Prova de Álgebra Linear - Avaliação sobre Vetores, Produtos Internos e Dependência Linear

Primeira Avaliação parte A Instruções Justifique todas as suas respostas Matenha organização e use letra legível você não pode digitar suas soluções Consulte livros internet monitoria e etc sempre que julgar necessário Não reproduza a lista de outrem somente o primeiro a entregar obterá a pontuação No ato da entrega ocorrerá uma entrevista arguição acerca das soluções entre gues aleatoriamente Problemas 1 Avalie argumentando a igualdade 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 Defina o conceito de produto interno em Rn Exiba dois vetores 7dimensionais sem componentes nulas cujo produto interno é 0 3 Como calcular a norma de um vetor em Rn Exiba um vetor 8dimensional cuja norma é igual a 2 4 Dê um exemplo de vetor unitário em Rn cujas componentes são todas diferentes de 0 5 Como é definido o ângulo entre dois vetores em Rn Exiba dois vetores em R6 cujo o ângulo entre eles é igual a π 4 1 6 Se a0011 b1201 e c2100 determine o vetor x considerando que a x 0 b x 0 e c x cx 7 Suponha que os vetores a1 e a2 sejam combinações lineares de b1 e b2 Se c é combinação linear de b1 e b2 mostre que c é combinação linear de a1 e a2 8 Determine o maior ângulo do triângulo ABC onde A0120 B 0101 e C 1 0 0 1 são pontos de R4 9 Defina o conceito de projeção ortogonal de um vetor sobre outro A seguir determine qual múltiplo de x 1 1 1 1 é mais próximo de y 2 4 4 0 10 Defina a noção de distância entre vetores Dos vetores a seguir quais são os dois mais próximos Justifique u 18 20 37 47 v 06 21 19 14 e w 20 19 40 46 11 Como pode ser definido o posto de uma matriz Construa uma matriz 57 cujo posto é 2 12 A lista de vetores u 1 2 3 4 v 6 2 9 14 e w 7 6 33 48 é LI ou LD Justifique 13 Um dos vetores da lista v1 v2 vk Rn é nulo O que se pode afirmar sobre essa lista LD ou LI Explique 2 14 O que é uma base para um subespaço vetorial Qual é a base canônica do espaço vetorial Rn Qual a dimensão de Rn Por quê 15 Determine o ângulo entre o vetor ndimensional x 1111 e os vetores canônicos ndimensionais Esses vetores são LI ie a lista formada por x e os vetores da base canônica 16 Decida justificadamente se os vetores 1120 0111 1011 formam uma base para o subespaço vetorial W xyzt R4 x y z 0 17 Exiba um subespaço vetorial de R4 cuja dimensão é igual a 2 apresentando justificadamente uma base para esse esse subespaço 19 Se A a b c d uma matriz 2 2 qualquer mostre que Aαx βy αAx βAy para quaiquer vetores x x1 x2 e y y1 y2 no plano e quaisquer escalares α e β reais 20 Ache usando posto de matrizes uma condição envolvendo ab e c para que o sistema abaixo tenha solução x y z t a 5y 2z 4t b 3x 2y z t c A seguir encontre uma solução para o sistema Essa solução é única