Prova de Geometria Analítica I - Avaliação a Distância 2023

Fundacao Centro de Ciˆencias e Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Analıtica I 1a Avaliacao a Distˆancia 1o Semestre de 2023 Codigo da disciplina Matematica Engenharia de Producao e Engenharia Mete reologica EAD 01052 Fısica EAD 01078 Questao 1 35 pontos Dados os pontos A 1 2 e B 0 0 O lugar geometrico formado por todos os pontos P tal que dP A 2dP B formam o cırculo C Considere esses dados para responder as seguintes questoes a 20 pontos Encontre as coordenadas do centro e o raio do cırculo C b 15 ponto Verifique que o ponto Q 0 1 pertence a C e determine as coordenadas do ponto R de tal forma que o segmento RQ seja um diˆametro de C Questao 2 30 pontos Sejam os pontos A B C D e E tais que BA 6 BC 5 DC 3 DE 10 BA DC 0 e sin α cos β 3 5 e cos α sin β 4 5 Determine as coordenadas do vetor AE e calcule o valor da sua norma Dica Use o sistema de eixos coordenados canˆonicos OXY no plano R2 onde um vetor u pode ser representado na forma u ucos θ sin θ onde θ e o ˆangulo formado pelo lado positivo do eixo OX denotado por OX e o vetor u no sentido antihorario Questao 3 35 pontos Considere A B e C pontos tais que AB AC 3 4 e BC 5 4 para responder as seguintes questoes Geometria Analıtica I AD1 12021 a 15 ponto Determine as coordenadas do vetor AC b 10 ponto Calcule o valor de AB AC c 10 ponto Calcule o valor de cos AB AC Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ 1 a Seja P x y um ponto qualquer de C Assim d P A 2d PB x1 2 y2 22x0 2 y0 2 x1 2 y2 22 x 2 y 2 x1 2 y2 22x 2 y 2 x 22 x1 y 24 y42x 22 y 2 x 2 y 22 x4 y50 Isto prova que C está contida na circunferência de equação x 2 y 22x4 y50 Como C é uma circunferência concluímos que a equação acima é a equação de C Reduzindo essa equação x 2 y 22x4 y50x 22 x y 24 y50 x 22 x1 1 y 24 y4450 x 22 x1 y 24 y4 10 x1 2 y2 210 Portanto o centro e o raio de C são respectivamente 12e 10 b Vejamos que as coordenadas do ponto Q 01 satisfazem a equação de C 0 21 22041 5010450 Logo Q C Denotemos por xR y R as coordenadas do ponto R tal que RQ é um diâmetro de C Note que o centro de C é o ponto médio de RQ Dessa forma 12 xR yR 01 2 2 12 xR yR01 24 x R yR1 x R2 yR5 Portanto R25 2 Considere o sistema de eixos coordenados xOy tal que OA isto é a origem é o ponto A Oy AB isto é o eixo y é a reta orientada AB O eixo x é a reta orientada passando por A paralela e com mesma direção de CD A unidade é a mesma do enunciado do problema Neste sistema de coordenadas A00 e B06 Além disso sendo xC yC as coordenadas do ponto C 1 BA BC BA BCcos 90β ABCB 6 5cos 90β 0 0 06 xC yC0630cos 90β 0 6 xC yC630sen β 0 xC6 yC630 4 5 6 yC3624 yC10 Assim BC5CB5xC 10065xC 4 5 xC 2 4 25 xC 2 4 225 xC 2 1625 xC 29 xC3 Como xC0 concluímos que xC3 Portanto C310 Analogamente encontramos D610 e E1416 Portanto AE1416 Além disso AE14 216 21962564522113 3 a Temos que AB AC34 BACA34 BC2 A34 Além disso BC54 CB54 Somando as duas igualdades obtidas acima BC2 A CB 34 542C2 A80CA4 0 AC4 0 b Temos que AB AC34 AB40 34 AB34 40 AB14 Assim AB AC 14 4 0 1 4 4 0404 c Temos que AB AC AB A C cos AB AC 41 24 24 20 2cos AB AC 4116160cos AB AC 2 41716cos AB AC 4174 cos AB AC 117cos AB AC cos AB AC 1 17 cos AB AC17 17 3 1 1 a Seja 𝑃𝑥 𝑦 um ponto qualquer de 𝒞 Assim 𝑑𝑃 𝐴 2𝑑𝑃 𝐵 𝑥 12 𝑦 2 2 2 𝑥 02 𝑦 02 𝑥 12 𝑦 22 2 𝑥2 𝑦2 𝑥 12 𝑦 22 2𝑥2 𝑦2 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 4𝑦 4 2𝑥2 2𝑦2 𝑥2 𝑦2 2𝑥 4𝑦 5 0 Isto prova que 𝒞 está contida na circunferência de equação 𝑥2 𝑦2 2𝑥 4𝑦 5 0 Como 𝒞 é uma circunferência concluímos que a equação acima é a equação de 𝒞 Reduzindo essa equação 𝑥2 𝑦2 2𝑥 4𝑦 5 0 𝑥2 2𝑥 𝑦2 4𝑦 5 0 𝑥2 2𝑥 1 1 𝑦2 4𝑦 4 4 5 0 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 4𝑦 4 10 𝑥 12 𝑦 22 10 Portanto o centro e o raio de 𝒞 são respectivamente 12 e 10 b Vejamos que as coordenadas do ponto 𝑄0 1 satisfazem a equação de 𝒞 02 12 2 0 4 1 5 0 1 0 4 5 0 Logo 𝑄 𝒞 Denotemos por 𝑥𝑅 𝑦𝑅 as coordenadas do ponto 𝑅 tal que 𝑅𝑄 é um diâmetro de 𝒞 Note que o centro de 𝒞 é o ponto médio de 𝑅𝑄 Dessa forma 12 𝑥𝑅𝑦𝑅 0 1 2 2 12 𝑥𝑅 𝑦𝑅 0 1 24 𝑥𝑅𝑦𝑅 1 𝑥𝑅 2 𝑦𝑅 5 Portanto 𝑅 25 2 Considere o sistema de eixos coordenados 𝑥𝑂𝑦 tal que 𝑂 𝐴 isto é a origem é o ponto 𝐴 𝑂𝑦 𝐴𝐵 isto é o eixo 𝑦 é a reta orientada 𝐴𝐵 O eixo 𝑥 é a reta orientada passando por 𝐴 paralela e com mesma direção de 𝐶𝐷 A unidade é a mesma do enunciado do problema Neste sistema de coordenadas 𝐴 00 e 𝐵 06 Além disso sendo 𝑥𝐶 𝑦𝐶 as coordenadas do ponto 𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐶 cos90 𝛽 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 6 5 cos90 𝛽 2 00 06 𝑥𝐶 𝑦𝐶 06 30 cos90 𝛽 0 6 𝑥𝐶 𝑦𝐶 6 30 sen 𝛽 0 𝑥𝐶 6 𝑦𝐶 6 30 4 5 6𝑦𝐶 36 24 𝑦𝐶 10 Assim 𝐵𝐶 5 𝐶 𝐵 5 𝑥𝐶 10 06 5 𝑥𝐶 4 5 𝑥𝐶 2 42 5 𝑥𝐶 2 42 25 𝑥𝐶 2 16 25 𝑥𝐶 2 9 𝑥𝐶 3 Como 𝑥𝐶 0 concluímos que 𝑥𝐶 3 Portanto 𝐶 310 Analogamente encontramos 𝐷 610 e 𝐸 1416 Portanto 𝐴𝐸 1416 Além disso 𝐴𝐸 142 162 196 256 452 2113 3 a Temos que 𝐴𝐵 𝐴𝐶 3 4 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 3 4 𝐵 𝐶 2𝐴 3 4 Além disso 𝐵𝐶 54 𝐶 𝐵 54 Somando as duas igualdades obtidas acima 𝐵 𝐶 2𝐴 𝐶 𝐵 3 4 54 2𝐶 2𝐴 80 𝐶 𝐴 40 𝐴𝐶 40 b Temos que 𝐴𝐵 𝐴𝐶 3 4 𝐴𝐵 40 3 4 𝐴𝐵 3 4 40 𝐴𝐵 1 4 Assim 𝐴𝐵 𝐴𝐶 1 4 40 1 4 4 0 4 0 4 c Temos que 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 4 12 42 42 02 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 4 1 16 16 0 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 4 17 16 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 4 17 4 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 1 17 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 1 17 3 cos 𝐴𝐵 𝐴𝐶 17 17