Distribuicoes de Probabilidade - Conceitos e Aplicacoes

07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 1 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 0 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 2 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 Os conceitos de distribuições de frequências fenômenos aleatórios e espaço amostral vistos anteriormente nos possibilitam ir mais além pois agora desejamos estudar a estrutura probabilística de quantidades associadas a um fenômeno com espaço amostral conhecido Você deve estar se perguntando Onde aplicarei o conceito de distribuição de frequência no estudo de probabilidade Vimos que a probabilidade frequentista é obtida a partir da observação de um número grande de repetições de um experimento ou seja quando o tamanho de amostra é grande esperase que a distribuição de frequências da amostra tenha uma boa aproximação da distribuição de probabilidade da população Na probabilidade estamos interessados não apenas em obter a chance de um evento específico acontecer mas de modelar o comportamento do fenômeno estudado Na imagem abaixo temos um caso bem conhecido no ramo da estatística a tábua de Galton Ela facilita o entendimento da probabilidade quando se tem um tamanho de amostra grande Ao lançar uma bolinha no tabuleiro onde em cada pino a probabilidade de ir para a direita ou para a esquerda é igual a chance da bolinha cair em dos compartimentos é a mesma mas ao lançarmos 1000 bolinhas elas apresentam probabilidade maior de se encaixar os compartimentos centrais simulando assim o comportamento de um triângulo Logo o estudo das distribuições de probabilidades é importante pois possibilita a construção de modelos matemáticos que nos auxiliam na compreensão dos fenômenos do mundo real 0120 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 3 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 012304563704 O conceito de variável aleatória é definido por Vieira 2001 com o seguinte exemplo ratos de laboratório são criados em condições controladas de manejo e alimentação Imagine que um laboratório cria ratos de uma mesma raça e progênie e que é razoável considerar que os pesos dos ratos variam No entanto mesmos ratos de um só sexo nascidos no mesmo dia têm pesos variáveis A variabilidade dos pesos é resultante de uma soma de fatores não controlados por isso consideramos que a variabilidade ocorre ao acaso A característica peso de ratos é uma variável aleatória va a qual não sabemos ao certo qual será o valor obtido mas que podemos calcular a probabilidade de se obter determinado valor A variável aleatória é uma variável que tem um valor único determinado aleatoriamente para cada resultado de um experimento A palavra aleatória indica que em geral só conhecemos aquele valor depois do experimento ser realizado TRIOLA 1998 Simbolizada por uma letra maiúscula X Y Z e pode ser do tipo discreta ou contínua para relembrar os conceitos já vistos nos primeiros tópicos da disciplina veremos como Triola 1998 as define Variável Aleatória Discreta quando admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores X o número de pessoas num carro X o número de crianças internadas com problemas respiratórios Variável Aleatória Contínua quando pode tomar um número infinito de valores e esses valores podem ser associados a mensurações em escala continua de tal maneira que não haja lacunas ou interrupções X a duração da vida de uma pessoa X o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola Existem vários modelos matemáticos de probabilidade para os dois tipos de variável veremos dois dos mais utilizados 8904003490434 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 4 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 8904003490434 Em muitas situações experimentais precisamos atribuir um número real x a todo elemento do espaço amostral quando associamos a cada resultado numérico de uma variável discreta uma probabilidade estamos obtendo uma distribuição discreta Seja X uma va discreta que pode assumir valores x x x o conjunto dos pares X PXx ou simplesmente X PX constitue uma distribuição de probabilidade desde que A probabilidade de qualquer valor que a variável assumir é um número uma porcentagem entre 0 e 100 também representada em proporções um número entre 0 e 1 Logo A soma das probabilidades de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória é 1 ou 100 Assim Exemplo considere um experimento que consiste em lançar três moedas sucessivamente O interesse é observar o número de coroas obtidas nos três lançamentos Definido c como cara e k coroa temos Ω CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK X Nº de caras obtidas em três lançamentos X 0 1 2 3 Como os valores de X se repete em algumas possibilidades iremos agrupar toda a informação e representar por meio de tabela gráfico ou fórmula a distribuição de probabilidade 1 2 n i i i i 34110105657 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 5 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 Assim a distribuição de probabilidade da v a X é dada por 89 6 6 A1111017 8304340304343 2012366370043 As medidas de posição e dispersão utilizadas para resumir os dados de uma variável aleatória com distribuição discreta são a média a variância e o desvio padrão 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 6 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 O valor médio de uma va discreta é também denominado esperança matemática ou valor esperado e o cálculo é análogo ao que já vimos em tópicos anteriores Representamos a esperança pela letra E maiúscula e escrevemos A esperança de uma variável aleatória nos dá a média de todos os valores que esperaríamos obter se medíssemos a va um número muito grande de vezes DOWNING 1998 A variância de X costuma escreverse por VAR X ou σ sendo obtida por σ A fórmula abreviada é σ O desvio padrão σ ou SX da variável aleatória discreta é dado por σ σ VARX 2 2 VARX x EX²Px i i 2 VARX EX² EX² 2 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 7 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 B98CDEFCGH0HIJK7 F551L5M11L10N 6JOP5M015P10QNRJOP5M0155P10QNIJOP5M0151P10Q JOP5M015SP10Q7 TUVP10Q5P5M01LL5M1H111 101WB 89 JH6 JHR JHI JH X Y1111101H5L0L04095W1P10Q P5M0141ZL141H11P5B 8L0L0Y9H45H1515H40F97 85L0L05W5LP1L141B GLP1L141W5511510JO41405 05W17 890400006 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 8 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 890400006 O termo binomial designa situações em que os resultados de uma variável aleatória va podem ser agrupados em duas categorias ou seja duas possibilidades de ocorrência os dados são pois nominais Exemplo em processos industriais as peças falham ou não falham em medicina o paciente sobrevive ou morre em marketing o consumidor reconhece um produto ou não reconhece Se X é uma variável aleatória que corresponde ao número de ocorrências da categoria de interesse em n repetições dizse que X tem distribuição binomial As n repetições devem ocorrer de forma independente sendo p a probabilidade de ocorrência de X e a de não ocorrência de q Temse que p q 1 e q 1 p ARANGO 2011 A probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas é dada por A notação da distribuição binomial é X B n p Os parâmetros da distribuição de probabilidade gerada por esta função são Média Valor Esperado E X µ n p Variância VAR X σ² n p 1 p Desvio Padrão S X σ n p 1 p Observe que a distribuição binomial depende exclusivamente de p e de n Para entender a aplicação voltaremos ao exemplo do lançamento de três moedas sucessivamente Temos as duas características necessárias que caracterizam uma distribuição binomial 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 9 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 TU41405L057a5B 50516 1011LJHK Y15H1011ILWB G4bHP5HW5115055101b101c5 411017 8P1501L51d1HL5501014B eG2YfGHYgWG014107012345637623283871h1H TL1i101e51LHIJJJ7 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 10 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 9B j54WL1MbAL5L1L0145L7j50 b5W14104Sk0LP17F0W4 LH5M15HKJO47l010104HUHL 5KJO4m nVL4 n101L5bK014KJHI bA7 FH 336232838836436088363 KJObARbA DL1AHLQL4WoRH6pO7 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 11 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 A BCDEFG9HTQb1015114ML551qJH1 14045L14L0d15URJO7Y15 L0L5J114ML5LLM1LHUkL0L0101 bQ5114MP9fgM51H5 41LfgP107 nV114ML5fg n101404fgRJOJHR J114M FH a a probabilidade de que nenhum desses indivíduos sofra DVC no período determinado YLQLQ5P5fgWJHqO7 b Qual o número esperado de casos de DVC no final do estudo E o desvio padrão A9040034BC4 O estudo de uma variável aleatória contínua vac é análogo ao das variáveis discretas Uma variável aleatória contínua X pode assumir infinitos valores ou qualquer valor no intervalo de sua definição 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 12 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 Para cada variável aleatória contínua existe uma função não negativa f função densidade de probabilidade para calcular a probabilidade de uma vac estar entre dois números ou seja Pa X b é necessário calcular a área entre a e b de uma curva de probabilidades para os possíveis infinitos valores da variável Assim a probabilidade de uma v a contínua assumir um determinado valor pontual é nula pois a área embaixo de um ponto é igual a zero PXx0 O cálculo da área sob a curva exige uma técnica de cálculo chamada integração e usando o conceito de integral podemos escrever A média e a variância de uma va contínua são definidas de modo similar a uma va discreta A integração substitui a soma nas definições 89rr57 8P1HL5501014B aCGsYHe1t7I468JKL0434M04341WL1LYe141WL1LY e1Xs15t171s15t07kI7k1h1BsagHIJp7X 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 13 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 A90400D6 As medidas biológicas as medidas de produtos fabricados em série e os erros de medidas são variáveis que têm distribuições que se aproximam da distribuição normal cuja representação gráfica é apresentada abaixo Através do histograma podese observar que a maneira com que os valores se distribuem entre a população assemelhase com um sino Isso indica que tem grande volume de dados próximo ao centro da distribuição e cada vez menos nas extremidades A curva em forma de sino descreve os dados de uma variável que tenha um número infinito ou muito grande de valores possíveis A função matemática da distribuição de probabilidade normal também chamada de função de densidade de probabilidade de uma variável X contínua é a seguinte Onde µ EX média de distribuição σ VX desviopadrão da distribuição E15g4507 L4507 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 14 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 π 31416 e 217 A representação dos parâmetros dessa função é dada pela seguinte notação XNµσ² onde lêse X tem distribuição normal com média µ e variância σ² 01234356 A forma da curva é simétrica toda distribuição normal é simétrica o que significa que se você a dobrar exatamente ao meio as duas partes serão como imagens refletidas por um espelho Em se tratando de área do gráfico onde a média está posicionada no centro podemos afirmar que metade dos dados tem valores abaixo ou acima da média indicando assim que a média e mediana são iguais e o ponto mais elevado da curva corresponde ao seu valor médio NFOP3Q60K8068036R460330 T4LS405W194190L10H1591 040115H5W1509x41509T7 L4507 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 15 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 O desviopadrão mede a variabilidade o desviopadrão representa a distância mais comum entre a média e todos os demais dados A variabilidade dos dados é extremamente importante embora muitas notícias ignorem essa informação e informem apenas a média Essa variabilidade é medida pelo desviopadrão e o achatamento da curva da normal está diretamente ligado ao valor do desviopadrão σ Assim quanto mais achatado o gráfico maior a variabilidade ou seja os dados estão afastando da média CSTUCDVF Y5W10L10WF9H11Pd50B 9W0 CSTUCDVF f410L10W1cb41ZL1WT9H 11Pd50B 90 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 16 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 780123935634 O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo Por isso é conveniente trabalhar com valores padronizados A solução foi definir uma Distribuição Normal Padrão cuja média é igual a zero e o desvio padrão é igual a 1 além de transformar a variável estudada em uma variável auxiliar Z chamada escore padrão O escore padrão representa o número de desvios padrões abaixo ou acima da média assim calculada A operação para se calcular uma probabilidade normal passa a ser a conversão da normal da qual desejamos calcular a probabilidade em uma normal padrão seguida de uma consulta à tabela da normal padrão L4507 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 17 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 A Tabela da Distribuição Normal Padrão fornece a probabilidade do valor da variável aleatória cair dentro de um intervalo entre a média e o determinado valor de Z A Tabela possui dois argumentos de entrada conforme figura abaixo Na margem vertical à esquerda entrase com a parte inteira e o 1º decimal de Z Na margem horizontal superior entrase com o 2º decimal de Z No cruzamento lêse a probabilidade 8L0L0101H4LS4101c0111D50H 1M4001u7 2P1L111507 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 18 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 Propriedades do escore padrão 997 dos escores padrões se encontram entre os valores 3 a 3 graças à regra empírica Escore padrão negativo indica que o escore original é um valor menor que a média Um escore padrão igual a zero indica que o escore original era a própria média 050c17 WO344X l505L501111510L55Q5 9v6JHWM40L410154LL1455 5W1941k9HbPd50D507X 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 19 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 9CFCYHIJTQbb1L005JJ5005MQ5 511150L55W1IJJ541IJ578L15L0L0 1015IJJIIK5L00JJ50057 81011H4540111501c7 aL00JJ507 IJJ5XXX IJ5 wD9IJJHIJ 7B9YZY99H g0L0LH5B 89IJJrrIIK89JrxrHIKJH6oRR6oHRRO 8101L00IJJIIK5JJ507 9 9eGFaCDHooKG01151d1115k505L5 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 20 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 5W1y7JJJHJJ41yKJJHJJ7l0L51bL5B a Menos de R 647000 b Entre R892000 e R 938000 0B 011551d17 7JJJXXX KJJHJJ wD97JJJHKJJ a P X 6470 g0L0LH5BXX 89rq7RpJ89x6HJqJHKnJHRooJHJJXJHO b Entre R892000 e R 938000 g0L0LH5BXXX 2P1L111507 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 21 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 897oIJHJJrryo76JHJJ89HRxIHpq XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX89JxIHpqk89JxHR XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXJHRopkJHRqp XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXJHJIooXXX6O sH155H6O1bL5y7oIJHJJyo76JHJJ7 2P1L111507 EB64 Neste Tópico vimos conteúdos muito importantes Utilizamos um pouco do conhecimento de estatística descritiva para aplicar no estudo das probabilidades e assim foi possível conhecer um pouco da principal ferramenta de Inferência estatística estimar características de uma população com base em observações as distribuições de probabilidades mais utilizadas A utilização de uma distribuição de probabilidade para certa variável nos permite fazer inferências e tomar decisões para toda a população 07062022 2115 Distribuições de Probabilidade Página 22 de 22 httpsceadsaladeaulauvvbrconteudophpauladistribuicoesdeprobabilidadedcpestatisticabasicatopico6 F060GH0 ARANGO HG Bioestatística Teórica e Computacional 3ª ed Rio de Janeiro Ed Guanabara Kooga 2011 BUSSAB Wilton O MORETTIN Pedro A Estatística básica5 ed São Paulo Saraiva 2004 DOWNINGDCLARKJ Estatística Aplicada São Paulo Saraiva1998 GOMES Fabrício Maciel EEL USP Tabela de distribuição de Probabilidade Disponível em httpwwwdequieeluspbrfabriciotabeladistnormalpdf MORETTIN Luiz Gonzaga Estatística básica probabilidade 6 ed São Paulo Makron Books 1995 MORGADO Augusto César de Oliveira et al Análise Combinatória e Probabilidade Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2000 PINHEIRO et Al Estatística Básica A Arte de Trabalhar com Dados 2ed Rio de Janeiro Editora Elsevier Campus 2015 RUMSEY Deborah Estatística para leigos Rio de Janeiro ed Alta Books 2009 350p SILVA Elio Medeiros da et al Estatística para os cursos de economia administração e ciências contábeis Vol1 3ed São Paulo Editora Atlas 1999 TRIOLA Mario F Introdução à Estatística 6ed São Paulo Editora Ltc 1998 TRIOLA Mario F Introdução à estatística tradução e revisão técnica Ana Maria visão técnica Ana Maria Lima de Farias Vera Regina Lima e Flores 12 ed Rio de Janeiro LTC 2017 VIEIRA Sonia Introdução a Bioestatística 3ed Rio de Janeiro Ed Campus 2001 VIEIRA Sonia Introdução a Bioestatística 4ed Rio de Janeiro Ed Campus 2011 YouTube 2012 Março 20 M3 Matemática Multimídia Cara ou coroa 10min49 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvE5Ais7qIDrk