Solução Lista de Exercícios 4 - Física 3 - Uva

LISTA IV - FÍSICA III Auto-indução H.30.45 - Em um certo instante a auto-induzida em um corrente a força eletromotriz auto-induzida em um d.i nos sentidos indicados na figura. (a) A induce dm t corrente está aumentando ou diminuindo? (b) A força eletromotriz induzida é 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kA/s; determine a indutância. Dados ℰ = 17 V di/dt = 25 kA/s -> 25x10^3 A/s dt (a) Como k aumenta ú, a corrente i vai estar diminuindo. (b) De ℰp = L di/dt obtemos. L = ℰ = 17 = 6,8 x 10^-4 H di 25 x 10^3 dt L = 6,8 x 10^-4 H H.30.47 - Indutores em série. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em série e estão separados por uma distância tão grande que um não pode afetar o outro. (a) Mostre a indutância equivalente é dada por Leq = L1 + L2 (a) Note que: 1º) Ei = Ei1 = Ei2; 2º) Vab = V1 + V2; como V = Eis nos indutores Logo di = L1 di1 + L2 di2 dt dt dt Leq = L1 + L2 H.30.48 - Indutores em paralelo. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em paralelo e estão separados por uma distância tão grande que o campo magnético de um não pode afetar o outro. Mostre que a indutância equivalente é dada por 1/Leq = 1/L1 + 1/L2. Neste caso: 1º) i = i1 + i2; 2º) Vab = V1 = V2; como V = Eis nos indutores Logo: ℰ = ℰ + ℰ = ℰ Leq L1 L2 Assim: 1 1 1 -- = -- + -- Leq L1 L2 Obs: 1ª) Para "N" indutores associados em paralelo egles Leq = ------- N valor do indutor quantidade de indutores gan 2ª) Para um par de indutores em paralelo Leq2 = L1 x L2 ----------- L1 + L2 H.30.49 - O circuito de indutores da figura, com L1 = 30,0 mH, L2 = 50,0 mH, L3 = 20,0 mH e L4 = 15,0 mH, é ligado à fonte de corrente alternada. Qual a indutância equivalente circuito? L1 // L' L2 x L3 /\ / \ \ \ / 1º) L'// 20 x 50 2ª) L' = ------- = 14,28 mH 20 + 50 3º) 30 14,28 + 15 Leq = ------ x x 10^-3 Leq = 59,28 mH Circuito RL H.30.51 - Uma bateria é ligada a um circuito RL em série no instante t = 0. Para que múltiplo de τL a corrente atinge um valor 0,10% menor que o valor final? iu = ℰ - 0,1% ℰ = 0,999 ℰ R R t = ? iu = ℰ (1 - e^-t/τ) R 0,999 = 0,999 (1 - e^-t/τ) ℰ ------ R 0,01 = e^-t/τ ln(0,001) = -t/τ t = 6,91 τL H.30.53 - A corrente em um circuito RL diminui de 1,0A para 10 mA no primeiro segundo depois que a fonte é removida do circuito. Se L = 10 H, determine a resistência R do circuito. i1 + 10 x 3 -t/ Ix = 1 A e^/R/ t=1 10x10^3 • 1 - e^-R.L/θέ ln(0,1) -4,605 = -R/10 R = 46,05 Ω Carga H.30.55 Um solenóide com uma indutância de 6,30 μH é ligado em serie com um resistor de 1,20 kΩ. (a) Se uma bateria de 14,0 V é ligada ao par de componentes, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80,0% do valor final? (b) Qual e a corrente no resistor no instante t = 1,00 s? (a) i = E/R (1 - e^-t/τ) 80/100 = (1 - e^-t/τ) 0,80 = 1 - e^-t/τ e^-t/τ = 0,20 ln 0,20 = -t/τ t/0,161 = (L/R) √t t = L/R = (6,3x10^-6)/(1,61) = 8,49x10^-9 s (b) No instante t = 1,00s i = E/R (1 - e^-t/τ) i=14/1,2x10^3 (1 - e^-1/0,161) i = 9,33 x 10^-3 A H.30.57 Na figura R = 15Ω, L = 5,0 H, a força eletromotriz da fonte é 10 V e o fusível tem uma corrente ideal de 3,0 A. resistência do fusível é zero enquanto a corrente que o atravessa permanece abaixo de 3,0 A. Quando atinge o valor de 3,0 A o fusível "queima" e passa a apresentar uma resistência infinita. A chave S é fechada no instante t = 0. Em que instante o fusível queima? eL = L.di/dt = 0 eL. i = f di/dt R.di/dt = L.di/dt = L.di/dt ti = 3 = 2t 3 = 3t/2 t = 3/2 ∞ t : 1,5s Em que instante i = 3 φ. i = 5. di/dt eL = - RLi/dt L. ε = ∫ idtdi H.30.63 Uma bobina é ligada em série com um resistor de 10,0 kΩ. Uma fonte ideal de 50,0 V é ligada em série com os dois componentes e a corrente atinge um valor de 2,00 mA após 5,00 ms. (a) Determine a indutância da bobina. (b) Determine a energia armazenada na bobina nesse instante. Dados R = 40 kΩ = 4x10^3 E = 50 V i = 2,00 mA após 5,00 ms (a) i = E/R(1 - e^-t/τ), onde τ = L/R -ln = -t/R E = - - L = (2x10^3 x 10^-3)(ln) L = 98x10^3 x 10^3/40 x 10^3 L = 98 H (b) Ub = Li^2/2 Ub= 1/2(9,8x10^3)(2x10^-3)^2 Ub = 4,9 x 10^-3 = 1,9x10^-3 J H.30.65 No circuito de "descarga" do indutor, em estão associados em série uma bateria, um resistor e um indutor, suponha que ε = 10,0 V, R = 6,7 Ω e L = 5,50 H. A fonte ideal é ligada no instante t0 = 0. (a) Qual é a energia fornecida pela fonte durante os primeiros 2,00 s? (b) Qual é a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo? (c) Qual é a energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo? (a) ∫ P(tensao) dt = ∫ε2/R (1-e^(-Rε)t) dt = ε2R (t + L/ε)(e^(-t/L)-1) [calculo] ∞ U = 18,7 J (b) Ub=? Ub=5,10 J (c) Ur = U - Ub Ur = 18,6 J H.30.67. Qual deve ser o módulo de um campo elétrico uniforme para que possui a mesma densidade de energia que um campo magnético de 0,50 T? Eo . E = B² / 2µo Eo . E² / 2 = B² / 2µo E = B² / Eoµo E = B / raiz(Eoµo) , onde B = 0,50 T E = 0,50 / (8,85 x 10^-12) * (4π x 10^-7) E = 1,5 x 10^8 V/m E = 1,5 x 10^8 V/m H.30.69. Um solenóide tem 85,0 cm de comprimento, uma seção reta de 17,0 cm², 950 espiras é percorrido por uma corrente de 6,60 A. (a) Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenóide. (b) Determine a energia total armazenada no campo magnético, desprezando os efeitos de borda. (a) UB = (1/2) * B² / µo UB = (1/2) * (nµoI)² / µo UB = n²µoI² / 2 UB = (950 / 85x10⁻²)² * 4π x 10^-7 x (6,60)² / 2 UB = 34,19 J/m³ Dados l = 85 x 10⁻² m N = 950 espiras I = 6,60 A seção reta = 17,0 cm² = 17 x 10⁻4 m² n = 950 / 85 x 10⁻² = 11,2 x 10² esp./m (b) UB = UB x volume UB = 34,19 x 17 x 10⁻4 x 85 x 10⁻2 seção reta comprimento UB = 4,9 x 10⁻² J 15) Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo necessário para que em certo ponto da corda se mova do deslocamento máximo até o zero é 0,170 s. Quais são (a) o período e (b) a frequência da onda? (c) O comprimento de onda é 1,40m; qual é a velocidade da onda? (a) A partícula se encontra na posição de máximo deslocamento e passa pela origem em 0,170s; isso significa que a partícula executou 1/4 da oscilação. O tempo total para uma oscilação é 4 x (0,170) s, ou seja o período (T) T = 4 x (0,170) s = 0,680 s => T = 0,68 s (b) f = 1/T => 1 / 0,680 ≈ 1,47 Hz => A partícula executa uma oscilação cada 0,680 s/1 f ≈ 1,47 Hz (c) v = 1,40 m / 0,680 s ≈ 2,06 m/s ou v = λf velocidade = comprimento x frequência y v√ ≈ 2,06 m/s 16) Uma onda senoidal de 500Hz se propaga em uma corda a 350 m/s. (a) Qual é a distância entre dois pontos da corda que diferem em fase em π/3 rad? (b) Unit a diferença de fases que dois pontos da corda que acontecem em um intervalo de 1,00 ms? λ = 350 / 500 = 0,700m = 700 mm Para a frequência f = 1/T, temos que achar o tempo para 1 ciclo de oscilação: T = 1 / 500 = 2,00 x 10^-3 (a) 1 ciclo = 2π rad Φ = x = 1 ciclo x ___ | x ___ | = d = λ/6 x a x ______ Φ ___ rad λ T ___ 3 d = 2/6 = 700/6 = 117 x 10^-3 m b | b d = 117 x 10^-3 / m (b) O intervalo é de 1ms que é a metade de T isso corresponde a metade de um ciclo, ou metade de 2π rad 2π x 1/2 = π rad 17) A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y = 6,0 sen(0,020πx + 4,0πt), onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Determine (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a frequência, (d) a velocidade, (e) o sentido de propagação da onda, e (f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda. (g) Qual é o deslocamento transversal em x = 3,5 cm para t = 0,26 s? Sendo : y = 6,0 sen (0,020πx + 4,0πt) (a) A amplitude é yₘ = 6,0 cm _yₘ = 6 x 10⁻² m_ (b) 2π/T λ = 0,020π λ = 1,0 x 10² cm => 1 m => λ = 1m (c) f = ω / 4π f ≈ 2,0 Hz (d) v = fλ = 100 cm x 2 = 1 m x 2hz = 2 m/s _y v√ = 2 m/s_ (e) A onda se propaga na direção -x kx+ωt até kx-ωt yx t yₘ = sen ( kx + ωt) (f) v𝐦𝐚𝐱 = 2πfyₘ = 2π x 2 x 6 x 10⁻² _vₘₐₓ = 75 x 10⁻² m/s_ transversal y (3,5 x 10⁻2 m) x (0,26) (g) = (6x10⁻²m) sen [2,0π(3,5x10⁻2)4,0π(0,26)] X(t) = -2,0 x 10⁻² m