Calculo-Vetorial-Resolucao-de-Exercicios-com-Teoremas-de-Green-Stokes-e-Gauss

Exercício 1 Calcule a integral de linha diretamente e também pelo teorema de Green C x dx y² dy onde C é o caminho fechado formado por y x² e y x no sentido antihorário Exercício 2 Use o teorema de Stokes para calcular S rot Fn dS a S x²z² dS onde S é a parte do cone z² x² y² que está entre os planos z1 e z3 b S z1 4x² 4y² dS onde S é a parte do paraboloide z1x²y² que se encontra dentro do cilindro x² y² 2y Exercício 3 Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas e utilizando o teorema de Gauss calcule o fluxo do campo F através de S com n exterior à superfície fechada a Fxyz 002z onde S é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x1 y2 e z3 exceto a face superior b Fxyz xyz onde S x² y² z² a² com z 0 1 caminho yx e yx² C x dx y² dy Ilustração yx Para parametrização das curvas γ1t t t² 0 t 1 γ2t 1t 1t 0 t 1 Daí dx dy γ1t 1 2t γ2t 1 1 logo dx dy C x dx y² dy γ1 x dx y² dy γ2 x dx y² dy 0¹ t 1 dt t⁴ 2t dt 0¹ 1t 01 dt 1t² 1 dt 0¹ t 2t⁵ 1t 1t² dt 0¹ t 2t⁵ 1 t 1 t² 2t dt 0¹ 2 4t t² 2t⁵ dt 2t 2t² t³3 2t⁶6𝑡1𝑡0 2 2 13 26 0 logo C x dx y² dy 0 Pelo Teorema de Green temos C x dx y² dy xy² yx dx dy 00 dx dy 0 ou seja C x dx y² dy 0 2 ₛ x² z² dS onde S é a parte do cone limitado por z1 e z3 cone z² x² y² OBS Se F R³ R então ₛ F dS Fxuθ Xu x Xθ dA onde X é uma parametrização de S Se z² x² y² z x² y² Daí uma parametrização para S é Xuθ u v u² v² com 1 u² v² 3 Daí o Xu 10 2u 2u² v² 1 0 u u² v² o Xθ 0 1 2v 2u² v² 0 1 v u² v² Xu x Xθ i j k 1 0 uu² v² 0 1 vu² v² uu² v² vu² v² Portanto Xu x Xθ u u² v²² v u² v²² 1² u² u² v² v² u² v² 1 u² v² u² v² 1 1 1 2 Além disso Sendo fxyz x² z² temos que fXuθ u² u² v²² u² u² v² Usando coordenades polares com u r cosθ v r seno com 1 r 3 0 θ 2π temos ₛ F dS fXuv Xu x Xv du dv u² u² v² du dv ₁³ ₀²π r² cos²θ r² cos²θ r² seno²θ r do dr ₁³ ₀²π r³ cos²θ r² do dr OBS cos²x 12 1cos2x ₁³ ₀²π r⁵ cos²θ do dr ₁³ r⁵ dr ₀²π 12 1cos2θ dθ r⁶6ᵣ₁³ 12 θ sen2θ2ᶿ₂ᵨ ᶿ₀ 3⁶6 16 12 2π 0 0 0 π 3⁶ 16 ou seja ₛ x² z² dS π 3⁶ 16 b S z14x²4y² ds Superfície z 1 x² y² cilindro x² y² 2y x² y 1² 1 Ilustração primeiro momento vamos parametrizar a superfície por χuvuv1u²v² com u²v1² 1 Daí χu 102u χv 012v χu χv i j k 2u 2v 1 1 0 2u 0 1 2v logo χu χv 2u²2v²1 χu χv 4u²4v²1 Sendo fxyz z14x²4y² temos que fxuv 1u²v²14u²4v² Daí S f ds fxuvχu χv du dv 1u²v²14u²4v² 14u²4v² du dv 1u²v² du dv Usando coordenadas polares ur cosθ com 0 r 1 0 θ 2π Daí S f ds ₀¹ ₀²π 1 r² cos²θ 1 r² senθ 2r senθ r dθ dr ₀¹ ₀²π 1 1 r²cos²θ sen²θ 2r senθ r dθ dr ₀¹₀²π r³ 2r²senθ dθ dr ₀¹ r³θ 2r²cosθθ0θ2π dr ₀¹ 2πr³ 2r² 0 2r²1 dr ₀¹ 2πr³ dr 2πr⁴4r0r1 2π14 π2 Portanto S z14x²4y² ds π2 3 a Fxyz 002z onde S é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos x0 y0 z0 x1 y2 z3 exceto a face superior Pelo Teorema de Gauss temos que a integral sobre toda a superfície da caixa incluindo a tampa vale F ds div F dv F1x F2y F3z dv 0 0 2 dv 2 dv volume da caixa 2 123 12 ou seja F ds 12 em toda a caixa Agora vamos calcular a integral de superfície sobre a tampa no plano z3 Parametrização da superfície Xuv uv3 com 0 u 1 0 v 2 Xu 100 Xv 010 Xu x Xv i j k 1 0 0 0 1 0 k Logo F ds FXuv Xu x Xv du dv tampa 01 02 006 001 du dv 01 02 6 du dv 6 2 1 12 Logo como S F ds tampa F ds caixa F ds S F ds 12 12 S F ds 0 b Fxyz xyz onde S x² y² z² a² com z 0 Fechando a superfície com o plano coordenado z0 Podemos usar o teorema de Gauss ou seja F ds divF dv F1x F2y F3z dv 1 1 1 dv 3 dv volume da semiesfera OBS volume da esfera 43 π a³ 3 43 π a³ 12 2 π a³ ou seja F ds 2 π a³ Agora vamos calcular a integral de superfície sobre a tampa circular da calota esférica no plano z 0 Parametrização da superfície Xuv uv0 com u² v² a² Xu 100 Xv 010 Xu x Xv i j k 1 0 0 0 1 0 1 k Logo F ds FXuv 001 du dv Tampa uv0 001 du dv 0 du dv 0 F ds 0 Tampa Logo como S F ds Tampa F ds calota F ds S F ds 2 π a³