Resumo e Exercícios de Álgebra Matricial - Aula 10

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 10 Álgebra Matricial resumo e exercícios Apresentação Esta aula será dedicada a uma revisão de Álgebra matricial e vários exercícios de todos os métodos ensinados nas aulas anteriores Será apresentada uma introdução básica da Álgebra matricial como tipos de matrizes matriz transposta etc utilizadas para resolver os exercícios passados Objetivos Avaliar seus conhecimentos vistos em todas as aulas anteriores Aplicar vários exercícios Recordar Álgebra matricial Revisão de Álgebra Matricial Uma matriz é definida com números reais ordenados de linhas e colunas como Onde m linha n coluna Dizse que a matriz A é de ordem m x n Quando m é igual a 1 a matriz tem apenas uma linha de elemento e é chamada de matriz linha Tipos de Matrizes Matriz Quadrada Quando o número de linhas m e o número de colunas n são iguais Matriz Simétrica Quando os termos fora da diagonal são refletidos em relação à diagonal principal É simétrica pois a21 2 a13 5 a23 7 ou seja temos sempre aij aji para i j Matriz Identidade ou Unitária Quando todos os elementos da diagonal principal forem iguais à unidade e todos os outros elementos forem zero As matrizes desses tipos são identificadas pelo símbolo I Matriz Transposta Quando os elementos de determinada matriz forem reordenados de tal forma que as colunas da matriz original se tornem as linhas correspondentes da nova matriz A transposta da matriz A é dada pelo símbolo AT Para matrizes com ordem maior do que dois há outra maneira para calcular 𝐴 1 2 3 2 3 4 1 5 2 1 Menor de a 3 4 5 2 6 20 14 11 2 Menor de a 2 4 1 2 4 4 8 12 2 Menor de a 1 2 1 5 5 2 3 23 Matriz Adjunta Recebe o símbolo adjA Para encontrar a matriz adjunta correspondente a uma matriz original A substitua cada elemento de A por seu cofator a matriz adjunta é a transposta dessa matriz resultante 𝐴 1 2 3 2 3 4 1 5 3 𝑎𝑑𝑗 𝐴 11 2 7 9 0 3 1 2 1 𝑇 11 9 1 2 0 2 7 3 1 Aritmética de Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se tiverem a mesma ordem 𝐶 𝐴 𝐴 𝐶 1 2 3 4 5 7 6 8 6 9 9 12 Exemplo Outro exemplo 𝐶 2 3 0 0 1 1 3 1 1 1 1 2 5 4 1 1 0 2 A subtração de duas matrizes é realizada da mesma maneira subtraindo os elementos correspondentes Multiplicação de Matrizes O produto de duas matrizes só existe se as matrizes forem conformes Conformes número de coluna da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B 𝐴 1 2 3 2 𝐵 1 3 2 4 5 3 𝐶 𝐴 X 𝐵 9 13 8 5 1 0 Essa multiplicação foi feita da seguinte forma C 1 1 2 4 9 C 1 3 2 5 13 C 1 2 2 3 8 C 3 1 2 4 5 C 3 3 2 5 1 C 3 2 2 3 0 Se uma matriz A for multiplicada pela matriz identidade admitindo que as matrizes sejam conformes A matriz A permanece inalterada 11 12 13 21 22 23 Matriz Inversa Não existe divisão de matrizes A B Vimos até agora a adição a subtração e a multiplicação de matrizes Bom para a divisão algébrica de matrizes existe uma operação matricial que é o uso da matriz inversa A inversa de uma matriz quadrada A é dada pelo símbolo A 1 A A 1 I Existem muitas técnicas com as quais a inversa pode ser determinada Uma técnica usual é descrita pelas seguintes expressões 𝐴 1 adj A 𝐴 Exemplo 𝐴 1 2 3 2 3 4 1 5 3 𝑎𝑑𝑗 𝐴 11 9 1 2 0 2 7 3 1 A a1 1 A1 1 a2 1 A2 1 a3 1 A3 1 A 1 11 29 1 1 6 𝐴 1 1 6 11 9 1 2 0 2 7 3 1 A A 1 I 𝐴 𝐴 1 1 2 3 2 3 4 1 5 3 1 6 11 9 1 2 0 2 7 3 1 1 6 6 0 0 0 6 0 0 0 6 𝐼 𝐴 1 2 4 2 3 2 3 6 12 Saiba Mais Exercícios resolvidos Exemplo 1 Calcular a deformação da viga isostática na final do balanço seção D Na Figura 1 está a viga com seu carregamento real Dados Seção da viga 030 m x 050 m b x h E 20 x 107 kNm² Solução Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade produto de rigidez à flexão temos Onde I bh³12 0003125 m⁴ El 62500 kNm² 1 Passo Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor Como pode ser visto na Figura 2 2 Passo Calcular a reação de apoio com uma carga de P 1 kN no ponto onde queremos o valor da deformação Método da Carga Unitária Nesse exemplo queremos saber o valor da deformação na seção D final do balanço Figura 3 3 Passo Cálculo de d Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores para cada barra Barra 1 Igual a zero multiplicar parábola do 2 grau com zero 0 Barra 2 Na barra 2 os diagramas de momentos fletores são Na barra onde tem a carga distribuída tem que decompor a figura por não haver essa figura geométrica na tabela de Kurt Beyer Decompondo a figura temos um trapézio menos uma parábola do 2 grau q l2 8 δ frac1E I left frac13 L3 U M M right δ frac1E I left frac13 L3 U M M right δ frac1E I left frac16 L M left MA 2MB right right Exercício 2 Solução 1 N 3º Passo Cálculo de d Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores Multiplicação da parábola do 2º grau com o triângulo Usando a tabela de Kurt Beyer vemos a equação da multiplicação dos dois momentos Observe que a maior altura de um triângulo tem que casar com a maior altura da parábola do 2º grau Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação 14 L MM Colocando a fórmula na integral da deformação temos δ 1E I 14 L MM Onde L 5 m comprimento da barra M 5 kNm momento do triângulo M 375 kNm momento da parábola do 2º grau E I Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia produto de rigidez à flexão A Figura 10 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool Observase que o resultado foi Dy 5971 e2m Figura 10 Resultado do Programa Ftool Deformação Dy 5971 e002m na seção B final do balanço Exercício 3 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo usando o método das forças conforme a Figura 11 Dados Valores de inércia estão nas barras e E 1 x 10 kNm 8 2 Figura 11 Pórtico hiperestático 1º Passo Calcular o grau hiperestático g da viga G I E R G 6 3 1 2 estrutura duas vezes hiperistática X1 e X2 e e Logo o sistema será δ10 δ11 X1 δ12 X2 0 δ20 δ21 X1 δ22 X2 0 2º Passo Sistema Principal S P Escolher uma estrutura isostática e colocar os X1 e X2 Figura 12 3º Passo Calcular o comprimento elástico das barras Como o momento de inércia é 1 em todas as barras logo L L L L JcJ Onde L comprimento elástico L comprimento da barra Jc menor momento de inércia de toda a estrutura J momento de inércia da barra que está estudando Calculando o L das barras Barra 1 L1 360 x 115 240 m Barra 2 L2 335 x 120 168 m Barra 3 L3 539 x 130 180 m Barra 4 L4 250 x 110 250 m 4º Passo Estado 0 só carga Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor M0 com as cargas externas Figura 13 5º Passo Estado 1 só X1 Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor M1 com a carga de 1kN no X1 no hiperestático conforme a Figura 14 6 Passo Estado 2 só X2 Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor M2 com a carga de 1kN no X2 no hiperestático conforme a Figura 15 7 Passo Calculando dos E Jc d Fazer a multiplicação dos momentos fletores de cada barra usando a tabela de Kurt Beyer δ10 Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0 δ10 M1 x M0 Barra 1 L de 240 m com retângulo de 8kNm com trapézio 9079kNm a 7999kNm 12 L M MA MB 12 x 240 x 8 x 7999 9079 1639488 Barra 2 L de 168m com trapézio 8kNm a 5kNm com trapézio 7999kNm a 3125kNm esse trapézio tem de descontar o q28 16 L MA 2 MA MB MB 2MB MA 13 L M MA MB 16 x 168 52 x 3125 7999 82 x 8 5 607443 Barra 3 L de 180 m com triângulo 5kNm com Par do 2º grau tang Horiz de 3125kNm 14 L MM 14 X180 X5 70313 Barra 4 0 δ10 2317244 δ11 Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1 δ11 M1 x M1 Barra 1 L de 240 m com retângulo 8kNm com retângulo 8kNm L M M 240 x 8 x 8 1536 Barra 2 L de 168 m com trapézio 8kNm a 5kNm com trapézio 8kNm a 5kNm 16 L MA 2 M4 MB MB 2MB MA 16 x 168 52 x 5 8 82 x 8 5 7224 Barra 3 L de 180m com triângulo 5kNm com triângulo 5kNm 13 L M M 52 x 5 8 82 x 8 5 7224 Barra 4 0 δ11 24084 δ12 δ21 M1 x M2 1 6 L M MA 2MB 1 6 x 1 80 x 5 x 2 5 2 x 4 5 17 25 Barra 4 0 δ δ 8061 12 21 δ20 M2 x M0 Trapézio com retângulo 1 2 L M MA MB 1 2x 1 68 x 3 x 312 5 799 9 2803 25 Retângulo com par 2º grau 2 3 L M ˉM 2 3 x 1 68 x 3 x 28 06 94 28 Trapézio com triângulo 1 6 L M 2MA MB 1 6 x 1 68 x 1 5 x 2x 312 5 799 9 598 46 Triângulo com par 2º grau 1 3L M ˉM 1 3x 1 68 x 28 06 x 1 5 23 57 Barra 3 L de 180m com Par 2º grau tang Horiz 3125 kN com trapézio 45kNm a 25kNm 1 12 L M MA 3MB 1 12 x 1 80 x 312 5 x 2 5 3 x 4 5 750 Barra 4 0 δ22 M2 x M2 1 6 L MA 2 MA MB MB 2MB MA 1 6 x 1 80 2 5 2 x 2 5 4 5 4 5 2x 4 5 2 5 22 65 Barra 4 L de 250m com triângulo 25kNm com triângulo 25kNm 1 3 L M M 1 3 x2 5x2 5x2 5 5 21 δ 5785 22 8º Passo Sistema Montar o sistema para achar X1 e X2 δ10 δ11 X1 δ12 X2 0 δ20 δ21 X1 δ22 X2 0 23172 44 240 84 X1 80 61X2 0 6415 13 80 61 X1 57 85 X2 0 Resolvendo X1 110 75 kN X2 43 42 kN Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2 Calculamos as reações de apoios Figura 16 e desenhamos os diagramas solicitantes Figura 16 Estrutura hiperestática com os valores das reações de apoios Figura 17 Diagrama de Esforços Normais DEN na estrutura original hiperestática Figura 18 Diagrama de Esforços Cortante DEC na estrutura original hiperestática Figura 19 Diagrama de Momento Fletor DMF na estrutura original hiperestática Araújo Filho Luiz A C Moniz de Notas de aula Disponível em aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm Acesso em 27 fev 2019 Análise estrutural Apêndice B Rio de Janeiro LTC sd