Autovalores e Autovetores: Definições e Exemplos

Autovalores e Autovetores 1 Definicao Seja A uma matriz quadrada de ordem n Um vetor nadonulo u R é dito ser um autovetor de A se existe A R escalar tal que Au Xu Neste caso 0 escalar A é dito ser o autovalor de A associado ao autovetor u e viceversa Exemplo 1 Para a matriz A S verifique que u 01 é um autovetor de A associado ao autovalor 1 e que v10 é um autovetor de A associado ao autovalor 6 2 Solugao 2 0 0f0 0 i Awa 9 SMG 4 1G 2 0 129f1 ii Av oy a 25 2 2 0 1f21 mi Aw 9 MG A Note que w 11 nao é autovetor de A pois 2 1 2 e para qualquer 7 R Exemplo 2 Para a matriz 12 1 A 0 0 0 0 1 1 1 verifique que os vetores u 3 11 e v100 sao autovetores de A e determine seus autovalores Solugao 121 3 34241 0 3 i ana 0 0 0 1 000 0 Jo 1 Jo autovalor 0 011 1 0141 0 1 1211 100 1 1 ii Av 0 0 0 jf o o00 0 1 0 J1v autovalor 1 0 1 1o 000 0 0 2 Autoespaco Seja A uma matriz quadrada de ordem n e a R O conjunto definido por Eaue R Auau é chamado de aautoespaco de A Proposigao 3 Ea é um subespago vetorial de R Exercicio 1 Prove a Proposigao 3 Solugao i 0 Ea pois ANn a0n ii uv Ea Auaue Avavu AutvAutAvautavautv utve Ea iii AC Rue Ea AAu AAu au aAu Au Ea Comentario 4 Ea 0 se e somente se a é autovalor de A De fato vejamos a seguinte situacao e A possui autovalores 2 e 1 2 x 2 2 0 xe x 3ueR Au3u yer 2 9 32 x 2 2x x 0 5 eR A 3G 2 Exemplo 5 Dada a matriz 12 1 A 03 5 00 2 determine E3 e E4 Solugao x 12 1 x x x 2 2 1 x 0 e E34 y JER 03 5 y 3l y Sh y JER 0 0 5 y J 0 z 00 2 z z z 0 0 5 z 0 x 2 2 1 x 0 x 1 e y ER 0 0 5 y lo el y ER 2y20span 1 z 0 0 0 z 0 z 0 0 e Como 4nao é autovalor de A resulta que E4 0 0 Exercicio 2 Determine geoemetricamente os autovetoresautovalores das matrizes a seguir 9 49 0 SG 4 b B 1 v3 1 a U UV Aw w Av Note que Av2v e que AwO0w Au 3 v Bv b u Bu u w Bw Note que Bw w e que Bu u w Cw c 30 N Note que C é uma matriz de rotação 30 logo Cw λw seja qual for λ2 R 3 Encontrando autovalores e autovetores algebricamente Teorema 6 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Então 1 Os autovalores de A são as raízes da equação detA λI 0 2 Os autovetores de A são as soluções nãonulas da equação vetorial A λIu 0n 4 Exemplo 7 Ache os autovalores e autovetores da matriz A Solugao 2 12 10 212 A 0 1 Autovalores det 3 4 0 det 3 2 2 0 det 52 O 2A5 A 12 0 P 3104 12 0 M4 3A420 A 2 e A1 212 10 c 0 4 122 0 2 Autovetores 3 3 24 yI SCG QDEzaHAQ x3y y0 Por exemplo o vetor é autovetor de A Proceda de forma andéloga para calcular 0 outro autovetor 4 Determinantes o desenvolvimento de Laplace Teorema 8 Seja Aa uma matriz quadrada de ordem n Entao det A S 1 aj det Aij S 1t aij det Aij jl i1 Aqui Ajj representa a matriz obtida pela supressao da linha i e coluna j da matriz A Exemplo 9 Calcule o determinante da matriz 100 0 015 10 A 102 0 100 38 Solugao Desenvolvendo o determinante pela primeira linha det A D1 1a det Ai Entao 1 5 10 0 5 10 det A11 1det 0 2 0 10det 12 0 J 00 8 10 3 0 1 10 015 180det 1 0 0 1140 det 10 2 10 3 100 1 5 10 det 0 2 0 133det 6 a 8 Escolha a linha ou coluna que houver mais zero 5 Nota 10 Uma matriz quadrada A aij é dita ser triangular superior inferior se aij 0 para i j i j Corolário 11 Se A aij for uma matriz triangular então det A a11 a12 ann produto das entrada da diagonal Exemplo 12 Ache os autovalores da matriz a seguir e uma base para seus correspondentes autoespaços A 0 B B B B B B 1 0 0 0 0 1 5 10 1 0 2 0 1 0 0 3 1 C C C C C C A Solução Roteiro da solução 1 Achar as raízes da equação característica det 0 B B B B B B 1 λ 0 0 0 0 1 λ 5 10 1 0 2 λ 0 1 0 0 3 λ 1 C C C C C C A 0 2 Para calcular o determinante em 1 use o desenvolvomento de Laplace pela primeira linha ou segunda coluna 3 Para cada λ obtido em 1 uma base para o autoespaço correspondente a λ é uma base para o espaço solução do sistema linear 0 B B B B B B 1 λ 0 0 0 0 1 λ 5 10 1 0 2 λ 0 1 0 0 3 λ 1 C C C C C C A 0 B B B B B B x y z t 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 0 0 0 0 1 C C C C C C A 6