝐼 Sistema 2 aplicar rotação unitária em C 𝑘𝐵 2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 6 0333𝐸𝐼 𝑘𝐶 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 4 4𝐸𝐼 6 𝐸𝐼 0667 1667𝐸𝐼 𝑘𝐷 2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 4 05𝐸𝐼 Sistema 0 esforços de engastamento perfeito 𝑀𝐸𝑃𝐴 10 4002 12 13333𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 10 4002 12 20 6002 12 13333 6000 46667𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 20 6002 12 10 4002 12 6000 13333 46667𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐷 10 4002 12 13333𝑘𝑁𝑚 Compatibilidade Coeficientes de compatibilidade 𝑘11 1667𝐸𝐼 𝑘12 05𝐸𝐼 𝑓10 46667𝑘𝑁𝑚 𝑘21 05𝐸𝐼 𝑘22 1667𝐸𝐼 𝑓20 46667𝑘𝑁𝑚 Equação de compatibilidade 𝑘11𝐷1 𝑘12𝐷2 𝑓10 0 𝑘21𝐷1 𝑘22𝐷2 𝑓20 0 1667𝐸𝐼𝐷1 05𝐸𝐼𝐷2 46667 0 05𝐸𝐼𝐷1 1667𝐸𝐼𝐷2 46667 0 Deslocabilidades 𝐷1 35 𝐸𝐼 𝐷2 35 𝐸𝐼 Momentos finais 𝑀𝐴 13333 05𝐸𝐼 35 𝐸𝐼 417𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 13333 𝐸𝐼 35 𝐸𝐼 4833𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 13333 𝐸𝐼 35 𝐸𝐼 4833𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 13333 05𝐸𝐼 35 𝐸𝐼 417𝑘𝑁𝑚 Reações de apoio 𝑅𝐴 10 400 200 417 4833 400 6875𝑘𝑁 𝑅𝐵 10 400 200 417 4833 400 120 600 300 4833 4833 600 93125𝑘𝑁 𝑅𝐶 120 600 300 4833 4833 600 10 400 200 4833 417 400 93125𝑘𝑁 𝑅𝐷 10 400 200 4833 417 400 6875𝑘𝑁 Diagrama de esforços manual Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momentos fletores kNm 𝑀𝐴𝐵 417 687 0687 2 653𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵𝐶 4833 6000 300 2 4167𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶𝐷 4833 3313 3313 2 653𝑘𝑁𝑚 b Rigidez 𝐾1 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 𝐹𝐷1 𝐾1 𝐾1 𝐾2 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0667𝐸𝐼 060 𝐾2 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 6 0667𝐸𝐼 𝐹𝐷2 𝐾2 𝐾1 𝐾2 0667𝐸𝐼 𝐸𝐼 0667𝐸𝐼 040 𝐾3 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 6 0667𝐸𝐼 𝐹𝐷3 𝐾3 𝐾3 𝐾4 0667𝐸𝐼 𝐸𝐼 0667𝐸𝐼 040 𝐾4 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 𝐹𝐷4 𝐾4 𝐾3 𝐾4 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0667𝐸𝐼 060 Esforços de engastamento perfeito 𝑀𝐸𝑃𝐴 10 4002 12 13333𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 10 4002 12 20 6002 12 13333 6000 46667𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 20 6002 12 10 4002 12 6000 13333 46667𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐷 10 4002 12 13333𝑘𝑁𝑚 Processo de Cross Momentos finais 𝑀𝐴 417𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 4833𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 4833𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 417𝑘𝑁𝑚 Reações de apoio 𝑅𝐴 10 400 200 417 4833 400 6875𝑘𝑁 𝑅𝐵 10 400 200 417 4833 400 120 600 300 4833 4833 600 93125𝑘𝑁 𝑅𝐶 120 600 300 4833 4833 600 10 400 200 4833 417 400 93125𝑘𝑁 𝑅𝐷 10 400 200 4833 417 400 6875𝑘𝑁 Diagrama de esforços manual Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momentos fletores kNm 𝑀𝐴𝐵 417 687 0687 2 653𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵𝐶 4833 6000 300 2 4167𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶𝐷 4833 3313 3313 2 653𝑘𝑁𝑚 c Diagrama de esforços pelo Ftool Diagrama de esforços cortantes kN Diagrama de momentos fletores kNm 3 b Linhas de influência do Cortante Coeficientes 𝑛1 16 16 10000 𝑛2 12 16 07500 𝑛3 8 16 05000 𝑛4 4 16 02500 Seção 0m Seção 4m Seção 8m Seção 12m Seção 16m Linhas de influência do Momento Coeficientes 𝑛1 12 4 16 30000 𝑛2 8 4 16 20000 𝑛3 8 8 16 40000 𝑛4 4 4 16 10000 Seção 0m Seção 4m Seção 8m Seção 12m Seção 16m a Esforços cortantes permanentes 𝑉𝑔0𝑚 10000 16 2 4 3200𝑘𝑁 𝑉𝑔4𝑚 02500 4 2 07500 12 2 4 1600𝑘𝑁 𝑉𝑔8𝑚 05000 8 2 05000 8 2 4 000𝑘𝑁 𝑉𝑔12𝑚 07500 16 2 02500 4 2 4 1600𝑘𝑁 𝑉𝑔16𝑚 10000 16 2 4 3200𝑘𝑁 Momentos fletores permanentes 𝑀𝑔0𝑚 0𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔4𝑚 30000 4 2 30000 12 2 4 9600𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔8𝑚 40000 8 2 40000 8 2 4 12800𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔12𝑚 30000 12 2 30000 4 2 4 9600𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔16𝑚 0𝑘𝑁𝑚 c Esforços cortantes variável 𝑉𝑞0𝑚 10000 3 07500 2 10000 16 2 2 2050𝑘𝑁 𝑉𝑞4𝑚𝑚𝑎𝑥 07500 3 05000 2 07500 12 2 2 1225𝑘𝑁 𝑉𝑞4𝑚𝑚𝑖𝑛 02500 3 02500 4 2 2 175𝑘𝑁 𝑉𝑞8𝑚𝑚𝑎𝑥 05000 3 02500 2 05000 8 2 2 600𝑘𝑁 𝑉𝑞8𝑚𝑚𝑖𝑛 05000 3 02500 2 05000 8 2 2 600𝑘𝑁 𝑉𝑞12𝑚𝑚𝑎𝑥 02500 3 02500 4 2 2 175𝑘𝑁 𝑉𝑞12𝑚𝑚𝑖𝑛 07500 3 05000 2 07500 12 2 2 1225𝑘𝑁 𝑉𝑞16𝑚 10000 3 07500 2 10000 16 2 2 2050𝑘𝑁 Momentos fletores variável 𝑀𝑞0𝑚 0𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞4𝑚 30000 3 20000 2 30000 4 2 30000 12 2 2 6100𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞8𝑚 40000 3 20000 2 40000 8 2 40000 8 2 2 8000𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞12𝑚 30000 3 20000 2 30000 12 2 30000 4 2 2 6100𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞16𝑚 0𝑘𝑁𝑚 Tabela resumo das Envoltórias Esforço Permanente Esforço Variável Envoltórias Vg kN Mg kNm Vqmax kN Vqmin kN Mqmax kNm Mqmin kNm Vmax kN Vmin kN Mmax kNm Mmin kNm 0m 3200 000 2050 000 000 000 5250 3200 000 000 4m 1600 9600 1225 175 6100 000 2825 1425 15700 9600 8m 000 12800 600 600 8000 000 600 600 20800 12800 12m 1600 9600 175 1225 6100 000 1425 2825 15700 9600 16m 3200 000 000 2050 000 000 3200 5250 000 000 4 Essa estrutura é isostática não tem como eu fazer isso Acho que erraram o enunciado E vou analisar como estrutura isostática Reações de apoio 𝑅𝐴 500 500 250 500 1250𝑘𝑁 𝑅𝐵 500 500 250 500 1250𝑘𝑁 Diagrama de esforços Diagrama de esforços cortantes kN 𝑉𝐴 1250𝑘𝑁 𝑉𝐵 1250 500 500 1250𝑘𝑁 Diagrama de momentos fletores kNm 𝑀𝐴𝐵 1250 250 2 15625𝑘𝑁𝑚