Autovetores e Autovalores de Matrizes Quadradas

Autovetores e Auma matriz quadrada de ordem n e Um vetor naonulo u R é autovetor de A se AuXu para algum R Nesse caso 0 escalar 4 é chamado de autovalor de A associado ao autovetor uw e Exemplo 1 1 0 l or Qualquer vetor nadonulo u y é autovetor de I 1 0 x x 2G 1 1 2 3 e Exemplo 2 O vetor u 1 é autovetor da matriz a 2 3 1 1 3 4 1 1 2 8 1 0 1 Au 2 3 1 1 J O JO0 1 O0u 3 4 1 1 0 1 Entao wu é autovetor de A associado ao autovalor 0 e Fato Todo miltiplo naonulo de um autovetor de uma matriz A é também um autovetor de A AuAu AGu BAu B Au A Cu e Fato A soma de autovetores associados ao mesmo autovalor de uma matriz A é também um autovetor de A AuaAu e Av2Xv Calculando AuvAuAvAuAvXutv 1 e Autoespaco EAue R Auu E um subespaco vetorial de R e Exemplo 3 Au6u uautovetor de A Ayu 6yu pois yu é um mil tiplo de u e Rotagao cos sené Ro sen cos com 6kn com k Z Rou cos sené x xcosysené 6 sen cos y xsen6 ycosé x cos ysen 6 Calcule Rgu I ween yoos8 I x cos 6 ysen 6 xsen 6 ycos6 HV y lul Nessas condigoes 6 kz nao ha autovetores e Determinantes A uma matriz quadrada de ordem n é invertivel nao invertivel se e somente se det A0 det A0 e Equagcao caracteristica AuAu Au Xd Lu 0n A Alu0n e Buma matriz quadrada invertivel A equacao By0 tem como tinica solugao y 0n De fato ylyBByBBy B0n n 2 e Disso temse o seguinte Os autovalores de uma matriz A satisfazem a equacao det A AJ 0 condigao necessaria e suficiente 14 4 e Exemplo 4 Ache os autovalores da matriz A 02 9 001 Equagao caracteristica det A AJ 0 14 4 100 1r 4 4 ans 2 9 Jf 1 0 2r 9 001 001 0 0 1X e Logo os autovalores de A satisfazem a equacao 1A 4 4 detA AJ det O 2A 9 1 A2A14A0 0 0 l1A equacéo caracteristica de A e As raizes da equagao sao Ay1 Ag 2 A31 e Exemplo 5 Ache os autovalores de A 2X 0 det AAI0 det 0 3 0 2A3 A 0 e Logo os autovalores de A sao 43 2 e A93 e Por observagao experiéncia podese ver que 2 0 1291 Aa5 4 Mo 0202e 20 00 0 A5 SG 4 8G e e Vamos agora calcular efetivamente os autovetores de A 3 1 Ay 2 2 0 x x 0 0 a 0 Au2u 5 3 r 5 aGey8 2 A23 Av30A3Iv02 5 or o er o e Portanto os autovetores de A séo u ev associados respecti vamente aos autovalores 2 e 93 144 e Exemplo 6 Ache os autovetores da matriz A 02 9 00 1 e Os autovalores dessa matriz foram calculados em exemplo anterior 04 4 x 0 e AulusAJu0 01 9 y 0 002z 0 e Escalonando a matriz 04 4 04 4 04 4 01 9 00 32 00 32 00 2 002 00 0 e Temos o seguinte sistema linear 044 fa 0 0 0 32 0 tut Ss y70 1 e Logo o vetor 0 autovetor de A 0 e Teste 14 4 1 02 9 0 00 1 0 4 Exercício calcule autovetores de A associados aos autovalores 2 e 1 5