Relatorio Dinamica de Sistemas Nao Inerciais Analise e Simulacao em Python-MATLAB

r Θ O P m n₁ n₂ n₃ mg F₁ F₃ b₂ b₁ b₃ F B ω A 1 Análise da Dinâmica do Sistema proposto a Definir os materiais envolvidos e parâmetros b Análise da influência de parâmetros do sistema na resposta do sistema 2 O Trabalho deve estar em modelo de relatório o Capa o Resumo o Sumário o Conteúdo Principal introdução desenvolvimento conclusões o Referências o Apêndices o Anexos 3 É possível utilizar linguagem Python ou MATLAB Capa Resumo Este trabalho se resume em determinar por meio das equações de movimento em referenciais não inerciais as equações de movimento e posteriormente a posição de uma esfera que se move em uma canaleta de uma haste circular que gira por meio de um motor que controla a velocidade Em seguida com recursos de programação plotar como se comporta a posição de esfera em função da variação da velocidade do motor Objetivo O trabalho proposto tem por objetivo estudar as leis que governam o movimento de uma pequena esfera sujeita a deslizar sobre uma canaleta de com formato de arco de circunferência que gira sobre um eixo principal acionado por um atuador com a possibilidade de variar a velocidade de giro da haste O parâmetro principal a ser medido é a posição angular da esfera e esperase que haja uma dependência entre a posição assumida pela esfera e a velocidade de rotação da haste Introdução A cinemática e a dinâmica em três dimensões são ramos fundamentais da física que nos permitem compreender e descrever o movimento dos corpos no espaço tridimensional A cinemática trata da análise dos aspectos geométricos do movimento como posição velocidade e aceleração sem se preocupar com as causas desse movimento Por outro lado a dinâmica concentrase nas forças que agem sobre um objeto e como essas forças influenciam seu movimento levando em consideração as três dimensões do espaço A combinação desses dois campos da física é essencial para resolver problemas complexos envolvendo objetos que se movem em todas as direções como planetas orbitando o Sol a trajetória de uma bola de beisebol arremessada ou até mesmo o movimento de partículas subatômicas em experimentos de física de alta energia O estudo da cinemática e dinâmica em três dimensões desempenha um papel crucial na exploração do nosso mundo físico e na aplicação de princípios científicos em diversas áreas incluindo engenharia astronomia biologia e muito mais Neste texto exploraremos os conceitos fundamentais desses campos para entender melhor como os objetos se movem no espaço tridimensional A compreensão dos referenciais inerciais e não inerciais é essencial para a análise precisa do movimento de objetos em física Referenciais inerciais são sistemas de coordenadas em que um objeto em repouso permanece em repouso e um objeto em movimento uniforme continua se movendo a uma velocidade constante a menos que uma força externa atue sobre ele Esses referenciais são fundamentais para estabelecer leis físicas como as Leis de Newton e a Lei da Gravitação Universal permitindonos descrever o movimento de forma simples e previsível Por outro lado referenciais não inerciais são sistemas de coordenadas que estão acelerados ou em rotação de modo que um objeto pode parecer experimentar forças fictícias como a força centrífuga ou a força de Coriolis Em referenciais não inerciais as leis da física podem parecer mais complexas uma vez que forças aparentes devem ser adicionadas às forças reais para explicar o movimento observado Além disso em alguns cenários como a descrição de movimentos em trajetórias curvas ou superfícies não planas é necessário utilizar sistemas de coordenadas curvilíneos Diferentemente dos sistemas cartesianos tradicionais onde as coordenadas são ortogonais sistemas curvilíneos usam coordenadas que podem ser expressas em termos de ângulos ou outras grandezas que variam ao longo da trajetória Isso é especialmente relevante em física teórica na descrição de movimentos em órbitas planetárias trajetórias de partículas subatômicas ou mesmo na análise de movimentos em sistemas não planos como a superfície da Terra Em resumo os referenciais inerciais e não inerciais juntamente com sistemas de coordenadas curvilíneas são ferramentas cruciais na análise do movimento e na formulação de leis físicas que nos ajudam a entender como os objetos se comportam no universo em que vivemos Eles são fundamentais para a física teórica e prática bem como para o desenvolvimento de tecnologias que moldam nosso mundo moderno Desenvolvimento Para os propósitos deste trabalho a esfera será considerada um ponto material O desenho mostra dentre outros detalhes os referencias adotados no problema O sistema de referência formado pelos vetores 𝑏1 𝑏2 𝑏3 com origem em O é inercial nele se observa há haste curvilínea girando e dentro dela a esfera se deslocando Por outro lado o referencial formado pelos vetores 𝑛1 𝑛2 𝑛3 com origem em O é não inercial a partir dele se observa o movimento da esfera e este somente pode ser concebido por meio de forças inerciais A descrição do movimento é mais adequada e simplificada em termos do sistema não inercial desde que se faça a apropriada modificação nas equações de movimento acrescentando o termo devido ao movimento de rotação dos eixos não inercias Algumas grandezas não naturalmente descritas no sistema inercial portanto será necessário a devida matriz de transformação de coordenadas entre os sistemas de referência A matriz de rotação entre os sistemas é dada a seguir observando que uma rotação de um ângulo 90 𝜃 em torno de 𝑏3 leva o um sistema ao outro 𝑇𝜃 cos90 𝜃 sin90 𝜃 0 sin90 𝜃 cos90 𝜃 0 0 0 1 𝑇𝜃 sin𝜃 cos𝜃 0 cos𝜃 sin𝜃 0 0 0 1 Dois vetores descritos no sistema inercial são a rotação da haste circular e a aceleração da gravidade dados a seguir 𝑤 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑤 0 0 𝑔 𝑔 0 0 Descrevendo estes vetores no sistema não inercial 𝑤 sin𝜃 cos𝜃 0 cos𝜃 sin𝜃 0 0 0 1 𝑤 0 0 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 0 𝑔 sin𝜃 cos𝜃 0 cos𝜃 sin𝜃 0 0 0 1 𝑔 0 0 𝑔 sin𝜃 𝑔 cos𝜃 0 Os vetores que são descritos naturalmente no sistema não inercial são as componentes da força de contato as componentes da posição da esfera as componentes da velocidade da esfera e as componentes da rotação dos eixos não inerciais A velocidade é limitada ao eixo 𝑛2 devido ao vínculo geométrico que obriga a esfera a se mover na haste circular 𝐹𝑐 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑟 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑅 0 0 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣3 0 𝑣2 0 𝑤 𝑤1 𝑤2 𝑤3 0 0 𝜃 A rotação resultando dos eixos não inerciais é dada pela expressão a seguir 𝑤 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 0 0 0 𝜃 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 Cálculo da velocidade da esfera usando a expressão apropriada para referenciais não inerciais 𝑣 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑟 𝑣 𝑑 𝑑𝑡 𝑅 0 0 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 𝑋 𝑅 0 0 𝑣 𝑑𝑅 𝑑𝑡 0 0 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 𝑅 0 0 𝑣 0 0 0 0 0 𝜃𝑅 0 0 𝑤𝑅 cos𝜃 𝑣 0 𝜃𝑅 𝑤𝑅 cos𝜃 A velocidade da esfera relativa ao sistema não inercial é dada por 𝑣 𝑟𝑒𝑙 0 𝜃𝑅 𝑤𝑅 cos𝜃 0 0 𝑤𝑅 cos𝜃 0 𝜃𝑅 0 Cálculo da aceleração da esfera usando a expressão apropriada para referenciais não inerciais 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑣 𝑎 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑟 𝑤 𝑋 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑋 𝑟 𝑤 𝑋 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑋 𝑟 𝑤 𝑋 𝑣 𝑤 𝑋𝑣 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑋 𝑟 2 𝑤 𝑋 𝑣 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 Sabendo que a haste circular gira como velocidade angular constante 𝑎 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 2 𝑤 𝑋 𝑣 𝑟𝑒𝑙 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 2 𝑤 𝑋 𝑣 𝑟𝑒𝑙 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑅 0 0 2 𝑤 𝑋 𝑣 𝑟𝑒𝑙 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 0 2 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 𝑋 0 𝜃𝑅 0 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 2 𝜃2𝑅 0 𝜃𝑤𝑅 sin𝜃 𝑤 𝑋 𝑤 𝑋 𝑟 𝑎 2𝜃2𝑅 0 2𝜃𝑤𝑅 sin𝜃 𝑤 𝑋 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 𝑋 𝑅 0 0 𝑎 2𝜃2𝑅 0 2𝜃𝑤𝑅 sin𝜃 𝑤 𝑋 0 𝜃𝑅 𝑤𝑅 cos𝜃 𝑎 2𝜃2𝑅 0 2𝜃𝑤𝑅 sin𝜃 𝑤 sin𝜃 𝑤 cos𝜃 𝜃 𝑋 0 𝜃𝑅 𝑤𝑅 cos𝜃 𝑎 2𝜃2𝑅 0 2𝜃𝑤𝑅 sin𝜃 𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝜃 2𝑅 𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 𝑎 𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝜃 2𝑅 𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 Usando a segunda lei de Newton 𝐹 𝑚 𝑎 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑚 𝑔 sin𝜃 𝑔 cos𝜃 0 𝑚 𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝜃 2𝑅 𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑚𝑔 sin𝜃 𝑚𝑔 cos𝜃 0 𝑚𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝑚𝜃 2𝑅 𝑚𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝑚𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 Separando as componentes 𝐹1 𝑚𝑔 sin𝜃 𝑚𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝑚𝜃 2𝑅 𝐹2 𝑚𝑔 cos𝜃 𝑚𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝐹3 𝑚𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 Supondo que a haste circular seja construída de tal forma que não haja força de atrito durante o deslizamento da haste a componente 2 da força é nula 𝐹1 𝑚𝑔 sin𝜃 𝑚𝑤2𝑅 cos2𝜃 𝑚𝜃 2𝑅 𝑚𝑔 cos𝜃 𝑚𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝐹3 𝑚𝑤𝜃𝑅 sin𝜃 Resolvendo a segunda equação 𝑚𝑔 cos𝜃 𝑚𝑤2𝑅 sin𝜃cos𝜃 𝑔 𝑤2𝑅 sin𝜃 Isolando a variável ângulo obtemos a função que relaciona a posição angular da esfera no sistema de referência não inercial 𝜃 arcsin 𝑔 𝑤2𝑅 Derivando a expressão 𝜃 1 1 𝑔 𝑤2𝑅 2 2 𝑔 𝑤3𝑅 𝑤 𝜃 2𝑤 𝑔 𝑤3𝑅1 𝑔 𝑤2𝑅 2 𝜃 2𝑤 𝑔 𝑤6𝑅2 𝑔2𝑤2 Portanto o conjunto de expressões que relaciona a posição da esfera e as forças que a mesma sente no trilho da haste circular são dadas a seguir 𝜽 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒈 𝒘𝟐𝑹 𝑭𝟏 𝒎𝒈 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝒎𝒘𝟐𝑹 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 𝒎𝜽 𝟐𝑹 𝑭𝟑 𝒎𝒘𝜽 𝑹 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝜽 𝟐𝒘 𝒈 𝒘𝟔𝑹𝟐 𝒈𝟐𝒘𝟐 Definição dos Materiais e Parâmetros Esfera de aço 𝑚 100 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 Haste circular de Polipropileno 𝑅 1𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 Aceleração da gravidade 𝑔 981 𝑚𝑠2 Velocidade angular da haste circular podendo variar de zero a infinito Resultados A análise das expressões obtidas é rica em informações A primeira expressão mostra que para uma experiência realizada na Terra a posição ocupada pela esfera no trilho depende exclusivamente de a velocidade angular da haste circular controlada pelo motor Para altas rotações a expressão mostra que o ângulo é pequeno o que faz sentido com o que se espera pois a velocidade angular fornece o potencial centrífugo ou força centrífuga que empurra a esfera o mais longe possível do eixo de rotação Para baixas rotações a expressão mostra que o ângulo é grande e portanto não há força centrífuga suficiente para afastar a esfera do eixo de rotação sendo que no caso crítico de haste imóvel a esfera se encontra em repouso na parte inferior A quarta expressão mostra que se o motor acelerar a haste a esfera responde com ganho de velocidade Uma aceleração angular positiva da haste resulta em velocidade angular da posição da esfera negativa Uma aceleração angular negativa da haste resulta em velocidade angular da posição da esfera positiva A relação entre as grandezas da primeira e quarta equação resulta em uma equação diferencial não linear de posição da esfera sujeita a acelerações da haste pelo motor As segunda e terceira expressões mostram o valor da força de contato radial e circunferencial da esfera com a haste circular A terceira equação em particular mostra que a componente circunferencial da força somente existirá caso a esfera se mova no trilho que somente ocorre caso o motor acelere a haste A seguir temos o código em MATLAB que mostra a dependência da posição da esfera em função da velocidade angular da haste circular O gráfico confirma as análises preliminares Para baixas velocidades a esfera se mantém na posição inferior cujo parâmetro do ângulo vale 90 ou 15708 radianos Para rotações em torno de 3 radianos por segundo a esfera sente a força centrifugo de forma pronunciada subindo gradativamente na haste com o aumento da velocidade Para altas rotações o ângulo já é próximo de zero e a esfera está perto do ponto mais alto Conclusões De fato as leis gerais da mecânica clássica aplicada a referencias não inerciais fornece ferramentas apropriadas para modelar o problema proposto Os resultados obtidos estão em total acordo com o que se espera que é a subida da esfera na canaleta da haste circular com o aumento da rotação e portanto da força centrífuga A força circunferencial somente surge quando o motor acelera a haste circular forçando a esfera a se mover a velocidade da esfera em relação ao referencial não inercial gera a força de Corioli que é a componente circunferencial da força de contato Bibliografia Mecânica para Engenharia Dinâmica Meriam Kraige Mecânica Analítica Nivaldo Lemos Capa Resumo Este trabalho se resume em determinar por meio das equações de movimento em referenciais não inerciais as equações de movimento e posteriormente a posição de uma esfera que se move em uma canaleta de uma haste circular que gira por meio de um motor que controla a velocidade Em seguida com recursos de programação plotar como se comporta a posição de esfera em função da variação da velocidade do motor Objetivo O trabalho proposto tem por objetivo estudar as leis que governam o movimento de uma pequena esfera sujeita a deslizar sobre uma canaleta de com formato de arco de circunferência que gira sobre um eixo principal acionado por um atuador com a possibilidade de variar a velocidade de giro da haste O parâmetro principal a ser medido é a posição angular da esfera e esperase que haja uma dependência entre a posição assumida pela esfera e a velocidade de rotação da haste Introdução A cinemática e a dinâmica em três dimensões são ramos fundamentais da física que nos permitem compreender e descrever o movimento dos corpos no espaço tridimensional A cinemática trata da análise dos aspectos geométricos do movimento como posição velocidade e aceleração sem se preocupar com as causas desse movimento Por outro lado a dinâmica concentrase nas forças que agem sobre um objeto e como essas forças influenciam seu movimento levando em consideração as três dimensões do espaço A combinação desses dois campos da física é essencial para resolver problemas complexos envolvendo objetos que se movem em todas as direções como planetas orbitando o Sol a trajetória de uma bola de beisebol arremessada ou até mesmo o movimento de partículas subatômicas em experimentos de física de alta energia O estudo da cinemática e dinâmica em três dimensões desempenha um papel crucial na exploração do nosso mundo físico e na aplicação de princípios científicos em diversas áreas incluindo engenharia astronomia biologia e muito mais Neste texto exploraremos os conceitos fundamentais desses campos para entender melhor como os objetos se movem no espaço tridimensional A compreensão dos referenciais inerciais e não inerciais é essencial para a análise precisa do movimento de objetos em física Referenciais inerciais são sistemas de coordenadas em que um objeto em repouso permanece em repouso e um objeto em movimento uniforme continua se movendo a uma velocidade constante a menos que uma força externa atue sobre ele Esses referenciais são fundamentais para estabelecer leis físicas como as Leis de Newton e a Lei da Gravitação Universal permitindonos descrever o movimento de forma simples e previsível Por outro lado referenciais não inerciais são sistemas de coordenadas que estão acelerados ou em rotação de modo que um objeto pode parecer experimentar forças fictícias como a força centrífuga ou a força de Coriolis Em referenciais não inerciais as leis da física podem parecer mais complexas uma vez que forças aparentes devem ser adicionadas às forças reais para explicar o movimento observado Além disso em alguns cenários como a descrição de movimentos em trajetórias curvas ou superfícies não planas é necessário utilizar sistemas de coordenadas curvilíneos Diferentemente dos sistemas cartesianos tradicionais onde as coordenadas são ortogonais sistemas curvilíneos usam coordenadas que podem ser expressas em termos de ângulos ou outras grandezas que variam ao longo da trajetória Isso é especialmente relevante em física teórica na descrição de movimentos em órbitas planetárias trajetórias de partículas subatômicas ou mesmo na análise de movimentos em sistemas não planos como a superfície da Terra Em resumo os referenciais inerciais e não inerciais juntamente com sistemas de coordenadas curvilíneas são ferramentas cruciais na análise do movimento e na formulação de leis físicas que nos ajudam a entender como os objetos se comportam no universo em que vivemos Eles são fundamentais para a física teórica e prática bem como para o desenvolvimento de tecnologias que moldam nosso mundo moderno Desenvolvimento Para os propósitos deste trabalho a esfera será considerada um ponto material O desenho mostra dentre outros detalhes os referencias adotados no problema O sistema de referência formado pelos vetores b1b2b3 com origem em O é inercial nele se observa há haste curvilínea girando e dentro dela a esfera se deslocando Por outro lado o referencial formado pelos vetores n1n2n3 com origem em O é não inercial a partir dele se observa o movimento da esfera e este somente pode ser concebido por meio de forças inerciais A descrição do movimento é mais adequada e simplificada em termos do sistema não inercial desde que se faça a apropriada modificação nas equações de movimento acrescentando o termo devido ao movimento de rotação dos eixos não inercias Algumas grandezas não naturalmente descritas no sistema inercial portanto será necessário a devida matriz de transformação de coordenadas entre os sistemas de referência A matriz de rotação entre os sistemas é dada a seguir observando que uma rotação de um ângulo 90θ em torno de b3 leva o um sistema ao outro T θ cos90θ sin 90θ 0 sin 90θ cos 90θ 0 0 0 1 T θ sin θ cosθ 0 cosθ sin θ 0 0 0 1 Dois vetores descritos no sistema inercial são a rotação da haste circular e a aceleração da gravidade dados a seguir whaste w 0 0 g g 0 0 Descrevendo estes vetores no sistema não inercial w sin θ cosθ 0 cosθ sin θ 0 0 0 1 w 0 0 wsin θ wcosθ 0 g sin θ cos θ 0 cos θ sin θ 0 0 0 1 g 0 0 gsin θ gcos θ 0 Os vetores que são descritos naturalmente no sistema não inercial são as componentes da força de contato as componentes da posição da esfera as componentes da velocidade da esfera e as componentes da rotação dos eixos não inerciais A velocidade é limitada ao eixo n2 devido ao vínculo geométrico que obriga a esfera a se mover na haste circular Fc F1 F2 F3 r r1 r2 r3 R 0 0 v v1 v2 v3 0 v2 0 w w1 w2 w3 0 0 θ A rotação resultando dos eixos não inerciais é dada pela expressão a seguir w wsin θ wcos θ 0 0 0 θ wsin θ wcos θ θ Cálculo da velocidade da esfera usando a expressão apropriada para referenciais não inerciais vd r dt w X r v d dt R 0 0 wsin θ wcos θ θ X R 0 0 v dR dt 0 0 n1 n2 n3 wsin θ wcosθ θ R 0 0 v 0 0 0 00 θ R0 0wRcos θ v 0 θ R wRcosθ A velocidade da esfera relativa ao sistema não inercial é dada por vrel 0 θ R wR cosθ 0 0 wR cosθ 0 θ R 0 Cálculo da aceleração da esfera usando a expressão apropriada para referenciais não inerciais ad v dt w X v a d dt d r dt w X rw X d r dt w X r ad 2 r dt 2 d w dt X rw X d r dt w X d r dt w X w X r ad 2 r dt 2 d w dt X rw X vw X vw X w X r ad 2 r dt 2 d w dt X r2w X vw X w X r Sabendo que a haste circular gira como velocidade angular constante ad 2 r dt 2 2w X vrelw X w X r ad 2 r dt 2 2w X vrelw X w X r a d 2 dt 2 R 0 0 2w X vrelw X w X r a02 wsin θ wcos θ θ X 0 θ R 0 w X w X r a2 θ 2 R 0 θwR sin θ w X w X r a 2 θ 2 R 0 2 θwR sin θ w X wsin θ wcosθ θ X R 0 0 a 2 θ 2 R 0 2 θwR sin θ w X 0 θ R wR cos θ a 2 θ 2 R 0 2 θwR sin θ wsin θ wcosθ θ X 0 θ R wR cos θ a 2 θ 2 R 0 2 θwR sin θ w 2 Rcos 2 θ θ 2R w 2Rsin θcos θ w θ Rsin θ a w 2Rcos 2θ θ 2 R w 2Rsin θcos θ w θ Rsin θ Usando a segunda lei de Newton Fma F1 F2 F3 m gsin θ gcosθ 0 m w 2Rcos 2θ θ 2R w 2Rsin θcos θ w θ Rsin θ F1 F2 F3 mg sin θ mgcos θ 0 m w 2Rcos 2θ m θ 2R m w 2 Rsin θ cos θ mw θ Rsin θ Separando as componentes F1mgsin θm w 2Rcos 2θ m θ 2R F2mgcos θ m w 2 Rsin θ cos θ F3mw θRsin θ Supondo que a haste circular seja construída de tal forma que não haja força de atrito durante o deslizamento da haste a componente 2 da força é nula F1mg sin θ m w 2 Rcos 2 θ m θ 2R mg cosθmw 2Rsin θcosθ F3mw θRsin θ Resolvendo a segunda equação mgcosθmw 2Rsin θcosθ gw 2 Rsin θ Isolando a variável ângulo obtemos a função que relaciona a posição angular da esfera no sistema de referência não inercial θarcsin g w 2 R Derivando a expressão θ 1 1 g w 2 R 2 2 g w 3 R w θ 2 w g w 3R 1 g w 2R 2 θ 2 w g w 6R 2g 2w 2 Portanto o conjunto de expressões que relaciona a posição da esfera e as forças que a mesma sente no trilho da haste circular são dadas a seguir θarcsin g w 2 R F1mg sin θ m w 2 Rcos 2 θ m θ 2R F3mw θRsin θ θ 2 w g w 6R 2g 2w 2 Definição dos Materiais e Parâmetros Esfera de aço m100 gramas Haste circular de Polipropileno R1metro Aceleração da gravidade g981m s 2 Velocidade angular da haste circular podendo variar de zero a infinito Resultados A análise das expressões obtidas é rica em informações A primeira expressão mostra que para uma experiência realizada na Terra a posição ocupada pela esfera no trilho depende exclusivamente de a velocidade angular da haste circular controlada pelo motor Para altas rotações a expressão mostra que o ângulo é pequeno o que faz sentido com o que se espera pois a velocidade angular fornece o potencial centrífugo ou força centrífuga que empurra a esfera o mais longe possível do eixo de rotação Para baixas rotações a expressão mostra que o ângulo é grande e portanto não há força centrífuga suficiente para afastar a esfera do eixo de rotação sendo que no caso crítico de haste imóvel a esfera se encontra em repouso na parte inferior A quarta expressão mostra que se o motor acelerar a haste a esfera responde com ganho de velocidade Uma aceleração angular positiva da haste resulta em velocidade angular da posição da esfera negativa Uma aceleração angular negativa da haste resulta em velocidade angular da posição da esfera positiva A relação entre as grandezas da primeira e quarta equação resulta em uma equação diferencial não linear de posição da esfera sujeita a acelerações da haste pelo motor As segunda e terceira expressões mostram o valor da força de contato radial e circunferencial da esfera com a haste circular A terceira equação em particular mostra que a componente circunferencial da força somente existirá caso a esfera se mova no trilho que somente ocorre caso o motor acelere a haste A seguir temos o código em MATLAB que mostra a dependência da posição da esfera em função da velocidade angular da haste circular O gráfico confirma as análises preliminares Para baixas velocidades a esfera se mantém na posição inferior cujo parâmetro do ângulo vale 90 ou 15708 radianos Para rotações em torno de 3 radianos por segundo a esfera sente a força centrifugo de forma pronunciada subindo gradativamente na haste com o aumento da velocidade Para altas rotações o ângulo já é próximo de zero e a esfera está perto do ponto mais alto Conclusões De fato as leis gerais da mecânica clássica aplicada a referencias não inerciais fornece ferramentas apropriadas para modelar o problema proposto Os resultados obtidos estão em total acordo com o que se espera que é a subida da esfera na canaleta da haste circular com o aumento da rotação e portanto da força centrífuga A força circunferencial somente surge quando o motor acelera a haste circular forçando a esfera a se mover a velocidade da esfera em relação ao referencial não inercial gera a força de Corioli que é a componente circunferencial da força de contato Bibliografia Mecânica para Engenharia Dinâmica Meriam Kraige Mecânica Analítica Nivaldo Lemos