Algebra Linear CEFETRJ 2023 Vetores - Conceitos e Operacoes

Algebra Linear Andre Cordeiro CEFETRJ 2023 Tópico 1 Vetores Um vetor é uma lista finita e ordenada de números reais x1 x2 xn vetor linha e x1 x2 xn vetor coluna são exemplos de vetores Exemplo Considere a seguinte grade de resultados notas em matematica Estudante Teste 1 Teste 2 Teste 3 Luciano Xavier 78 84 87 Mateus Deluca 85 76 89 Rose Martins 93 88 94 Cleber Souza 89 94 95 Jennifer Lopez 62 79 87 Interprete cada vetor linhacoluna definidos Componentes Cada número xi em x1 x2 xn ou x1 x2 xn é chamado de componente do vetor Notacao y y1 y2 y3 ou y y1 y2 y3 Transposição coluna linha O transposto do vetor coluna x x₁ x₂ xₙ é o vetor linha definido por xᵀ x₁ x₂ xₙ Transposição linha coluna O transposto do vetor linha x x₁ x₂ xₙ é o vetor coluna definido por xᵀ x₁ x₂ xₙ Igualdade vetores linha Escrevese x x₁ x₂ xₙ y₁ y₂ yₙ y se e somente se x₁ y₁ x₂ y₂ xₙ yₙ Similarmente dois vetores coluna são iguais se são iguais componente a componente Cada componente representa uma parte específica da informação e um reordenamento representa um vetor diferente O espaco ndimensional O espaco ndimensional denotado por Rn e definido por Rn x1 x2 xn xi R para i 1 2 n Em outras palavras Rn e o conjunto das listas ordenadas vetores coluna de tamanho n n e a dimensao do espaco Adicao de vetores Suponha que as componentes dos vetores em R4 v A 322 283 304 292 e v B 187 203 194 207 representam a receita de uma empresa em milhares de reais corres pondentes as vendas dos itens Ae Bdurante 4 semanas seguidas Motivacao adicionando vetores v A v B 322 283 304 292 187 203 194 207 509 486 498 499 Qual a interpretacao da adicao v A v B O que representa a soma das componentes do vetor v A v B Operacoes vetoriais Para x x1 x2 xn e y y1 y2 yn em Rn e λ em R definese Adição vetorial Rn Rn Rn xy x y em que x y x₁ y₁ x₂ y₂ xₙ yₙ a adição vetorial é uma operação binária interna e fechada Multiplicação por real escalar R Rn Rn λ x λx em que λx λx₁ λx₂ λxₙ a multiplicação por real é uma operação binária externa e fechada Mais definicoes vetor nulo o 0 0 0 inverso simetrico x x1 x2 xn x 1x Contextos Suponha que o vetor v 1850 24 1595 em R3 representa os preços em reais de três itens de uma indústria Defina vI o vetor de impostos vI 00725 1850 24 1595 007251850 0072524 007251595 134 174 116 Nesse contexto interprete o significado do vetor v vI 1αv Vetores geometricos fısica e engenharia Vetores quantidades que tem magnitute e direcao Ilustracao vetor generico no R3 Em R3 o vetor a b c pode ser interpretado visualizadorepresentado como uma seta co nectando a origem 0 0 0 ao ponto a b c no sistema cartesiano tridimensional a b c abc x y z Visualização geométrica R2 2 3 2 3 1 2 1 2 3 4 3 4 Identificação natural x1 x2 xn vetor ndimensional x1 x2 xn ponto ndimensional Exercıcios aplicados a Suponha que a cada pessoa associese um vetor do R3 tendo as seguintes componentes altura peso e idade Faz sentido somar os vetores associados a pessoas diferentes Faz sentido multiplicar um desses vetores um por escalar b A cada dia um analista de investimentos registra os altos e baixos do preco das acoes da Microsoft O analista armazena os dados para uma determinada semana em dois vetores de R5 o vetor v H fornece as altas diarias enquanto o vetor v L fornece as baixas diarias Encontre um expressao vetorial que fornece os valores medios diarios do preco das acoes da Microsoft durante toda a semana de 5 dias uteis Propriedades algebricas Para quaisquer vetores x y e z em Rn e quaisquer numeros reais α e β vale que 1 x y y x 2 x y z x y z 3 x o x 4 x x o 5 αβ x α βx 6 αx y αx αy 7 α β x αx βx 8 1 x x Justificando 1 Seja x y Rn tais x x1 x2 xn e y y1 y2 yn Temse x y x1 y1 x2 y2 xn yn y1 x1 y2 x2 yn xn y1 y2 yn x1 x2 xn y x A igualdade ocorre devido a comutatividade da soma de numeros reais aplicada a soma das componentes Justificando 3 Se x x1 x2 xn Rn temse x o x1 x2 xn 0 0 0 x1 0 x2 0 xn 0 x1 x2 xn x Complete a demosntracao das outras propriedades Tópico 2 Produto entre vetores O vetor 1235 985 1050 3460 expressa os precos de quatro produtos diferentes em euros libras esterlinas dolares australianos e pesos mexicanos respectivamente Como podemos usar vetores para encontrar o total dos quatro precos em dolares americanos Preço em dólares Suponha que 1 euro 146420 1 libra esterlina 183637 1 dólar australiano 083580 e 1 peso mexicano 009294 p 1235 985 1050 3460 vetor de preços 146420 183637 083580 009294 vetor de conversão c Produto interno Se x x1 x2 xn e y y1 y2 yn sao vetores em Rn entao o produto interno de x and y denotado por x y e definido por x y x1y1 x2y2 xnyn Operação binária ℝⁿ ℝⁿ ℝ x y x y O produto interno é uma operação binária e interna isto é age sobre um par de vetores em ℝⁿ e tem como resultado um número real Circunstancialmente o produto interno entre os vetores x e y é denotado por x y Vantagens notacionais A equacao linear a1x1 a2x2 anxn b pode ser representada como a x b em que a a1 a2 an e o vetor de coeficientes e x x1 x2 xn o vetor de incognitas ou variaveis Norma Em ℝ² vnorma de v x yᵀ x² y² v v Em ℝ³ vnorma de v x y zᵀ x² y² z² v v Geometria y₁ v v x₁² y₁² x₁ x₁ y₁ᵀ Norma em ℝⁿ Se x x₁ x₂ xₙᵀ é um vetor em ℝⁿ então a norma de x é definida por x x₁² x₂² xₙ² x x A norma é uma quantidade escalar nãonegativa Por quê Norma de vetores em R4 e R5 v 1 2 3 4 R4 v sqrt12 22 32 42 sqrt30 w 5 1 2 0 4 R5 w sqrt52 12 22 02 42 sqrt46 Propriedades algebricas Se v u w sao vetores em Rn and k e um numero real entao 1 v v 0 e v v 0 v o 2 v u u v 3 v u w v w u w 4 v u w v w u w 5 kv u v ku kv u 6 kv kv Exercıcio demonstre as propriedades 12345 e 6 Ângulo entre vetores motivação Diagram of vectors u and v in 2D plane with angles theta A and B marked Calculando o ˆangulo Seja θ A B Entao cos θ cosA B cos A cos B sin A sin B v1 v u1 u v2 v u2 u u1v1 u2v2 uv u v uv ˆAngulo entre vetores definicao Se x x1 x2 xn e y y1 y2 yn sao vetores em Rn entao o ˆangulo formado pelos vetores x e y denotado por θ e definido pela equacao x y xy cos θ sendo 0 θ π Ângulo entre dos vetores no R3 u 1 sqrt3 2 e v 2sqrt3 2 sqrt3 cos theta uvu v 1 sqrt3 2 2sqrt3 2 sqrt31 sqrt3 2 2sqrt3 2 sqrt3 6sqrt3sqrt8 sqrt19 3sqrt3sqrt38 3sqrt11438 Desigualdade de CauchySchwarz Se x x1 x2 xn e y y1 y2 yn sao vetores em Rn entao x y xy Justificando Observe que a funcao quadratica f t x ty x ty e naonegativa para todo t R Isto implica que o discriminante de f isto e f 4x y2 4x2y2 e negativo Daı decorre a desigualdade desejada a igualdade vale se e somente se os vetores sao paralelos Desigualdade de Cauchy alternativa Para quaisquer vetores x y Rn tais que x y 1 vale que x y2 x2 2x y y2 2x y 1 0 e x y2 x2 2x y y2 2x y 1 0 Logo x y 1 Para o caso geral considerar xx e yy na desigualdade acima Note que a igualdade vale se e somente se x y Desigualdade do triˆangulo Se x x1 x2 xn e y y1 y2 yn sao vetores em Rn entao x y x y Desigualdade do triˆangulo visualizacao no R2 Ortogonalidade Os vetores x e y em Rn sao chamados ortogonais se x y 0 Os vetores em R5 u 1 2 3 4 5 e v 10 4 1 1 5 sao ortogonais pois u v 10 8 3 4 25 0 o vetor nulo e ortogonal a qualquer vetor Geometria As diagonais de um losango sao ortogonais possui quatro lados de iguais medidas Justificando Basta verificar que os vetores w v e w v sao perpendiculares w v w v w v w w v v w w v w w v v v w2 v2 0 w v Projecao ortogonal Sejam u e v sao vetores em Rn em que u o A projecao orto gonal de v sobre u e o vetor definido por puv u v u u u Visualização no plano proju v v u Propriedades Interprete e prove as seguintes propriedades 1 u v puv 0 2 puv puv o 3 pupuv puv Tópico 3 Combinacao Linear Sejam os vetores v 1 v 2 v k Rn Se a1 a2 ak R o vetor v a1v 1 a2v 2 akv k e chamado de combinacao linear dos vetores v 1 v 2 v k Visualização c1v1 c2v2 c2v2 v2 c1v1 v1 Vetores canônicos no R2 Qualquer vetor v x y R2 é combinação linear dos vetores e1 1 0 e e2 0 1 De fato v xe1 ye2 Geometricamente vetores canônicos Vetores canˆonicos no R3 Qualquer vetor v x y z R3 e combinacao linear dos vetores e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 De fato v xe1 ye2 ze3 Span O span dos vetores v1 v2 vk Rn é o conjunto definido por spanv1 v2 vk i1k ai vi ai R i 1 k Isto é o conjunto das combinações lineares dos v1 v2 vk Vetores canˆonicos no Rn x x1 x2 xn em Rn arbitrario e1 1 0 0 e2 0 1 0 en 0 0 1 x x1e1 x2e2 xnen vetores canˆonicos do Rn Exemplo Dado v x y ℝ² o spanv é o conjunto de todos os múltiplos de v ie spanv av a x y a ℝ Visualizando geometricamente O span de um unico vetor nao nulo e uma reta pela origem Qual e o gerado dos vetores v e w O span de dois vetores naoparalelos e um plano pela origem Situaçãoes Exemplo span 1 2 3 6 4 8 a 1 2 b 3 6 c 4 8 abc ℝ a 3b 4c 2a 6b 8c abc ℝ λ 2λ λ ℝ equação vetorial de uma reta pela origem no plano Exemplo span 1 3 2 2 4 1 1 5 7 a 1 3 2 b 2 4 1 c 1 5 7 a b c R x y z R3 11x 5y 2z 0 plano no R3 Exemplo 1 Verifique que os vetores 1 1 1 0 1 1 0 0 1 geram R3 2 Verifique que os vetores u 1 1 0 v 2 5 3 e w 0 1 1 nao geram o R3 Teorema Sejam v 1 v 2 v k Rn i u spanv 1 v 2 v k se e somente se a condicao spanv 1 v 2 v k spanu v 1 v 2 v k e satisfeita ii se v j v j αv i α R entao spanv 1 v 2 v i v j v k spanv 1 v 2 v i v j v k Subespacos vetoriais Um subconjunto H de Rn que possui as trˆes propriedades a seguir i o H ii u v H u v H iii u H λ R λu H e chamado de subespaco vetorial contem o vetor nulo e fechado para adicao e fechado para multiplicacao por real Exemplos visualizacao Nenhum dos subconjuntos da figura acima e subespaco vetoriail Exemplos a H o b H Rn c H tu t R com o u Rn d H x Rn a x 0 com o a Rn Exercıcio Prove que se v 1 v 2 v k sao vetores em Rn entao spanv 1 v 2 v k e um subespaco vetorial de Rn chamado de subespaco gerado pelos vetores v 1 v 2 v k Independˆencia linear Os vetores v 1 v 2 v k Rn sao ditos linearmente independen tes se a condicao a1v 1 a2v 2 akv k o a1 a2 ak 0 e satisfeita Caso contrario esses vetores sao ditos linearmente dependentes Exemplo Os vetores 1 2 1 1 1 0 e 1 3 1 sao LI Resolva a equacao vetorial a1 1 2 1 a2 1 1 0 a3 1 3 1 0 0 0 para concluir que a1 a2 a3 0 Logo os vetores sao LI Exemplo Verifique que os vetores a seguir LD v 1 1 0 1 2 v 2 2 1 1 1 e v 3 1 1 0 1 A equacao vetorial c1v 1 c2v 2 c3v 3 0 possui infinita solucoes Por quˆe Conclusao Exemplo Suponha que u v w Rn Mostre que se a lista u v w e LI entao a lista u v v w u w tambem e LI Sejam c1 c2 c3 R tais que c1u v c2v w c3u w 0 Conclua que c1 c2 c3 0 Tópico 4 Base Seja H Rn um subespaco vetorial Os vetores v 1 v k Rn formam uma base para H se as propriedades i Os vetores v 1 v k sao LI ii Os vetores v 1 v k geram H sao satisfeitas spanv 1 v k H Base canˆonica no Rn Os vetores e1 1 0 0 e2 0 1 0 en 0 0 1 Rn formam uma base para Rn Por quˆe Exemplo Considere o plano dado por H x R³ x₁ x₂ 2x₃ 0 Os vetores v₁ 1 1 0T e v₂ 2 0 1T geram H Como esses vetores não são paralelos eles são linearmente independentes LI Logo formam uma base para H Teorema Se os vetores v 1 v k constituem uma base para o subespaco vetorial H entao todo vetor de H admite uma unica representacao como combinacao linear de vetores em H Isto e se v H entao existem unicos a1 a2 ak R tais que v a1v 1 a2v 2 akv k Os coeficientes a1 a2 ak sao chamados de coordenadas do vetor v com respeito a base em questao as coordenadas de um vetor na base canˆonica coincidem com suas componentes Teorema Se a lista de vetores v 1 v 2 v k Rn e uma base do subespaco vetorial H Rn entao qualquer outra base para H possui tambem k vetores O inteiro k e dito ser a dimensao de H isto e o numero de vetores de uma base qualquer de H Notacao dim H k se H o definese dim H 0 Exemplo a A dimensão de H Rⁿ é n b A dimensão de H x R³ x₁ x₂ 2x₃ 0 é 2 c A dimensão de H tu t R com o u R⁵ é 1 d A dimensão de H x Rⁿ a x 0 com o a Rⁿ é n 1 Propriedades dimensao Seja H Rn um subespaco vetorial e v 1 v 2 v p H Se dim H k sao validas 1 Se os vetores v 1 v 2 v p geram H entao p k 2 Se os vetores v 1 v 2 v p sao LI entao p k Teorema Seja H Rn um subespaco vetorial e v 1 v 2 v k H Se dim H k sao equivalentes i v 1 v 2 v k e LI ii v 1 v 2 v k gera H iii v 1 v 2 v k e uma base para H Subespacos associados a matrizes Seja a matriz real A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn com m linhas e n colunas dizse neste caso que A e de tamanho m n e escrevese A Rmn Vetores linha Os vetores r1 a11 a12 a1n r2 a21 a22 a2n rm am1 am2 amn em Rn formados pelas linhas de A são denominados vetores linha de A Vetores coluna Os vetores c1 a11 a21 am1 c2 a12 a22 am2 cn a1n a2n amn em Rm formados pelas colunas de A sao denominados vetores co luna de A Exemplo Seja A 2 1 0 3 1 4 Os vetores linha de A são r1 2 1 0 e r2 3 1 4 Os vetores coluna de A são c1 2 3 c2 1 1 e c3 0 4 Espaco Linha O espaco linha da matriz A e o subespaco de Rn gerado pelos vetores linha de A Simbolicamente isto e LA spanr 1 r 2 r m Exemplo Seja A 2 1 0 3 1 4 Encontre LA Espaco Coluna O espaco coluna da matriz A e o subespaco de Rm gerado pelos vetores coluna de A Simbolicamente isto e CA spanc1 c2 cn Exemplo Seja A 2 1 0 3 1 4 Encontre CA Equivalˆencia por linhas Dizse que a matriz A e equivalente por linhas a matriz B se por meio de operacoes elementares entre linhas de A podese obter a matriz B Simbolicamente escrevese A B para significar que A e equivalente por linhas a B A e B tem o mesmo tamanho ordem Teorema Sejam A e B matrizes m n Entao A B LA LB Isto e as matrizes A e B sao equivalentes por linhas se e somente geram o mesmo espaco linha Matriz escalonada Uma matriz A e dita escalonada se as condicoes i Todas as linhas nulas se houver estao na parte inferior da matriz ii O primeiro elemento naonulo de uma linha lıder esta em uma coluna a direita do elemento lıder da linha acima sao validas Matriz escalonada A aij e uma matriz escalonada se existem entradas naonulas a1j1 a2j2 arjr com j1 j2 jr com a propriedade i r j ji i r aij 0 As entradas a1j1 a2j2 arjr lıderes em suas respectivas linhas sao chamados de pivˆos da matriz linguagem matematica Exemplo A matriz A 0 2 3 4 5 9 0 7 0 0 0 3 4 1 2 5 0 0 0 0 0 5 7 2 0 0 0 0 0 0 8 6 0 0 0 0 0 0 0 0 e escalonada Neste caso a1j1 2 a2j2 3 a3j3 5 a4j4 8 e j1 2 j2 4 j3 6 j4 7 Teorema Toda matriz e equivalente por linhas a uma matriz na forma esca lonada Justificativa Eliminacao de Gauss escalonamento de matrizes Eliminacao de Gauss procedimento 1 Se a11 0 o processo comeca deixando a primeira linha in tacta e somando a cada linha Li com i 2 a primeira linha multiplicada por ai1a11 Com isto se obtem uma matriz cuja primeira coluna e a11 0 0 0 2 Se a11 0 uma troca de linhas fornece uma matriz com a11 0 desde que a primeira coluna nao seja nula Se porem todos os elementos da primeira coluna sao iguais a zero passase para a segunda coluna ou mais geralmente para a coluna mais proxima a direita da primeira onde haja algum elemento nao nulo e operase como antes de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna naonula comeca com o elemento 0 mas todos os demais sao iguais a zero A partir daı nao se mexe mais na primeira linha Recomecase o processo trabalhando com as linhas a partir da segunda ate obter uma matriz escalonada Teorema Se uma matriz A e equivalente por linhas a uma matriz Ae na forma escalonada entao as linhas naonulas de Ae constituem uma base para o espaco linha de A Para encontrar uma base e a dimensao do espaco linha da ma triz A escalonea ie obtenha alguma Ae As linhas nao nulas de Ae constituem uma base para o espaco linha da matriz A Caso haja linhas nulas na forma escalonada Ae significa que as linhas de A sao LD Caso contrario as linhas de A sao LI Exemplos Encontrar uma base e a dimensao do espaco linha da matriz A 1 3 1 3 0 1 1 0 3 0 6 1 3 4 2 1 2 0 4 2 Verifique se os vetores v 3 2 1 u 2 1 0 e w 12 0 13 sao LD Tópico 5 Posto Seja A uma matriz m n O posto segundo linhas de A e o numero maximo de linhas linearmente independentes em A ie a dimensao do espaco linha de A O posto segundo colunas de A e o numero maximo de colunas linearmente independentes em A ie a dimensao do espaco coluna de A Exemplo Ache o posto segundo linhas e o posto segundo colunas da matriz A 1 3 1 3 0 1 1 0 3 0 6 1 3 4 2 1 2 0 4 2 Teorema Para toda matriz A de tamanho m n o posto segundo linhas e igual ao posto segundo colunas Isto e dim LA dim CA Definese portanto o posto de uma matriz A como o seu numero maximo de linhas ou de colunas LI O posto da matriz A sera denotado por rankA Observacoes Seja A e uma matriz m n 1 rankA minm n 2 rankA e igual ao numero de linhas nao nulas de qualquer matriz escalonada Ae equivalente a A Exercıcio As afirmacoes a seguir sobre uma matriz A de tamanho m n sao verdadeiras Dˆe pequenas explicacoes para justificalas a rankA m se A possui uma linha nula b rankA n se A possui uma coluna nula c rankA m se uma linha de A e multipla de outra linha d rankA m se uma linha de A e combinacao linear de outras linhas Nucleo de uma matriz Se A uma matriz m n o nucleo de A e definido por NA x Rn Ax o O nucleo de A e um subespaco vetorial de Rn A dimensao do nucleo de A e chamada de nulidade de A Notacao nulA e o conjunto solucao do sistema linear e homogˆeneo Ax o Exemplo Encontre o núcleo da matriz A 1 2 2 1 3 6 5 4 1 2 0 3 Observar que rankA 2 null A 2 4 número de colunas de A Teorema do posto e da nulidade Se A e uma matriz m n de posto r entao sua nulidade e n r Em outras palavras rankA nulA n Se rankA n dizse que a matriz A tem posto cheio Exemplo Seja a matriz A 1 0 2 1 0 0 1 3 1 3 2 1 1 1 3 0 3 9 0 12 Encontre o posto e a nulidade de A Encontre uma base para o espaco coluna de A Exercıcio A dimensao do espaco linha de uma matriz A de tamanho 3 5 e 2 a Qual a dimensao do espaco coluna de A b Qual e o posto de A c Qual e a nulidade de A d Qual a dimensao do espaco solucao do sistema Ax o Sistemas Lineares O sistema linear a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm em m equacoes e n incognitas pode representado na forma matricial Forma matricial mathbfAmathbfx mathbfb left beginarraycccc a11 a12 cdots a1n a21 a22 cdots a2n vdots vdots ddots vdots am1 am2 cdots amn endarray rightmathbfA left beginarrayc x1 x2 vdots xn endarray rightmathbfx left beginarrayc b1 b2 vdots bm endarray rightmathbfb Note que mathbfA in mathbbRm imes n mathbfx in mathbbRn e mathbfb in mathbbRm Teorema Se xp for uma solucao particular do sistema linear Ax b entao toda solucao do sistema pode ser escrita na forma x xp xh em que xh e uma solucao do sistema linear homogˆeneo correspondente Ax o Basta notar que se x e uma solucao qualquer do sistema entao x xp e solucao do sistema homogˆeneo Ax o Assim se Ax b e Axp b entao Ax xp b b o Ponha portanto xh x xp Exemplo Encontre a solucao geral do sistema linear abaixo x1 2x3 x4 5 3x1 x2 5x3 8 x1 2x2 5x4 9 Lema O sistema linear mathbfAmathbfx mathbfb é consistente se e somente se mathbfb pertence ao espaço coluna de mathbfA Note que left beginarraycccc a11 a12 cdots a1n a21 a22 cdots a2n vdots vdots ddots vdots am1 am2 cdots amn endarray rightmathbfA left beginarrayc x1 x2 vdots xn endarray rightmathbfx Continuação x1 a11 a21 am1c1 x2 a12 a22 am2c2 cdots xn a1n a2n amncn x1 mathbfc1 x2 mathbfc2 cdots xn mathbfcn Assim mathbfAmathbfx mathbfb se e somente se x1 mathbfc1 x2 mathbfc2 cdots xn mathbfcn mathbfb Teorema O sistema linear Ax b e i consistente se rankAb rankA ii inconsistente se rankAb rankA Exercıcio Seja A uma matriz 4 4 Forneca exemplos de sistemas lineares Ax b em que a o sistema e impossıvel inconsistente b o sistema e possıvel consistente e determinado c o sistema e possıvel consistente e indeterminado Tópico 6 Complemento Ortogonal O complemento ortogonal de um subespaco vetorial W de Rn e o conjunto definido por W v Rn v w 0 para todo w W Isto e um vetor esta em W se e ortogonal a todos os vetores de W Geometricamente Teorema Seja W um subespaco vetorial de Rn Entao 1 W e um subespaco vetorial de Rn 2 W W 3 W W o Exemplo Calcule o complemento ortogonal i W1 x y z R3 x y z 0 ii W2 x y z t R4 x y z t iii W3 x y R2 x 0 Teorema Se W spanw 1 w k Rn entao um vetor v esta em W se e somente se v e ortogonal a w i com i 1 k Lembre que w i W para i 1 k Logo se v W temse v wi 0 Se v w i 0 para i 1 k entao como qualquer w W e combinacao linear dos vetores w 1 w k resulta que v w 0 v wi 0 para i 1 k Exercıcios i Se V W Rn sao subespacos vetoriais ortogonais deter mine V W ii Se W x1 x2 xn Rn a1x1 a2x2 anxn 0 determine W ie vw 0 para quaisquer v V e w W Tereoma subespacos fundamentais Seja A uma matriz m n Entao vale que 1 LA NA 2 CA NAT Ortogonalização de GramSchmidt Todo subespaço vetorial do Rn possui uma base ortogonal seja w1 wk uma base para W ponha u1 w1 e defina para p 1 k 1 up1 wp1 sumi1p ui wp1 ui ui ui os vetores u1 uk formam uma base ortogonal para W Decomposicao Ortogonal Seja W um subespaco vetorial de Rn e v um vetor de Rn Entao o vetor v pode ser decomposto de modo unico como a soma v w w em que w W e w W Justificativa unicidade Admita que existem w1 w2 W e w1 w2 W tais que v w1 w1 w2 w2 Então w1 w2 W w2 w1 W Como W W o resulta que w1 w2 e w1 w2 Justificativa existˆencia Seja u1 uk uma base ortonormal para W Defina o vetor w v u1u1 v ukuk Claramente w W Defina agora w v w Entao w ui 0 para qualquer i 1 k Logo w W Corolario Se W e um subespaco de Rn entao dim W dim W n Seja u1 uk uma base ortogonal para W Seja v 1 v l uma base ortogonal para W Logo u1 uk v 1 v l e uma base para Rn Por quˆe Teorema do Posto e da Nulidade Se A e uma matriz m n entao rankA NulA n W LA W LA NA Projecao ortogonal sobre subespacos vetoriais Se W e um subespaco vetorial de Rn e u1 u2 uk e uma base ortonornal para W A projecao ortogonal de um vetor v Rn e por definicao o vetor ˆv expresso por ˆv v u1u1 v u2u2 v ukuk E comum ser usada a notacao ˆv pW v Tópico 7 Autovalores e Autovetores Seja A uma matriz real nn Um escalar λ e dito ser um autovalor de A se existir um vetor naonulo x Rn tal que Ax λx Neste caso o vetor x e dito ser um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ Visualização geométrica Ax Ax Ax λx λ 0 Ax λx λ 0 Exemplo Sejam A 1 1 2 0 v₁ 1 2 e v₂ 1 1 Av₁ v₁ Av₂ 2v₂ Então v₁ e v₂ são autovetores da matriz A associados respectivamente aos autovalores 1 e 2 Exemplo Sejam B 3 0 1 2 5 5 0 0 3 u1 0 1 0 e u2 1 1 0 Bu1 5u1 Bu2 3u2 Entao u1 e u2 sao autovetores da matriz B associados respectiva mente aos autovalores 5 e 3 Exercıcio A e uma matriz 2 2 cujos vetores u e v sao seus autovetores associados aos autovalores 2 e 3 respectivamente Plote na figura a seguir Au e Av Exercıcio Determine geometricamente quais sao os autovetores e autovalores da matriz de reflexao R cuja acao sobre alguns vetores esta indicada na figura a seguir Matriz de Rotação Para ϕ kπ k ℤ considere a matriz R cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ R possui autovetores Rotacao ilustracao A acao da matriz R sobre um vetor u e vista a seguir Claramente uma rotacao nessas condicoes nao possui autovetores isto e com φ kπ k Z Revisão determinantes Seja A aᵢⱼ uma matriz n n com n 2 O determinante de A é por definição o escalar detA 11j a₁ⱼ detA₁ⱼ j1 n em que A₁ⱼ é a submatriz de uma matriz A obtida pela eliminação da linha 1 e da coluna j Teorema Expansão pela iésima linha Se A aij é uma matriz quadrada n n com n 2 seu determinante pode ser calculado por detA j1 até n 1ij aij detAij em que Aij é a submatriz de uma matriz A obtida pela eliminação da linha i e da coluna j Teorema expansão pela jésima coluna Se A aij é uma matriz quadrada n n com n 2 seu determinante pode ser calculado por detA i1 até n 1ij aij detAij em que Aij é a submatriz de uma matriz A obtida pela eliminação da linha i e da coluna j Exemplo Calcule o determinante da matriz A 1 2 3 4 4 2 1 3 3 0 2 0 1 0 2 5 Propriedades Fundamentais a Se A tem uma linha coluna so com zeros det A 0 b Se B e obtida pela troca de duas linhas colunas de A det B det A c Se A tem duas linhas colunas idˆenticas det A 0 nao trivial Continuacao d Se B e obtida pela multiplicacao de uma linha coluna de A pelo escalar α det B α det A e Se A B e C sao idˆenticas a menos pelo fato de que a iesima linha coluna de C e a soma das iesimas linhas colunas de A e B entao det C det A det B f Se B e obtida ao se somar um multiplo de uma linha coluna de A a outra linhacoluna entao det B det A Teorema Sejam A e B matrizes quadradas n n e α um escalar qualquer Entao a A e invertıvel se e somente se det A 0 b detαA αn detA c detAB detA detB d detA1 1 detA Exercıcio Verifique que o determinante de uma matriz triˆangular e o produto das entradas de sua diagonal Uma matriz quadrada A aij e dita ser triangular superior triangular inferior se aij 0 sempre que i j i j Dizse que a matriz A e triangular se for triangular superior ou triangular inferior Exemplo Calcule o determinante da matriz A 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 8 9 0 0 0 10 Determinantes como medida de volume detu v w volume do solido com sinal relativamente a orientacao da base canˆonica Tópico 8 Caracaterizacao de autovalores Se A e uma matriz real nn e λ e um escalar entao sao equivalentes 1 λ e autovalor de A 2 A matriz A λIn nao e invertıvel 3 detA λIn 0 Exemplo Ache os autovalores da matriz A 1 1 2 0 Forme a matriz A λI₂ 1 1 2 0 λ1 0 0 1 1 λ 1 2 λ Equação característica detA λI₂ 1 λλ 12 Raízes λ₁ 1 e λ₂ 2 autovalores Exemplo Ache os autovetores da matriz A 1 1 2 0 Resolvendo os sistemas Au₁ u₁ u₁ 1 2 Au₂ 2u₂ u₂ 1 1 Exemplo Encontre os autovalores de A 1 0 0 0 0 1 5 10 1 0 2 0 1 0 0 3 Calculo de autovalores e autovetores procedimento Seja A uma matriz n n i Resolver na incognita λ a equacao caracterıstica detA λIn 0 ii Resolver na incognita x o sistema homogˆeneo A λ0Inx 0 para cada autovalor λ0 encontrado em ii vetor Isso pode exigir o escalonamento da matriz A λ0In dos coeficientes Teorema A autovalores distintos correspondem autovetores linearmente inde pendentes Roteiro seja v 1 v 2 v k uma lista de autovetores correspondente a autovalores distintos λ1 λ2 λk supor que essa lista e LD em que v k e o primeiro vetor da lista tal que e combinacao linear dos anteriores Análise A 05 0 0 2 λ₁ 20 λ₂ 05 detA 10 Análise continuação A 1 05 0 1 λ1 10 λ2 10 detA 10 Análise continuação A 1 1 1 1 λ1 00 λ2 20 detA 00 Teorema Seja A uma matriz n n com autovalor λ0 e autovetor associado x 1 Para qualquer inteiro positivo k λk 0 e um autovalor de Ak com autovetor associado x 2 Se A e invertıvel entao 1 λ0 e um autovalor de A1 com auto vetor associado x Exemplo Calcule os autovalores e autovetores de A7 sendo A 0 0 2 1 2 1 1 0 3 Polinˆomio Caracterıstico Se A e uma matriz real n n o polinˆomio caracterıstico de A e definido por pAλ det λIn A 1n detA λIn pAλ e mˆonico e tem grau n pAλ possui no maximo n raızes reais Exemplo Ache o polinˆomio caracterıstico de A 2 3 1 3 2 4 0 0 1 Ache λI3 A Verifique que pAλ det λI3 A λ 12λ 5 use a expansao de Laplace pela terceira linha Rotação Ache o polinômio característico da matriz de rotação R cos φ sin φ sin φ cos φ em que φ kπ k Z e discuta suas raízes Teorema Se λ1 λ2 λn sao os autovalores de uma matriz A entao i detA λ1λ2 λn ii trA λ1 λ2 λn o traco de uma matriz e a soma dos elementos de sua diagonal Autoespacos Seja A uma matriz real n n e λ0 um numero real Defina Eλ0 x Rn Ax λ0x i Eλ0 e um subespaco vetorial de Rn ii Se Eλ0 o entao λ0 e autovalor de A Neste caso Eλ0 e dito ser o autoespaco de A associado a λ0 Multiplicidade algebrica Seja λ0 um autovalor da matriz A de tamanho n n A multiplicidade algebrica de λo e sua multiplicidade como raiz do polinˆomio caracterıstico de A isto e o maior inteiro m tal que pAλ λ λ0m qλ onde qλ e ainda um polinˆomio Notacao maλ0 Multiplicidades geometrica Seja λ0 um autovalor da matriz A de tamanho n n A multiplicidade geometrica de λ0 e a dimensao do subespaco vetorial Eλ0 x Rn Ax λ0x Notacao mgλ0 Exemplo Ache as multiplicidades algebrica e geometrica da matriz A 1 0 0 0 0 1 5 10 1 0 2 0 1 0 0 3 Diagonalizacao Uma matriz real A de tamanho n n e dita ser diagonalizavel se existe uma base de Rn consistindo apenas de autovetores de A Caso contrario A e dita ser deficiente sobre R Exemplo Encontre todos os autovalores e determine uma base para os corres pondentes autoespacos para a matriz A 3 1 0 0 1 0 4 2 1 A matriz e diagonalizavel Exercıcio Verifique se a matriz A 3 1 1 0 3 1 0 0 5 e diagonalizavel Teorema Uma matriz quadrada A de ordem e diagonalizavel se e somente se existe uma matriz invertıvel P tal que AP PD em que D e uma matriz diagonal Neste caso P e uma matriz cujas colunas sao os autovetores da matriz A e D e a matriz diagonal constituıda pelos os autovalores de A com repeticao se for o caso Exemplo Para a matriz A 3 1 0 0 1 0 4 2 1 encontre uma matriz invertıvel P tal que AP PD A seguir exiba D Criterio pratico Uma matriz quadrada A e diagonalizavel se e somente se maλ mgλ para cada λ autovalor de A Isto e uma condicao necessaria e suficiente para que uma ma triz seja diagonalizavel e que suas multiplicidades algebrica e geometrica coincidam para cada um de seus autovalores incluir o fato sobre dimensao para saber se um vetor esta no span de uma lista