Sinais e Sistemas - Representacao no Tempo - Resposta ao Impulso e Convolucao

Sinais e Sistemas Representacao no Tempo Rafael Chaves CEFETRJ 20242 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 1 47 Sumario 1 Resposta ao Impulso e Convolucao 2 Respostas de SLIT 3 Representacao e Blocos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 2 47 Sumario 1 Resposta ao Impulso e Convolucao 2 Respostas de SLIT 3 Representacao e Blocos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 3 47 Representação por Resposta ao Impulso Sistemas no Tempo Discreto Resposta ao Impulso Sinal qualquer xn Σ k to xkδnk Combinação linear de impulsos unitários deslocados e escalados Aplicação do operador linear H yn HΣ k to xkδnk Σ k to xkHδnk Resposta a um impulso unitário em n k hkn Hδnk Para sistema linear invariante no tempo SLIT hkn hnk resposta ao impulso do sistema Representação por Resposta ao Impulso Sistemas no Tempo Discreto Soma de Convolução Resposta de SLIT a entrada xn yn Σ k to xkhnk Combinação linear de respostas ao impulso deslocadas e escaladas Convolução xn hn Σ k to xkhnk OBS xn hn hn xn Exemplo 1 Determine yn xn hn para xn 08n un e hn 03n un Representacao por Resposta ao Impulso Sistemas no Tempo Discreto Convolucao Convolucao grafica de sinais reais xn hn 1 Desenhar xk 2 Desenhar hk 3 Para cada n 31 Desenhar hn k por deslocamento de hk 32 Multiplicar xk e hn k ponto a ponto 33 Somar os produtos para obter xn hn OBS Podese permutar x com h rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 6 47 Representacao por Resposta ao Impulso Exemplo 2 Para xn nun nun 4 n 6un 4 n 6un 6 e hn un un 6 calcule yn xn hn rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 7 47 Representação por Resposta ao Impulso Sistemas no Tempo Contínuo Resposta ao Impulso Sinal qualquer xt from to xτδtτdτ Combinação linear de impulsos unitários deslocados e escalados Aplicação do operador linear H yt H from to xτδtτdτ from to xτHδtτdτ resposta a um impulso unitário em t τ hτt Hδtτ Para sistema linear invariante no tempo SLIT hτt htτ resposta ao impulso do sistema Representação por Resposta ao Impulso Sistemas no Tempo Contínuo Integral de convolução Resposta de SLIT a entrada xt yt xτhtτdτ Combinação linear de respostas ao impulso deslocadas e escaladas Convolução xt ht xτhtτdτ OBS xt ht ht xt Exemplo 3 Determine yt xt ht para xt etut e ht e2tut Representacao por Resposta ao Impulso Sistemas no tempo contınuo Convolucao Convolucao grafica de sinais reais xt ht 1 Desenhar xτ 2 Desenhar hτ 3 Para cada t 31 Desenhar ht τ por deslocamento de hτ 32 Multiplicar xτ e ht τ ponto a ponto 33 Integrar a funcao resultante em τ para obter x ht OBS Podese permutar x com h rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 10 47 Representacao por Resposta ao Impulso Exemplo 4 Para xt ut 1 ut 1 e ht t 3ut t 3ut 3 calcule yt xt ht rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 11 47 Representação por Resposta ao Impulso Convolução com o Impulso Unitário Discreto yn xn δnn0 l xlδnn0l xnn0 Contínuo yt xt δtt0 xτδtt0τdτ xtt0 Circuito Eletrˆonico Linear Invariante no Tempo Fornecedores de Energia Fonte de corrente it Impoe a corrente atraves de seus terminais Fonte de tensao vt Impoe a tensao entre seus terminais rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 13 47 Circuito Eletrˆonico Linear Invariante no Tempo Elemento Passivo Dissipativo Resistor vt Rit rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 14 47 Circuito Eletrônico Linear Invariante no Tempo Elementos Passivos Reativos Armazenadores de Energia Indutor vt L ditdt it 1L t vτdτ Armazena energia na forma de fluxo magnético ϕ Li Capacitor vt 1C t iτdτ Armazena energia na forma de carga elétrica q Cv Interligacao de SLITs com h1 e h2 Em Paralelo y y1 y2 x h1 x h2 x h1 h2 A convolucao e distributiva sobre a soma Em Cascata serie y1 x h1 y y2 y1 h2 x h1 h2 x h1 h2 A convolucao e associativa rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 16 47 Interligacao de SLITs Exemplo 5 Para o sistema representado abaixo calcule yn como funcao do sinal de entrada e das respostas ao impulso dos subsistemas h1n h2n h3n xn yn rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 17 47 Propriedades de SLITs Sistema sem memória hn c𝛿n ht c𝛿t Sistema causal hn 0 para n 0 ht 0 para t 0 Sistema BIBOestável hn n to htdt to Sistema invertível h¹ h¹ h 𝛿 CEFETRJ Sumario 1 Resposta ao Impulso e Convolucao 2 Respostas de SLIT 3 Representacao e Blocos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 19 47 Respostas de SLIT a Sinais Particulares Resposta ao Degrau Unitário sn hkunk hk k to k to n hn em função de sn st hτutτdτ hτdτ to to t ht em função de st CEFETRJ Respostas de SLIT a Sinais Particulares Exemplo 6 Sabendo que a resposta ao degrau de um SLTI desconhecido e st 1 eλt λ ut Calcule a resposta do sistema para a entrada xt ilustrada abaixo rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 21 47 Respostas de SLIT a Sinais Particulares Resposta à senoide complexa Caso Contínuo Entrada xt ejω₀t senoide de frequência ω₀ Saída yt hτejω₀tτ dτ ejω₀t hτejω₀τ dτ to to Hjω₀ hτejω₀τ dτ to yt Hjω₀ ejω₀t Hjω₀ A saída é a mesma senoide modificada em módulo e fase por Hjω₀ Analogia com autovalor e autovetor Variandose ω Hjω fornece a resposta do sistema na frequência Hjω resposta de magnitude módulo Hjω resposta de fase Aqui ω Como tratar a senoide real xt A cosω₀t ϕ Resposta à senoide complexa Caso Discreto Entrada xn eʲΩ₀ⁿ senoide de frequência Ω₀ Saída yn de k a hkeʲΩ₀ⁿᵏ eʲΩ₀ⁿ de k a hkeʲΩ₀ᵏ HeʲΩ₀ de k a hkeʲΩ₀ᵏ yn HeʲΩ₀eʲΩ₀nHeʲΩ₀ A saída é a mesma senoide modificada em módulo e fase por HeʲΩ₀ Analogia com autovalor e autovetor Variandose Ω HeʲΩ fornece a resposta do sistema na frequência HeʲΩ resposta de magnitude módulo HeʲΩ resposta de fase É periódica com período 2π usual considerar Ωππ Como tratar a senoide real xn A cosΩ₀n Φ Resposta à exponencial complexa Caso Contínuo Entrada xt eσ₀jω₀t Saída yt de a hτeσ₀jω₀tτ dτ eσ₀jω₀t de a hτeσ₀jω₀τ dτ Hσ₀ jω₀ de a hτeσ₀jω₀τ dτ yt Hσ₀ jω₀eσ₀jω₀t A saída é a mesma exponencial modificada por Hσ₀ jω₀ Analogia com autovalor e autovetor Resposta à Exponencial Complexa Caso Discreto Entrada xn r₀eʲΩ₀ⁿ Saída yn de k a hkr₀eʲΩ₀ⁿᵏ r₀eʲΩ₀ⁿ de k a hkr₀eʲΩ₀ᵏ Hr₀eʲΩ₀ de k a hkr₀eʲΩ₀ᵏ yn Hr₀eʲΩ₀r₀eʲΩ₀ⁿ A saída é a mesma exponencial modificada por Hr₀eʲΩ₀ Analogia com autovalor e autovetor Descricao de SLITs Dois conceitos uteis Sistema relaxado ou em repouso sem energia Estado de um sistema referese a sua energia interna esta ligado aos armazenadores de energia Exemplo Mecˆanico md2xt dt2 c dxt dt kxt f t rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 26 47 Descrição de SLITs no Tempo Contínuo Exemplo Elétrico vt R it L d itdt 1C from to t iτ dτ L d2 itdt2 R d itdt 1C it d vtdt Equação diferencial geral from k0 to N ak dk ytdtk from k0 to M bk dk xtdtk de ordem N CEFETRJ Resposta de SLITs no Tempo Contınuo Solucionando a Equacao Diferencial 1 Caso idealizado Sistema causal esta relaxado em t Conhecemse todas as entradas aplicadas desde entao Solucao composicao dos efeitos de cada entrada individual 2 Caso mais pratico Sistema causal nao esta relaxado E preciso ter informacoes adicionais sobre o estado do sistema condicoes auxiliares Condicao Nao ocorrer outra entrada desconhecida no intervalo considerado Solucao composicao dos efeitos da entrada aplicada e do estado naonulo yt ypt yht yt resposta completa ypt resposta de estado nulo yht resposta de entrada nula rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 28 47 Resposta de SLITs no Tempo Contínuo Resposta de entrada nula yht 1 Equação homogênea from k0 to N ak dk ytdtk 0 2 Equação característica from k0 to N ak λk 0 com N raízes λn Cada raiz λn com multiplicidade m gera os modos de vibração eλnt teλnt tm1eλnt São os modos naturais do sistema 3 yht from k1 to N αk modokn é a forma mais geral de zerar o lado esquerdo da homogênea CEFETRJ Resposta de SLITs no Tempo Contınuo Resposta de entrada nula yht 4 Se nao existe de fato entrada yt yht e N condicoes auxiliares permitem achar αk A solucao sera valida desde a condicao auxiliar mais antiga Os modos naturais decorrem da estrutura interna do sistema A resposta ao impulso so contem modos naturais eou impulsos isolados rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 30 47 Resposta de SLITs no Tempo Contınuo Exemplo 7 Para o sistema d2yt dt2 3dyt dt 2yt dxt dt encontre yht com condicoes iniciais y0 0 e y0 5 Exemplo 8 Para o sistema d2yt dt2 6dyt dt 9yt 3dxt dt 5xt encontre yht com condicoes iniciais y0 3 e y0 7 rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 31 47 Resposta de SLITs no Tempo Contınuo Resposta de Estado Nulo ypt yp ht xt Agora so precisamos calcular a resposta ao impulso ht rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 32 47 Cálculo da Resposta ao Impulso Para um sistema descrito por from k0 to N ak dk ytdtk from k0 to M bk dk xtdtk Se N M ht bNaN δt modos naturais Se M N ht modos naturais De maneira geral ht bNaN δt from k0 to M bk dk yhtdtk ut onde yht é a solução da equação homogênea com a seguintes condições iniciais yh0 yh10 yhN20 0 yhN10 1 CEFETRJ Calculo da Resposta ao Impulso Exemplo 9 Determine a resposta ao impulso ht e a resposta ao degrau st para o sistema d2yt dt2 3dyt dt 2yt dxt dt rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 34 47 Resposta Completa yt 1 Dados yht k1N αk modokn com αk em aberto ypt determinada N condições auxiliares 2 Calculase yt yht ypt 3 Obtêmse αk forçandose as condições auxiliares em yt Exemplo Econômico Aplicação com rendimento mensal r préfixado Montante sn no mês n Depósitos mensais dn imediatamente após rendimentos creditados sn rsn1 dn sn rsn1 dn Equação de diferenças geral k0N ak ynk k0M bk xnk de ordem N Resposta de SLITs no Tempo Discreto Solucionando a equacao de diferencas 1 Caso idealizado Sistema causal estava relaxado em n Conhecemse todas as entradas aplicadas desde entao Solucao composicao dos efeitos de cada entrada individual 2 Caso mais pratico Sistema causal nao esta relaxado e se lhe aplica uma entrada E preciso ter informacoes adicionais sobre o estado do sistema condicoes auxiliares Condicao Nao ocorrer outra entrada desconhecida no intervalo considerado Solucao composicao dos efeitos da entrada aplicada e do estado naonulo yn ypn yhn yn resposta completa ypn resposta de estado nulo yhn resposta de entrada nula rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 37 47 Resposta de Entrada Nula yhn 1 Equação homogênea k0N ak ynk 0 2 Equação característica k0N ak zk 0 com N raízes zn Cada raiz zn com multiplicidade m gera os modos de vibração znn nznn nm1znn São os modos naturais do sistema 3 yhn k1N αk modokn é a forma mais geral de zerar o lado esquerdo da homogênea Resposta de SLITs no Tempo Discreto Resposta de Entrada Nula yhn 4 Se nao existe de fato entrada yn yhn e N condicoes auxiliares permitem achar αk A solucao sera valida desde a condicao auxiliar mais antiga Os modos naturais decorrem da estrutura interna do sistema A resposta ao impulso so contem modos naturais eou impulsos isolados rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 39 47 Resposta de SLITs no Tempo Discreto Resposta de Estado Nulo ypn ypn hn xn Agora so precisamos calcular a resposta ao impulso hn rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 40 47 Calculo da Resposta ao Impulso Resposta ao Impulso com M N hn bN aN δn yhnun Resposta ao Impulso com M N hn yhnun h1 h2 h3 hN 0 Encontrar condicoes iniciais da equacao de diferenca com xn δn e as condicoes acima rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 41 47 Calculo da Resposta ao Impulso Exemplo 10 Determine a resposta ao impulso unitario δn para o sistema yn 06yn 1 016yn 2 5xn rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 42 47 Resposta de SLITs no Tempo Discreto Resposta completa yn 1 Dados yhn Σ modokn com αk em aberto 2 ypn determinada 3 N condições auxiliares 2 Calculase yn yhn ypn 3 Obtêmse αk forçandose as condições auxiliares em yn CEFETRJ rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representação no Tempo 43 47 Sumario 1 Resposta ao Impulso e Convolucao 2 Respostas de SLIT 3 Representacao e Blocos rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 44 47 Diagrama de Blocos Partes Componentes ligacoes conexao e no operacoes multiplicacao por escalar e somador elemento armazenador tempo discreto atrasador tempo contınuo integrador Existem diversas conexoes internas possıveis para um sistema que resultam na mesma equacao de diferencas ou diferencial rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 45 47 Forma Direta Tipo I Exemplos de 2a ordem A generalizacao para qualquer ordem N e imediata Esta forma e dita canˆonica para os multiplicadores rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 46 47 Forma Direta Tipo II Exemplos de 2a ordem A generalizacao para qualquer ordem N e imediata Esta forma e dita canˆonica para os atrasos e os multiplicadores rafaelchavescefetrjbr Sinais e Sistemas Representacao no Tempo 47 47