Complemento Ortogonal em Espaços Vetoriais

Complemento Ortogonal Seja W um subespaço vetorial do Rn O complemento ortogonal de W denotado por W é definido por W v Rn v w 0 W W Exemplo Considere o subespaço vetorial F x y z R3 x y 0 eixo z Observe que um vetor da forma a b 0 está em F De fato a b 0 0 0 z 0 para qualquer que seja z R Logo a b 0 F Na verdade F x y z R3 z 0 Exemplo Dado W x y z t s R5 x y z t s 0 Determine W Seja a b c d e W Então a b c d e x y z t s 0 para qualquer x y z t s W Vamos fazer o seguinte Escolhendo uma base para W W x y z t s x y z t s 0 t x y z Temos x y z t s x y z y z s x1 0 0 1 0 y0 1 0 0 0 z0 0 1 1 0 s0 0 0 0 1 Observa que se a b c d e 1 0 0 1 0 0 a b c d e 0 1 0 0 0 0 a b c d e 0 0 1 1 0 0 a b c d e 0 0 0 0 1 0 resulta que a b c d e x y z t s 0 para qualquer x y z t s W por quê Das equações acima temse a d 0 b d 0 c d 0 d e 0 Como d é parâmetro livre a solução do sistema é da forma a b c d e λ λ λ λ λ λ1 1 1 1 1 para qualquer λ R Visto de outro modo W x y z t s R5 x y z t s span1 1 1 1 1 Rascunho 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 0 Escolha um vetor genérico de W e um vetor genérico de W x y z t s λ λ λ λ λ λx y z t s λ0 0 FATO Um vetor está no complemento ortogonal de um subespaço vetorial se e somente se ele for ortogonal aos vetores de uma base qualquer desse subespaço vetorial Exercício Dado F x y R2 y 2x ache F Achando uma lista de geradores base F x y x 2x x1 2 De acordo com o fato acima a b 1 2 0 para todo vetor a b F Disto resulta que a 2b Logo F x y R2 x 2y TEOREMA 1 W é um subespaço vetorial 2 W W 0h 3 W W W é um subespaço vetorial pois i 0h W já que 0n w 0 para qualquer w W ii v1 v2 W v1 v2 w v1 w v2 w 0 0 0 para qualquer w W Em outras palavras v1 v2 ortogonal a qualquer vetor de W iii λ R v W λv w λv w λ0 0 para qualquer w W Em outras palavras λv é ortogonal a qualquer vetor de W Algoritmo de ortogonalização 1 v1 u1 2 v2 u2 prv1 u2 3 v3 u3 prv1 u3 prv2 u3 E assim sucessivamente no passo k k vi uk prv1 uk prv2 uk prvk uk Os vetores v1 v2 vk assim obtidos são ortogonais Exemplo Achar uma base ortogonal para o subespaço gerado por u1 1 1 1 0 u2 1 1 0 0 u3 1 0 0 0 De acordo com o algoritmo temse v1 u1 1 1 1 0 v2 u2 prv1 u2 1 1 0 0 11101100 11101100 1 1 1 0 1 1 0 0 2 3 1 3 1 3 0 v3 u3 prv1 u3 prv2 u3 1 0 0 0 10001110 10001110 1 1 1 0 1 0 0 0 1 3 1 2 0 1 31 1 1 0 1 0 0 0 1 31 1 1 0 1 0 0 0 Note que v1 v2 v1 v2 0 verifique