Sinais e Sistemas - Resposta ao Impulso em Sistemas de Tempo Discreto

Sinais e Sistemas GELE7303 UD3 Sistemas de tempo discreto Cont Aula 15R parte b CEFETRJ 20241 Aplicações 3 Prof Roberto Ades Exemplo 1 Calcular a resposta ao impulso da seguinte FT 𝐺 𝑧 1 𝑧2 𝑧 05 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 2 Exemplo 1 Exemplo 1 Calcular a resposta ao impulso da seguinte FT 𝐺 𝑧 1 𝑧2 𝑧 05 a 1º Método solução analítica 𝑈 𝑧 𝒵 𝑛 1 𝑌 𝑧 1 𝑧 05 𝑗05 𝑧 05 𝑗05 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 1 Expansão em frações parciais 𝑌 𝑧 𝐴 𝑗𝐵 𝑧 05 𝑗05 𝐴 𝑗𝐵 𝑧 05 𝑗05 3 Ex1 1º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 2 Cálculo dos coeficientes 𝑌 𝑧 𝑗 𝑧 05 𝑗05 𝑗 𝑧 05 𝑗05 𝐴 𝑗𝐵 ቤ 1 𝑧 05 𝑗05 𝑧05𝑗05 𝑗 𝐴 0 𝐵 1 3 Cálculo da transformada z inversa 𝑦 𝑛 𝒵1 𝑌 𝑧 𝑗 05 𝑗05 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑗 05 𝑗05 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑦 𝑛 𝑒𝑗𝜋 2 05 2 𝑛1𝑒𝑗𝜋 4 𝑛1 𝑒𝑗𝜋 2 05 2 𝑛1𝑒𝑗𝜋 4 𝑛1 𝑢 𝑛 1 4 Ex1 1º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 3 Cálculo da transformada z inversa 𝑦 𝑛 𝑒𝑗𝜋 2 05 2 𝑛1𝑒𝑗𝜋 4 𝑛1 𝑒𝑗𝜋 2 05 2 𝑛1𝑒𝑗𝜋 4 𝑛1 𝑢 𝑛 1 𝑦 𝑛 05 2 𝑛1 𝑒𝑗 𝜋 4 𝑛1 𝜋 2 𝑒𝑗 𝜋 4 𝑛1 𝜋 2 𝑢 𝑛 1 𝑦 𝑛 2 05 2 𝑛1 cos 𝜋 4 𝑛 1 𝜋 2 𝑢 𝑛 1 5 Ex1 1º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 4 Cálculo de valores da resposta 𝑦 𝑛 2 05 2 𝑛1 cos 𝜋 4 𝑛 1 𝜋 2 𝑢 𝑛 1 Com o auxílio do Matlab y0 0 y13 0 y1 0 y14 0015625 y2 1 y15 0015625 y3 1 y4 05 y5 0 y6 025 y7 025 y8 0125 y9 0 y10 00625 y11 00625 y12 003125 6 Ex1 Simulação Aplicações transformada z Prof Roberto Ades b 2º Método solução computacional 1 Recompondo a equação diferença considerando uma entrada impulsiva 𝑦 𝑘 2 𝑦 𝑘 1 05𝑦 𝑘 𝛿 𝑘 que fornece os mesmos valores obtidos no 1º método variandose o valor de k c 3º Método divisão polinomial Fornece os mesmos valores de resposta fazendo a divisão polinomial 7 Ex1 2º3º Métodos Aplicações transformada z Prof Roberto Ades Exemplo 2 Calcular a transformada inversa da seguinte FT 𝑋 𝑧 10𝑧3 1 𝑧 2 2𝑧 3 8 Exemplo 2 Exemplo 2 Calcular a transformada inversa da FT da seguinte FT 𝑋 𝑧 10𝑧3 1 𝑧 2 2𝑧 3 Solução 1 Dividindo os polinômios 𝑋 𝑧 10𝑧3 1 𝑧 2 2𝑧 3 10 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 2 2𝑧 3 2 Expansão em frações parciais 𝑋 𝑧 10 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 2 2𝑧 3 10 𝐶1 𝑧 22 𝐶2 𝑧 2 𝐶3 𝑧 3 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 9 Ex2 1º Método 2 Expansão em frações parciais 𝑋 𝑧 10 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 2 2𝑧 3 10 𝐶1 𝑧 22 𝐶2 𝑧 2 𝐶3 𝑧 3 3 Cálculo dos resíduos 𝐶3 𝑧 3 ቚ 𝑋 𝑧 𝑧3 อ 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 2 2 𝑧3 271 𝐶1 ቚ 𝑧 2 2𝑋 𝑧 𝑧2 อ 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 3 𝑧2 81 𝐶2 ቤ 𝑑 𝑑𝑧 𝑧 2 2𝑋 𝑧 𝑧2 อ 𝑧 3 140𝑧 160 70𝑧2 160𝑧 121 𝑧 32 𝑧2 𝐶2 201 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 10 Ex2 1º Método Portanto 𝑋 𝑧 10 81 𝑧 22 201 𝑧 2 271 𝑧 3 4 Cálculo da transformada z inversa 𝒵1 𝑋 𝑧 𝒵1 10 𝒵1 81 𝑧 2 2 𝒵1 201 𝑧 2 𝒵1 271 𝑧 3 𝑥3 𝑛 𝒵1 201 𝑧 2 201 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑥4 𝑛 𝒵1 271 𝑧 3 271 3 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑥1 𝑛 𝒵1 10 10𝛿 𝑛 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 11 Ex2 1º Método Finalmente desejase calcular 𝒵 𝑛𝑥 𝑛 𝑧 𝑑𝑋 𝑧 𝑑𝑧 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 12 Ex2 1º Método 𝒏 𝟏 𝒙𝑩 𝒏 𝟏 𝑥2 𝑛 Portanto 𝑥2 𝑛 81 𝑛 1 2 𝑛2𝑢 𝑛 2 𝑿𝑩 𝒛 81 𝑧 2 𝒙𝑩 𝒏 81 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝒛 𝒅𝑿𝑩 𝒛 𝒅𝒛 𝑧 81 𝑧 2 2 81𝑧 𝑧 2 2 𝒏𝒙𝑩 𝒏 81𝑛 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝒛𝟏 81𝑧 𝑧 2 2 81 𝑧 2 2 𝑋2 𝑧 𝒵1 81 𝑧 2 2 Considere a seguinte propriedade Como 𝑥 𝑛 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑥3 𝑛 𝑥4 𝑛 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 13 Ex2 1º Método 𝑥 𝑛 10𝛿 𝑛 81 𝑛 1 2 𝑛2𝑢 𝑛 2 201 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 271 3 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑥3 𝑛 201 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑥4 𝑛 271 3 𝑛1𝑢 𝑛 1 𝑥1 𝑛 10𝛿 𝑛 𝑥2 𝑛 81 𝑛 1 2 𝑛2𝑢 𝑛 2 OBS outra solução para o cálculo de Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 𝒵1 81 𝑧 2 2 𝑋2 𝑧 Portanto 𝒵1 𝑌 𝑧 𝒵1 𝑧𝑋2 𝑧 𝒵1 81𝑧 𝑧 2 2 81 2 𝑛2𝑛𝑢 𝑛 𝑦 𝑛 Mas então 𝑋2 𝑧 𝑧1𝑌 𝑧 𝑥2 𝑛 𝑦 𝑛 1 81 2 𝑛 1 2𝑛1𝑢 𝑛 2 Pela tabela de transformada z 𝒵 𝑛𝛾𝑛𝑢 𝑛 1 𝛾𝑧 𝑧 𝛾 2 A propriedade 8 da tabela 52 do Lathi está errada 𝑥2 𝑛 81 𝑛 1 2𝑛2𝑢 𝑛 2 14 Ex2 1º Método Logo 𝑥 𝑛 10𝛿 𝑛 81 𝑛 1 2 𝑛2𝑢 𝑛 2 201 2 𝑛1𝑢 𝑛 1 271 3 𝑛1𝑢 𝑛 1 Verificação n xn 0 10 1 70 2 330 3 1311 4 4737 a partir da equação acima OBS o mesmo resultado é alcançado dividindose os polinômios de Xz fornecidos no enunciado Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 15 Ex2 Resultado Exemplo 1 da aula 15R método de Tustin Exemplo 3 Calcular a resposta ao degrau da seguinte FT 𝐺𝑡 𝑧 01 𝑧 1 2 525𝑧2 75𝑧 325 a 1º Método solução computacional 𝑈 𝑧 𝒵 𝑢 𝑛 𝑧 𝑧 1 𝑌 𝑧 01 𝑧 1 2 525𝑧2 75𝑧 325 𝑧 𝑧 1 01 𝑧3 2𝑧2 𝑧 525𝑧3 1275𝑧2 1075𝑧 325 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 16 Ex3 1º Método Colocando sob a forma de equação diferença a 1º Método solução computacional 𝑌 𝑧 01 𝑧 1 2 525𝑧2 75𝑧 325 𝑧 𝑧 1 01 𝑧3 2𝑧2 𝑧 525𝑧3 1275𝑧2 1075𝑧 325 525𝑦 𝑘 3 1275𝑦 𝑘 2 1075𝑦 𝑘 1 325𝑦 𝑘 01𝛿 𝑘 3 02𝛿 𝑘 2 01𝛿 𝑘 1 Para k 3 𝑦 0 01 525 001904 Para k 2 𝑦 1 008434 Para k 1 𝑦 2 018489 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 17 Ex3 1º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades y0 0019047619047619 Y1 0084353741496599 Y2 0184904437965662 Y3 0288120690453052 Y4 0373326810477997 Y5 0431154063735726 Y6 0461017779802753 Y7 0467882407881817 Y8 0459201957096129 Y9 0442551781448584 Y10 0424139428628944 Y11 0408143319049369 Y12 0396689857109752 Y13 0390230122173846 Y14 0388092167751839 Para facilitar seguem os valores calculados no Matlab utilizando a eq diferença Comparação com a resposta do sistema contínuo 18 Ex3 Simulação Exemplo 1 da aula 15R método de Tustin Exemplo 3 Calcular a resposta ao degrau da seguinte FT 𝐺𝑡 𝑧 01 𝑧 1 2 525𝑧2 75𝑧 325 b 2º Método solução analítica 𝑌 𝑧 01 𝑧3 2𝑧2 𝑧 525𝑧2 75𝑧 325 𝑧 1 01𝑧 525 𝑧2 2z 1 𝑧2 14286𝑧 06190 𝑧 1 Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 1 Posições dos polos 𝑧𝑝12 07143 𝑗03299 𝑧𝑝3 1 𝑧𝑝12 0787 𝑧𝑝12 2479𝑜 19 Ex3 2º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 2 Expansão em frações parciais 𝑌 𝑧 01𝑧 525 𝐴 𝑗𝐵 𝑧 𝑧𝑝1 𝐴 𝑗𝐵 𝑧 𝑧𝑝1 𝐶 𝑧 1 𝐶 21 𝐴 10 𝐵 34641 3 Substituindo os resíduos na expansão 𝑌 𝑧 01𝑧 525 10 𝑗34641 𝑧 07143 𝑗03299 10 𝑗34641 𝑧 07143 𝑗03299 21 𝑧 1 20 Ex3 2º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 4 Cálculo da transformada z inversa 𝑦 𝑛 𝒵1 𝑌 𝑧 𝑦 𝑛 01 525 𝒵1 10 𝑗34641 𝑧 𝑧 07143 𝑗03299 10 𝑗34641 𝑧 𝑧 07143 𝑗03299 21𝑧 𝑧 1 𝑦1 𝑛 01 525 10583𝑒𝑗16089 0787𝑒𝑗2479 𝑛 𝑢𝑛 𝑦 𝑛 𝑦1 𝑛 𝑦2 𝑛 𝑦3 𝑛 Portanto 𝑦1 𝑛 02016𝑒𝑗16089 0787𝑒𝑗2479 𝑛𝑢𝑛 21 Ex3 2º Método Aplicações transformada z Prof Roberto Ades 4 Cálculo da transformada z inversa 𝑦 𝑛 𝑦1 𝑛 𝑦2 𝑛 𝑦3 𝑛 𝑦1 𝑛 02016 𝑒𝑗16089 0787𝑒𝑗2479 𝑛𝑢𝑛 𝑦2 𝑛 02016 𝑒𝑗16089 0787𝑒𝑗2479 𝑛𝑢𝑛 𝑦3 𝑛 04 𝑢𝑛 Agrupando as parcelas 𝑦 𝑛 04032 0787 𝑛 cos 2479 𝑛 16089 04 𝑢𝑛 o que confere com o resultado apresentado pelo outro método a menos de alguma imprecisão numérica 22 Ex3 2º Método