Determinantes e Autovalores de Matrizes

Determinantes Matriz de ordem 2 A j e det A ad be fi1l A4 5 det A10919 Matriz de ordem n 2 Desenvolvimento de Laplace reducao de ordem 1 10 A 121 132 det A a 1 a det Aj 1taydet Au 1 aye det Ajo 143 21 11 12 ye 1 ay3det Ag 11 det 3 1 det 0 det i34 10 0 0 02 00 A 00 1 0 0004 2 0 0 det A SY 1ay det Aig 11ay det Ay det 010 Viet a1 a1 11 11 00 4 112 det o 1 2418 Matrizes Triangulares superior ou inferior 1213 5 020 1 8 T00 6 8 3 triangular superior 00 0 1 0 000 0 7 1 0000 2 1 000 T 3 2 40 0 triangular inferior 0 1 11 0 r 2 V211 Fato T t matriz triangular det T 11 ta tnn Como determinar autovalores e autovetores de uma matriz 1 1 Resolver a equagao caractertstica det A AI 0 autovalores 2 Resolver a equagdao vetorial A AIu0 para u0 autovetores 11 1 Exemplo Ache os autovalores e autovetores de A 0 3 1 0 0 2 1 det A AI 0 11 1 100 1 1 1 det 0 3 1 JAlo10det o 3A 1 00 2 001 0 0 2Xr 1 A3 A2 A 0 Logo Ay1 A23 e A3 2 sao os autovalores de A 2 01 1 x 0 011 f 0 I Ay1S 02 1 y J0S 00 34 y Jl0l 00 3 J z 0 00 0z2 0 Naren y2z0er é uma parametro livre 1 Portanto um autovetor de A associado ao autovalor Ay1éu 0 0 21 1 x 0 2 11fa 0 Il A23 0 0 1 y o0 0 01 f y Jlo0 0 0 5 Jl z 0 0 o oslz 0 wy ete xrFe y parametro livre 1 Portanto um autovetor de A associado ao autovalor Agz3e6v 2 I 0 311 2 0 Ill A3s20 5 1 0 Js ferry treo Ss 2 y e com z é parametro livre Portanto um autovetor de A associado ao autovalor 43 2 w 1 5 Exemplo Achar os autovalores e autovetores da matriz 100 O 0 15 10 A 102 0 100 8 Autovalores Equacao caracteristica 100 0 1000 1A 0 O O 015 10 0100 0 1A 5 10 deth poo 0 7AVo010 J a9 1 0 ea 0 J 100 38 0001 1 0 0 3A 1A 5 10 111Adet 0 2ra 0 J1A1A2A3BA 0 0 3A 1 A2A3 A 0 Os autovalores de A sao A 1 multiplicidade algébrica igual a 2 A22 e A33 ambas simples multiplicidade algébrica a 1 Vamos determinar os autovetores 000 0 x 0 101 0 x 0 101 0 x 005 10 0 100 2 0 001 2 M1 794 9 llo01005 10 l07005 10 2 100 2 t 0 000 0 t 0 000 0 t 0 101 0 x 0 0 0012 0 rz0 07lo00 0 2 0 2558 Qt a 2t 0 000 0 t 0 3 Logo um autovetor associado ao autovalor λ1 1 é da forma u 0 B B B B B B 2t y 2t t 1 C C C C C C A y 0 B B B B B B 0 1 0 0 1 C C C C C C A t 0 B B B B B B 2 0 2 1 1 C C C C C C A Note que se y 1 e z 0 então v 0 B B B B B B 0 1 0 0 1 C C C C C C A é um autovetor associado ao autovalor λ1 1 Se y 0 e z 1 então w 0 B B B B B B 2 0 2 1 1 C C C C C C A é um autovetor associado ao autovalor λ11 o qual não depende limearmente de v Rascunho sem fazer cálculos explique 0 B B B B B B 1 0 0 0 0 1 5 10 1 0 2 0 1 0 0 3 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 0 1 0 0 1 C C C C C C A 1 0 B B B B B B 0 1 0 0 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 0 1 0 0 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 1 0 0 0 0 1 5 10 1 0 2 0 1 0 0 3 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 2 0 2 1 1 C C C C C C A 1 0 B B B B B B 2 0 2 1 1 C C C C C C A 0 B B B B B B 2 0 2 1 1 C C C C C C A 4