Trabalho de Álgebra Linear 2

Exercício Ache as multiplicades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz i A 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 ii B 4 0 1 2 2 1 4 0 0 Exercício 1 Seja A 1 0 0 1 1 2 0 1 2 1 2 0 3 2 0 3 Calcule o determinante de A usando o desenvolvimento de Laplace a pela primeira linha b pela terceira coluna Exercício Os vetores uab e vcd são paralelos se adbc é verdade pois Se a0 então b0 logo b0 e nesse caso u00 é paralelo a qualquer vetor ou c0 e nesse caso é claro que 0b é paralelo a 0d Se a0 percebe que ca R e ca u ca ab c b ca c a da cd v logo u e v são paralelos Exercício N3 u 1 0 ν2 12 1 1 1 3 1 0 12 11 10 11 10 12 1 1 ν3 12 1 1 1 3 12 1 1 12 11 11 11 11 12 0 2 0 1 ν4 12 1 1 1 3 0 1 12 10 11 10 11 12 1 1 ν5 12 1 1 1 3 12 1 1 12 11 11 11 11 12 2 0 1 0 ν6 12 1 1 1 3 1 0 12 11 10 11 31 12 1 0 ν7 12 1 1 1 3 12 1 0 12 11 10 11 10 12 1 1 Exercício a A matriz 1 1 1 1 pois 1 1 1 1 1 1 11 11 11 11 2 2 2 1 1 b A rotação de 90 0 1 1 0 não tem autovetores pois cada vetor vai girar e não tem como ser levado num outro paralelo a ele c A matriz identidade 1 0 0 1 pois 1 0 0 1 a b a b Exercício 1 a 3 0 0 1 1 2 0 1 2 1 2 0 3 2 0 3 1141 2 0 1 1 2 0 2 0 3 4114 4 2 0 2 1 2 3 2 0 223 122 223 122 12 4 12 4 0 b 3 0 0 1 1 2 0 1 2 1 2 0 3 2 0 3 2133 0 0 1 1 2 1 3 2 3 2123 112 123 112 26 2 6 2 20 0 Exercicio 2 det D λ₁ λ₂ 0 0 0 λ₃ 0 0 0 λₙ λ₁ λ₂ λ₃ 0 0 0 λ₄ 0 0 0 λₙ repetindo recursivamente n vezes λ₁ λ₂ λ₃ λₙ Exercicio 1 Os autovalores de M são as soluções de 1 λ 1 3 a λ 0 1 λa 1 13 0 a 1 λa λ² 3 0 λ² a 1λ a 3 0 Δ a 1² 43a 3 a 1² 4a 3 a 1a 3 a Δ 0 a 1a 3 0 1 a 3 logo a 1 3 b Δ 0 a 1a 3 0 a 1 ou a 3 c Δ 0 a 1a 3 a 1 ou a 3 logo a 1 3 Exercicio 2 2 2 1 3 3 1 1 0 5 5 6 1 2 λλ6 λ 315 3λ5 316 λ λ³ 4λ² 3 λ 1x² 3x 3 b A possui o autovalor real apenas o 1 pois em x² 3x 3 só há raízes complexas em particular 2 raízes complexas distintas Exercício 11 3 0 0 3 11 0 0 11111 11 0 0 0 0 11 2 0 0 1 41 0 0 1 41 3 132 3 0 0 0 11 2 0 1 41 111111411121 3311413 2 1 11λ34λ2λ6 3λ2 5λ 6 λ 22 λ 3λ 4 Logo os autovalores são λ 2 λ 3 e λ 4 Para λ 2 temos os autovetores 1 1 0 0 e 0 0 2 1 Para λ 3 temos o autovetor 0 0 1 1 Para λ 4 temos o autovetor 1 1 0 0 Exercício 1 Que u e v são vetores com duas entradas e são LD logo uλv λℝ 2 A matriz que rotaciona em 90º 0 1 1 0 3 As coordenadas do quadrado unitário são 00 10 01 11 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 01 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 e 1 0 0 01 1 1 0 logo vira o segmento 00 10 Exercício i 2λ 0 0 0 0 1λ 0 0 0 0 1λ 2 0 0 2 1λ0 2λ1λ1λ 2 2 1λ2λ1λ13110 λ1 os autovetores são 1 0 0 e 0 0 1 λ2 o autovetor é 1 0 0 λ3 o autovetor é 0 0 1 Logo λ1 tem multiplicidades algébrica e geométricas igual a 2 λ2 iguais a 1 e λ3 iguais a 1 ii 4λ 0 1 2 2λ 1 4 0 λ4λ2λλ12λ42λ4λλ²42λ³ λ2 os autovetores são 12 0 1 e 0 1 0 Logo λ2 tem multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2 Exercício 1 Determine os valores de a para os quais a matriz M 1 1 1 a a não possui autovalores reais b possui dois autovalores iguais c possui dois autovalores distintos Exercício Considere A 12 1 1 1 1 e u 1 0 Se v1 u calcule e plote os vetores vk1 Avk para k 1 2 7 Exercício Encontre uma matriz de ordem 2 tal que a 1 1 e 2 sejam respectivamente autovetor e autovalor dessa matriz b não possua autovetores c todo vetor nãonulo é autovetor da matriz Exercício 2 Considere a matriz A 2 3 3 1 0 0 5 5 6 a encontre na forma fatorada o polinômio caraterístico de A b verifique que A possui dois autovalores distintos Exercício 2 Uma matriz D λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λn é chamada de matriz diagonal Calcule o determinante de A usando o desenvolvimento de Laplace FIM Exercício 1 O que se pode afirmar sobre os vetores u e v se detuv 0 2 Dê um exemplo de matriz que leve um quadrado sobre outro quadrado 3 Em que é transformado o quadrado unitário por A 1 0 0 0 Exercício Decida sobre a veracidade da afirmação Os vetores u ab e v cd são paralelos se ad bc Exercício Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz a seguir A 1 3 0 0 3 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 4