Teorema de Stokes: Definição, Condições e Demonstração Parcial

1014 Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientável limitada pelos polos superfície C No capítulo 9 vimos que se C é uma curva orientada positivamente em torno de S então pode ser transformada em uma integral de linha ao longo de um campo vetor F Aqui esse conceito será formalizado em teorema conhecido como o Teorema de Stokes Antes de enunciar este teorema iremos definir algumas condições necessárias para que ele valha 10141 Teorema Seja S uma superfície suave por partes delimitada por uma curva fechada simples suave por partes C Suponha que S é orientada positivamente e que C é orientada pela regra da mão direita para a orientação de S como mostra a Figura 1058 então onde a integração ao longo de C é efetuada no sentido positivo determinado pela orientação de S como mostra a Figura 1058 Se o campo F tem componentes F1 8 F2 8 F3 8 1 pode ser reescrita como Prova parcial Vamos fazer a demonstração para uma superfície S parametrizeu por r r x y xu vi yu vj z u vk u v E R supondo que as derivadas parciais de r são contínuas e R uma região em que podemos aplicar o teorema de Green O vetor n considerado será o vetor