Vinte Questões de Álgebra 2

P1 Instrução você deve resolver vinte problemas escolhidos da lista a seguir obdecendo as seguintes condições ao menos um problema deve estar no intervalo 1 a 10 ao menos um problema deve estar no intervalo 11 a 20 e ao menos um problema deve estar no intervalo 21 a 30 1 Defina o conceito de produto interno em Rn Exiba dois vetores 7dimensionais sem componentes nulas cujo produto interno é 0 2 Como calcular a norma de um vetor em Rn Exiba um vetor 8dimensional cuja norma é igual a 2 3 Dê um exemplo de vetor unitário em Rn cujas componentes são todas diferentes de 0 4 Como é definido o ângulo entre dois vetores em Rn Exiba dois vetores em R6 cujo o ângulo entre eles é igual a π 4 5 Se a0011 b1201 e c2100 determine o vetor x considerando que a x 0 b x 0 e c x cx 6 Suponha que os vetores a1 e a2 sejam combinações lineares de b1 e b2 Se c é combinação linear de b1 e b2 mostre que c é combinação linear de a1 e a2 7 Determine o maior ângulo do triângulo ABC onde A0120 B 0101 e C 1 0 0 1 são pontos de R4 8 Defina o conceito de projeção ortogonal de um vetor sobre outro A seguir determine qual múltiplo de x 1 1 1 1 é mais próximo de y 2 4 4 0 1 9 Defina a noção de distância entre vetores Dos vetores a seguir quais são os dois mais próximos Justifique u 18 20 37 47 v 06 21 19 14 e w 20 19 40 46 10 Como pode ser definido o posto de uma matriz Construa uma matriz 57 cujo posto é 2 11 A lista de vetores u 1 2 3 4 v 6 2 9 14 e w 7 6 33 48 é LI ou LD Justifique 12 Um dos vetores da lista v1 v2 vk Rn é nulo O que se pode afirmar sobre essa lista LD ou LI Explique 13 O que é uma base para um subespaço vetorial Qual é a base canônica do espaço vetorial Rn Qual a dimensão de Rn Por quê 14 Determine o ângulo entre o vetor ndimensional x 1 1 1 1 e os vetores canônicos ndimensionais Esses vetores são LI ie a lista formada por x e os vetores da base canônica 15 Decida justificadamente se os vetores 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 formam uma base para o subespaço vetorial W x y z t R4 x y z 0 16 Exiba um subespaço vetorial de R4 cuja dimensão é igual a 2 apresentando justificadamente uma base para esse esse subespaço 2 3 Dê um exemplo de vetor unitário em Rn cujas componentes são todas diferentes de 0 5 Se a 0011 b 1201 e c 2100 determine o vetor x considerando que ax0 bx0 e cxcx 23 Construa uma matriz A de tamanho 3 4 e vetores b c R4 tais que Ab é a matriz aumentada para um sistema linear inconsistente mas Ac é a matriz aumen tada para um sistema consistente 24 Se A é uma matriz m n tal que rankAm explique por que o sistema linear A x b é consistente seja qual for o lado direito b 25 É possível encontrar uma parábola da forma y α βx γx2 que passa pelos pontos 0 1 1 3 2 15 e 3 37 Por quê 26 Ache a solução geral dos sistemas lineares homogêneos a seguir a x 2y z 2t 0 2x 4y z 3t 0 3x 6y z 4t 0 b x y 2z 0 3x 3z 3t 0 2x y 3z t 0 x 2y 3z t 0 27 Ache a solução geral dos sistemas lineares nãohomogêneos a seguir a x 2y 2z 3t 4 2x 4y z 3t 5 3x 6y z 4t 7 b x y 2z 2t w 1 2x 2y 4z 4t 3w 1 2x 2y 4z 4t 2w 2 3x 5y 8z 6t 5w 3 28 Verifique que o sistema linear x 2y 3z 3t a 2x 5y 3z 12t b 7x y 8z 5t c possui solução se e somente se 37a 13b 9c 29 Encontrar a reta que perfaz o melhor ajuste linear dos pontos x1 y1 x2 y2 xn yn Isto é determinar a reta y ax b com a propriedades de o erro quadrático ǫ2 y1 ax1 b2 y2 ax2 b2 yn axn b2 seja o menor possível ver ilustração 4 y ax b x1 y1 x2 y2 d1 d2 xn yn dn Na figura di yi axi b para i 1 2 n 30 Uma corporação obtém os seguintes dados relacionando o número de represen tantes de vendas em seu quadro com as vendas anuais Número de representantes de venda 5 10 15 20 25 30 Vendas anuais milhões de reais 34 43 52 61 72 83 Tabela 1 Como poderiamos obter uma estimativa das vendas anuais com 45 representantes de vendas Discuta as hipóteses utilizadas 5 E obedece algumas propriedades O produto interno é uma operação binária e interna isto é age sobre um par de vetores em e tem como resultado um número real que é definido como A norma de um vetor em é uma quantidade escalar ligada a um vetor de seguinte forma 17 Se A a b c d uma matriz 2x2 qualquer mostre que Aαx βy αAx βAy para quaiquer vetores x x1 x2 e y y1 y2 no plano e quaisquer escalares α e β reais Dados dois vetores a projeção de v sobre u seria um vetor p que está na direção de u e é o mais próximo possível de v como uma sombra de v ao longo da direção de u Eles são linearmente dependentes pois eu consigo escrever o vetor W como combinação linear de u e v Logo como W pode escrito por uma combinação linear de U e V são linearmente dependentes A dimensão de Rn deve ser n pois sua base possui n elementos ou seja dentro de Rn temos n graus de liberdade n direções possíveis a quais podemos percorrer sem depender de uma outra direção Essa lista de vetores não forma uma lista de vetores linearmen te independentes primeiro porque isso significaria que o Rn teria dimensão n1 pois adicionando x teríamos n1 vetores Segundo pois x pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base canônica basta fazer Não forma uma base para o base W Para provar que não é base basta pegarmos um vetor de W que não consegue ser gerado como combinação liner dos 3 vetores Tome Logo os 3 vetores não geram todo o subespaço W Portanto não forma uma base 20 Expresse cada vetor do conjunto uvwzRn como combinação linear dos vetores wu3zv2u3w5z 25 É possível encontrar uma parábola da forma yαβxγx2 que passa pelos pontos 0113215 e 337 Por quê 26 Ache a solução geral dos sistemas lineares homogêneos a seguir a x 2y z 2t 0 I 2x 4y z 3t 0 II 3x 6y z 4t 0 III b x y 2z 0 3x 3z 3t 0 2x y 3z t 0 x 2y 3z t 0 28 Verifique que o sistema linear x 2y 3z 3t a 2x 5y 3z 12t b 7x y 8z 5t c possui solução se e somente se 37a13b9c x 2y t 0 2x 4y 2t 0 3x 6y 3t 0 As 3 eq são múltiplas x t 2y Logo temos uma solução do tipo xyzt R4 x t 2y z t Logo a solução é subespaço com base 1011 2100 x y 2z Reescrevendo 3y 6z 3z 3t 0 y 6z y 3z t 0 y 2z 2y 3z t 0 são múltiplas 3y 3z 3t 0 y z t 0 y z t 0 Logo y t z x z t 2z t z Logo a solução é do tipo xyzt R4 y t z x t z Logo subespaço com base 1101 1110 Dado dois vetores x e y no Rn o ângulo entre eles é definido como o ângulo que obedece 27 Ache a solução geral dos sistemas lineares nãohomogêneos a seguir ax 2y 2z 3t 4 I 2x 4y z 3t 5 II 3x 6y z 4t 7 III b x y 2z 2t w 1 I 2x 2y 4z 4t 3w 1 II 2x 2y 4z 4t 2w 2 III 3x 5y 8z 6t 5w 3 IV x 2y t 0 2x 4y 2t 0 3x 6y 3t 0 são múltiplas t 1 z 0 logo solução do tipo xyzt R4 t 1z 0 x 1 2y w 1 x y 2t 10 x 10 y 2t logo solução do tipo xyztw R5 w 1 x 10 y 2t Podemos definir o posto de uma matriz NxM como o número máximo de linhas ou de colunas linearmente independentes