Prova de Geometria Analítica I - Questões e Resoluções

Fundacao Centro de Ciˆencias e Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Analıtica I 1a Avaliacao a Distˆancia 1o Semestre de 2023 Codigo da disciplina Matematica Engenharia de Producao e Engenharia Mete reologica EAD 01052 Fısica EAD 01078 Questao 1 35 pontos Dados os pontos A 1 2 e B 0 0 O lugar geometrico formado por todos os pontos P tal que dP A 2dP B formam o cırculo C Considere esses dados para responder as seguintes questoes a 20 pontos Encontre as coordenadas do centro e o raio do cırculo C b 15 ponto Verifique que o ponto Q 0 1 pertence a C e determine as coordenadas do ponto R de tal forma que o segmento RQ seja um diˆametro de C Questao 2 30 pontos Sejam os pontos A B C D e E tais que BA 6 BC 5 DC 3 DE 10 BA DC 0 e sin α cos β 3 5 e cos α sin β 4 5 Determine as coordenadas do vetor AE e calcule o valor da sua norma Dica Use o sistema de eixos coordenados canˆonicos OXY no plano R2 onde um vetor u pode ser representado na forma u ucos θ sin θ onde θ e o ˆangulo formado pelo lado positivo do eixo OX denotado por OX e o vetor u no sentido antihorario Questao 3 35 pontos Considere A B e C pontos tais que AB AC 3 4 e BC 5 4 para responder as seguintes questoes Geometria Analıtica I AD1 12021 a 15 ponto Determine as coordenadas do vetor AC b 10 ponto Calcule o valor de AB AC c 10 ponto Calcule o valor de cos AB AC Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ Considere como referencial o sistema de eixos coordenados OXY no plano R2 com OY na direção do vetor overrightarrowAB e com origem em A 00 Então o ponto B possui coordenadas 06 pois overrightarrowBC 6 Na sequência como os ângulo entre o vetor overrightarrowBC e o sentido negativo do eixo OY é 90 beta e os eixos OX e OY são ortogonais concluímos que o ângulo entre overrightarrowBC e OX é beta Logo overrightarrowBC overrightarrowBCcos beta sin beta 5 35 45 34 Agora observe que como overrightarrowBA overrightarrowDC 0 sabese que o ângulo entre overrightarrowBA e overrightarrowDC é 90 Assim overrightarrowCD mesmo sentido de OX Dessa forma overrightarrowCD overrightarrowCDcos 0 sin 0 overrightarrowDCcos 0 sin 0 310 30 Por fim considerando o alinhamento de overrightarrowCD com OX concluímos que o ângulo entre overrightarrowDC e OX é 180 já que estão em sentidos opostos Logo o ângulo entre overrightarrowDE e OX é dado por alpha Portanto overrightarrowDE overrightarrowDEcos alpha sin alpha 1045 35 86 Logo overrightarrowAE overrightarrowAB overrightarrowBC overrightarrowCD overrightarrowDE 06 34 30 86 1416 A norma de overrightarrowAE por sua vez é dada por overrightarrowAE sqrt142 162 sqrt196 256 sqrt452 2sqrt113 b Inicialmente vamos verificar se Q 01 pertence à circunferência de C Para tal basta verificar se as coordenadas de Q satisfazem a equação 2 como segue 012 122 12 32 19 10 Portanto a igualdade se verifica e consequentemente Q 01 pertence ao contorno do círculo Uma estratégia simples para achar o ponto R consiste em primeiro encontrar um representante do vetor QC que vai de Q ao centro QC C Q 1201 13 Agora multiplicamos o vetor obtido por 2 para obter um representante do vetor QR Tal raciocínio é fundamentado no conhecimento de que o diâmetro mede o dobro do raio de uma mesma circunferência QR 2 QC 213 26 Mas QR RQ Então R 26Q 2601 25 Logo o ponto R procurado tem coordenadas R 25 2 Questão 1 a Defina P xy um ponto genérico do plano Como A 12 e B 00 temos que dPA overrightarrowAP x1 y2 sqrtx12 y22 sqrtx2 2x 1 y2 4y 4 dPb overrightarrowBP x0 y0 sqrtx2 y2 Dessa forma da equação dPA sqrt2dPB obtemos que fracsqrtx2 2x 1 y2 4y 4sqrtx2 2x y2 4y 5 sqrt2 sqrtx2 y2 sqrt2x2 2y2 Elevando ambos os membros da última igualdade ao quadrado obtemos que x2 2x y2 4y 5 2x2 2y2 Rightarrow 2x2 2y2 x2 2x y2 4y 5 0 Rightarrow x2 2x y2 4y 5 1 Encontrando o termo adicional para completar quadrados com relação à parte literal x t1 222 1 Encontrando o termo adicional para completar quadrados com relação à parte literal y t2 422 4 Somando t1 e t2 à ambos os membros da equação 1 x2 2x 1 y2 4y 4 5 1 4 Rightarrow x 12 y 22 10 2 Da equação 2 que correponde à uma circunferência extraímos o centro e o raio procurados dados respectivamente por C 1 2 r sqrt10 Questão 3 a Como overrightarrowAB overrightarrowAC 3 4 e overrightarrowBC 5 4 temos que B A C A 3 4 3 C B 5 4 4 Somando as equações 3 e 4 membro a membro obtemos 2A 2A 80 Rightarrow 2C A 80 Rightarrow C A 40 overrightarrowAC Portanto overrightarrowAC 40 b De posse do vetor overrightarrowAC temos que obter overrightarrowAB para calcular o produto escalar entre esses vetores Como overrightarrowAB overrightarrowAC 3 4 temos overrightarrowAB 3 4 overrightarrowAC 3 4 4 0 1 4 Assim overrightarrowAB overrightarrowAC 1 4 4 0 14 40 4 Portanto overrightarrowAB overrightarrowAC 4 c Seja heta o ângulo entre os vetores overrightarrowAB e overrightarrowAC Calculando as normas dos vetores overrightarrowAB e overrightarrowAC overrightarrowAB sqrt12 42 sqrt1 16 sqrt17 overrightarrowAC sqrt42 02 sqrt16 0 sqrt16 4 portanto cos heta fracoverrightarrowAB overrightarrowACoverrightarrowABoverrightarrowAC frac44sqrt17 frac1sqrt17 fracsqrt17sqrt17 fracsqrt1717