Introdução ao Método Matricial - Teoria das Estruturas II

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 7 Introdução ao Método Matricial Apresentação Os métodos de análise estrutural podem ser divididos em dois grupos analíticos clássicos e numéricos matricial Na formulação clássica desenvolvemse o método das forças o método da deformação e o processo de Cross visto até a aula passada da Aula 2 até a Aula 6 Essa formulação é muito útil para compreender o comportamento da estrutura hiperestática Importante também para a análise crítica de resultados fornecidos por computador Já na formulação matricial a ênfase é a generalização que veremos a partir desta aula Nas últimas décadas houve mudanças nos métodos de análise estrutural usados na Engenharia por conta dos avanços dos computadores processadores Os métodos matriciais forneceram uma linguagem matemática que podem resolver questões complexas de estruturas por meio do computador Atualmente todos os sistemas computacionais comerciais de análise de estruturas fazem uso do método da rigidez direta formulação matricial do método dos deslocamentos Não se projetam mais estruturas com algum grau de complexidade sem fazer uso desses sistemas Objetivos Calcular um vetor matriz dos deslocamentos Calcular um vetor matriz das ações nodais Reconhecer a introdução aos métodos de rigidez e flexibilidade Introdução aos métodos matriciais Antes de mais nada você precisa possuir alguns conhecimentos fundamentais de álgebra matricial Indicamos fazer uma revisão do assunto para poder começar a estudar esta aula e as demais No final da Aula 10 faremos um resumo de álgebra matricial Esta aula é toda baseada nas notas do professor Luiz A C Moniz de Aragão Filho A análise matricial de estruturas é um tópico da disciplina de Teoria das Estruturas na qual as equações que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deformações dependendo do método utilizado das forças ou dos deslocamentos sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para implementação computacional A formulação de um modelo matemático de elementos à estrutura contínua real é a análise matricial de estruturas As operações de álgebra matricial poderão ser realizadas por meio do modelo necessário para obtenção de números de graus de liberdade A Análise Matricial de Estruturas determina os deslocamentos as reações e os esforços solicitantes de estruturas de barras tais como vigas vigas contínuas grelha pórticos planos e espaciais Modelandoas como um arranjo de elementos simples barras unidos através de suas extremidades ou nós Os pontos de intersecção são os nós de uma estrutura reticulada assim como os pontos de apoio e as extremidades livres A estrutura sofrerá deslocamentos sob a forma de translações e rotações quando estiver submetida a cargas em cada nó Os deslocamentos nodais serão identificados devido às condições colocadas nas Em uma estrutura os apoios podem ser modelados como engaste como na Figura 1 no apoio A No apoio D modelase um apoio articulado de 2 gênero E apoios móveis 1 gênero em B e C Em uma estrutura reticulada as cargas podem ser modeladas como ações mecânicas externas cargas concentradas cargas distribuídas e cargas momentos Nas estruturas onde os elementos são conectados por nós a influência necessária entre os elementos livres é introduzida por meio de forças e deslocamentos nos nós comuns Em um sistema estrutural as forças de influência entre os elementos são representadas por forças axiais e cortantes e momentos fletores e torsores nos nós Observe a Figura 2 Se as estruturas forem isostáticas as equações de equilíbrio estático são suficientes para determinar todas as forças todos os momentos fletores e torsores nos nós Já para as estruturas hiperestáticas as equações de equilíbrio estático não são suficientes para determinar todas as forças desconhecidas logo devem ser complementadas com as equações de compatibilidade Ao formular as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos sempre haverá um número suficiente de equações para determinar os deslocamentos desconhecidos de deflexões e rotações Sistemas de coordenadas Para identificar e ordenar matricialmente as forças e os momentos ações mecânicas e os deslocamentos lineares e angulares existentes em uma estrutura montada ou uma estrutura contínua ou nas extremidades de um elemento fica imprescindível a determinação de um sistema de coordenada arbitrária Na Figura 3 a estrutura é submetida a alguns carregamentos pontuais Uma carga pontal de 2kN e outra de 5kN e uma carga momento de 3kNm Escolheuse inicialmente um sistema de coordenadas a fim de analisar os nós B C e D Como pode ser visto na Figura 4 Figura 4 Sistema de Coordenadas Arbitrário O vetor das ações nodais R Após aplicação das cargas Figura 3 a estrutura se deformará e apresentará uma elasticidade como pode ser visto na Figura 5 R 22 0 55 33 Figura 5 Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas monitoradas Os vetores das ações e dos deslocamentos sempre terão quatro termos mesmo que sejam nulos alguns Sempre serão enunciados na ordem em que as coordenadas estiverem numeradas Se quisermos montar um sistema de carregamento mais genérico ou mesmo obter um maior número de deformações poderemos montar outro sistema de coordenadas Veja a Figura 6 A partir da Figura 6 o vetor matriz nodal R será O vetor nodal R será A Figura 7 representa os deslocamentos encontrados após todas as coordenadas monitoradas R 22 0 0 0 55 0 0 0 33 Figura 7 Deformações segundo o novo sistema de coordenadas O vetor dos deslocamentos Logo quanto maior o número de coordenadas maior serão as respostas obtidas sobre o comportamento da estrutura Também será maior o custo computacional para resolver a estrutura R 0 005 0 001 0 002 0 004 0 002 0 001 0 004 0 001 0 003 1 Coordenadas globais caracterizamse pelo sistema de coordenadas apresentado até aqui 2 Coordenadas locais referemse ao sistema de coordenadas referente aos elementos desmontados Um elemento de viga barra considerando forças transversais e desconsiderando forças normais poderia ter inicialmente quatro coordenadas Figura 8a A existência de duas equações de equilíbrio possibilita apenas duas coordenadas como podese ver na Figura 8b e Figura 8c Figura 8 Sistemas de coordenadas para o elemento de viga Na Figura 3 as coordenadas locais do pórtico para a estrutura decomposta serão vistas na Figura 9 Não levando em consideração as forças normais As cargas nas extremidades dos elementos consistem nos esforços existentes nos nós Logo o Vetor dos Esforços representa 8 coordenadas locais S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 Os deslocamentos em cada elemento podem ser escritos pelo Vetor das Deformações deslocamentos locais S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 Para calcular uma estrutura por meio da discretização em elementos será necessário montar dois sistemas de coordenadas Coordenadas Globais para ações R e deslocamentos r nodais da estrutura Coordenadas Locais para os esforços S e deformações deslocamentos s nos elementos da estrutura Introdução aos métodos de rigidez e flexibilidade Relação entre ações e deslocamentos Normalmente a rigidez de um nó é concebida como a força ou o momento exigida para produzir um deslocamento ou uma rotação unitário no nó se o deslocamento for em todos os outros nós da estrutura Com base na Figura 10 o relacionamento entre força aplicada P1 e o alongamento da mola 1 pode ser escrito como P1 K 1 K é a constante da mola ou a força exigida para produzir um deslocamento unitário δ é a deformabilidade da mola geralmente chamada de flexibilidade sendo o deslocamento por unidade de força ou seja é o deslocamento produzido pela aplicação de uma força de valor unitário K P1 se 1 1 Se a constante da mola for conhecida o deslocamento pode ser determinado para qualquer carga aplicada P1 Logo kij Coeficiente de rigidez representa a ação força na direção i causada por um deslocamento unitário na direção j enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos fij Coeficiente de flexibilidade representa o deslocamento na direção i causado por uma ação força de valor unitário na direção j enquanto todas as outras são nulas Ao conhecer R1 e R2 e força por unidade de deslocamento os coeficientes de rigidez K11 K12 K21 e K22 queremos saber o deslocamento r1 e r2 Sendo R1 Força aplicada na coordenada 1 Para se garantir o equilíbrio no nó ela deve ser igual ao somatório das forças internas na coordenada 1 resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura ou seja R1 K11r1 K12r2 Da mesma forma para a coordenada 2 obtémse R2 K21r1 K22r2 Reunindo as equações sob forma matricial obtémse ainda R1 R2 K11 K12 K21 K22 r1 r2 R K r Onde R é o vetor das ações externas solicitações r é o vetor dos deslocamentos K é matriz de rigidez da estrutura em estudo de dimensões 2x2 correspondente ao número de coordenadas utilizadas A matriz de rigidez é uma matriz de transformação linear onde transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações Deslocamento em função das forças Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força os coeficientes de flexibilidade f11 f12 f21 e f22 queremos saber o deslocamento r1 e r2 No regime elásticolinear o deslocamento final na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas externas r1 f11 R1 f12 R2 Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força os coeficientes de flexibilidade f11 f12 f21 e f22 queremos saber o deslocamento r1 e r2 No regime elásticolinear o deslocamento final na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas externas r1 f11 R1 f12 R2 Fazendo para a coordenada 2 r2 f21 R1 f22 R2 Logo as equações sob forma matricial são R r F R r1 r2 f11 f21 f12 f22 R1 R2 Referências Você verá a seguir exemplos envolvendo as figuras trabalhadas com métodos matriciais Exemplo 1 Para a estrutura da Figura 11 submetida a determinado carregamento escolheuse inicialmente o sistema de coordenadas apresentado na Figura 12 a fim de assinalar as solicitações nos nós B C e D Figura 13 Sistema de Coordenadas Arbitrário Logo temse as coordenadas e quando a estrutura for submetida às cargas o vetor matriz nodal R será R 12 0 15 13 Exemplo 2 Ao se aplicar o carregamento indicado Figura 11 a estrutura se deformará apresentando uma elástica conforme aponta a Figura 13 A partir da Figura 13 qual será o vetor matriz dos deslocamentos Figura 14 Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas monitoradas Notas de Aula Luiz A C Moniz de Aragão Filho Logo o vetor matriz de deslocamento r será r 0 006 0 003 0 002 0 004 Exemplo 3 Ao se desejar representar um sistema de carregamentos mais genérico ou mesmo obter um maior número de deformações do domínio da estrutura poderemos estabelecer outro sistema de coordenadas conforme Figura 14 A partir da Figura 14 o vetor matriz nodal R será Figura 15 Sistema de coordenadas alternativo Notas de Aula Luiz A C Moniz de Aragão Filho Logo o vetor matriz nodal R será r 12 0 0 0 15 0 0 0 13 Exemplo 4 Diante dos deslocamentos indicados Figura 15 a estrutura se deformará apresentando uma elástica A partir da Figura 15 qual será o vetor matriz dos deslocamentos Figura 16 Deformações segundo o novo sistema de coordenadas Logo o vetor matriz de deslocamento r será r 0 005 0 001 0 002 0 004 0 002 0 001 0 004 0 001 0 001 Atividades 1 Obter o vetor nodal da estrutura abaixo 2 Obter o vetor nodal da estrutura abaixo com o maior número de deformações do domínio da estrutura 3 Obter o vetor dos deslocamentos da estrutura abaixo Notas Referências ARAGÃO Filho Luiz A C Moniz de Notas de aula Disponível em aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm Acesso em 27 fev 2019 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 9 Rio de Janeiro Elsevier sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 22 Rio de Janeiro LTC sd SORIANO Humberto Lima Análise de estruturas formulação matricial cap 1 Rio de Janeiro Ciência Moderna sd Próxima aula Matriz de Flexibilidade e Matriz de Rigidez Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Rigidez Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Flexibilidade Explore mais Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula acesse aquariusimeebbrmonizpdf aquariusimeebbrmonizpdf aquariusimeebbrmoniz aquariusimeebbrmoniz Leia MCCORMAC J C Análise estrutural Cidade LTC 2009 cap 22 Onde R vetor das ações externas solicitações r vetor dos deslocamentos F matriz de flexibilidade da estrutura com dimensões 2x2 correspondente ao número de coordenadas utilizadas