Aula sobre Lajes Maciças de Concreto Armado: Momentos Fletores e Cálculos

Disciplina Estruturas Concreto II Professor Tatyanne Pacifico dos Santos Estudo das lajes maciças de concreto armado Conteúdo da aula Momentos fletores solicitantes Laje armada em uma direção Laje armada em duas direções Reações de apoio 2 Lajes Momentos Fletores Solicitantes Os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é armada em uma ou em duas direções As lajes armadas em uma direção são calculadas como vigas segundo a direção principal E as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas diferentes teorias como a Teoria da Elasticidade e a das Charneiras Plásticas 3 Lajes Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Uma Direção 4 A flexão na direção do menor vão é preponderante à da outra direção de modo que a laje será suposta como uma viga com largura constante de um metro 100 cm segundo a direção principal da laje Na direção secundária desprezamse os momentos fletores existentes Laje Armada em Uma Direção Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Uma Direção 5 Casos de vinculação possíveis para apoios simples e engastes perfeitos Laje Armada em Uma Direção Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Uma Direção 6 As lajes em balanço como as lajes de marquises e varandas são também casos típicos de lajes armadas em uma direção que devem ser calculadas como viga segundo a direção do menor vão Laje Armada em Uma Direção Momento Máximo 𝑀𝑚á𝑥 𝑞𝐿2 2 Flecha máxima 𝑎𝑖 𝑞𝐿4 8𝐸𝐼 Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Uma Direção 7 No caso de lajes contínuas armadas em uma direção com duas bordas livres o cálculo pode ser feito supondo viga contínua com largura de um metro na direção dos vãos dos apoios Laje Armada em Uma Direção Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Uma Direção 8 Para a obtenção dos esforços e flechas máximas nas lajes devese decompor o carregamento total em carregamento permanente e carregamento variável Os esforços solicitantes máximos podem ser obtidos aplicandose os carregamentos nas lajes separadamente sendo o primeiro o carregamento permanente e em seguida o carregamento variável Os esforços finais são somados obtendose assim os esforços desfavoráveis máximos Laje Armada em Uma Direção Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 9 O cálculo é bem mais complexo se comparado ao das lajes armadas em uma direção Sob a ação do carregamento a laje apoiase no trecho central dos apoios e os cantos se levantam dos apoios Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 10 Se a laje estiver ligada a vigas de concreto ou se existirem pilares nos cantos o levantamento da laje fica impedido Isso faz surgir momentos fletores nos cantos negativos que causam tração no lado superior da laje na direção da diagonal e positivos na direção perpendicular à diagonal que causam tração no lado inferior da laje Laje Armada em Duas Direções Os momentos nos cantos são chamados momentos volventes ou momentos de torção e recebem a notação de Mxy Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 11 Nos cantos os momentos principais desviamse por influência dos momentos volventes No centro da laje os momentos principais desenvolvemse perpendicularmente às bordas e nos cantos com ângulos de 45 Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 12 Teorias para calcular os esforços solicitantes e as deformações nas lajes armadas em duas direções a Teoria das Placas desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade podem ser determinados os esforços e as flechas em qualquer ponto da laje b Processos aproximados c Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas d Métodos Numéricos como o dos Elementos Finitos de Contorno etc Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 13 A Teoria das Placas desenvolvida com base na teoria matemática da elasticidade onde o material é elástico linear vale a Lei de Hooke homogêneo e isótropo proporciona a equação geral das placas equação diferencial de quarta ordem não homogênea obtida por Lagrange em 1811 que relaciona a deformada elástica w da placa com a carga p unitária uniformemente distribuída na área da placa A equação tem a forma Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 14 A solução da equação geral das placas é tarefa muito complexa o que motivou o surgimento de diversas tabelas de diferentes origens e autores com coeficientes que proporcionam o cálculo dos momentos fletores e das flechas para casos específicos de apoios e carregamentos Há diversas tabelas de autores como Czerny StiglatWippel Bares Szilard etc De modo geral abrangem os casos de lajes retangulares triangulares circulares apoiadas em pilares com bordas livres etc sob carregamento uniforme e triangular Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 15 Nesta disciplina serão utilizadas as tabelas desenvolvidas por Barés e adaptadas por PINHEIRO 1994 As tabelas servem para o cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares com apoios nas quatro bordas Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Laje Armada em Duas Direções 16 Conforme as tabelas de Barés os momentos fletores negativos ou positivos são calculados pela expressão Laje Armada em Duas Direções Momentos Fletores Solicitantes Compatibilização de Momentos Fletores 17 Laje Armada em Duas Direções Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras os momentos fletores negativos em uma borda comum a duas lajes contínuas são geralmente diferentes Momentos Fletores Solicitantes Compatibilização de Momentos Fletores 18 Laje Armada em Duas Direções A NBR 6118 item 14762 permite que seja feita uma compatibilização dos momentos fletores negativos Quando houver predominância de cargas permanentes as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas realizandose a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada No caso de análise plástica a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão em procedimento iterativo até a obtenção de valores equilibrados nas bordas Permitese simplificadamente a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum Momentos Fletores Solicitantes Compatibilização de Momentos Fletores 19 Laje Armada em Duas Direções Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização onde o momento fletor negativo X de duas lajes adjacentes é tomado como Momentos Fletores Solicitantes Compatibilização de Momentos Fletores 20 Laje Armada em Duas Direções Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados quando for o caso Se ocorrer diminuição do momento fletor alívio este não é considerado sendo desprezado A compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas direções da laje Momentos Fletores Solicitantes Momentos Volventes 21 Laje Armada em Duas Direções Devem ser dispostas armaduras convenientemente calculadas Momentos Fletores Solicitantes Momentos Volventes 22 Laje Armada em Duas Direções Devem ser dispostas armaduras convenientemente calculadas Reações de Apoio 23 Lajes No caso das lajes armadas em uma direção as reações de apoio são provenientes do cálculo da viga suposta Considerase que as cargas na laje caminhem para as vigas nas bordas perpendiculares à direção principal da laje Reações de Apoio 24 Lajes Nas outras duas vigas laterais a favor da segurança podese considerar uma carga uniforme referente à área do triângulo adjacente à viga como mostrada na área hachurada da Figura com valor Reações de Apoio 25 Lajes A NBR 6118 item 14761 prescreve que Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações a as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios de 1474 sendo que essas reações podem ser de maneira aproximada consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio b quando a análise plástica não for efetuada as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas a partir dos vértices com os seguintes ângulos 45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio considerado engastado se o outro for considerado simplesmente apoiado 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Reações de Apoio 26 Lajes A Figura mostra o esquema prescrito pela norma onde cada viga de apoio da laje receberá a carga que estiver nos triângulos ou trapézios a ela relacionada Reações de Apoio 27 Lajes As reações são calculadas pela equação Exemplo 28 Lajes Maciças Na Figura 1 está mostrada a planta de arquitetura simplificada do apartamento de um pavimento com a disposição das paredes divisórias de alvenaria Na Figura 2 está mostrada uma planta de fôrma também simplificada da estrutura do pavimento O objetivo deste exemplo é ilustrar os cálculos manuais que devem ser feitos para o dimensionamento das lajes maciças do pavimento Figura 1 Figura 2 Exemplo 30 Lajes Maciças Para o projeto das lajes maciças as seguintes informações devem ser consideradas espessura média de 3cm para o contrapiso camada de regularização e peso específico da argamassa argcontr de 21 kNm³ espessura média de 2cm para o revestimento da face inferior das lajes e peso específico da argamassa argrev de 19 kNm³ piso final com peças cerâmicas de peso específico 015 kNm² em toda a área de piso do pavimento paredes com blocos cerâmicos com furos horizontais de dimensões 9 x 19 x 19cm com peso específico alv de 13 kNm³ Todas as paredes externas têm espessura final de 23cm e todas as paredes internas têm espessura final de 13cm altura de 28m para as paredes A carga variável na laje L1 em balanço é q 25 kNm² varanda com acesso público e as demais lajes ver Tabela 10 da NBR 6120 concreto C25 com brita 1 de granito aços CA50 e CA60 todas as vigas com largura de 20cm Classe de Agressividade Ambiental II espessura mínima do cobrimento c 20 cm com Δc 5 mm ver Tabela da CAA coeficientes de ponderação c f 14 s 115