Teorema de Green: Prova e Aplicações

97 Teorema de Green 971 Teorema Seja C uma curva fechada simples suave por partes orientada no sentido antihorário E R a região fechada delimitada pela curva C Se as funções P e Q tiverem derivadas parciais contínuas em um domínio D que contém R então prova que R xy a x b c y d e Q y P x 0 y y 1 Figura 950 Para provar 1 basta mostrar que 2 3 y fx e y gx respectivamente que a curva C pode ser dividida em duas curvas C1 e C2 de equações P fx ydx fx gx dx fx fx dx f yx y dy f Cf x f gx dx dy Para a curva C2 não podemos repetir a mesma forma pois o sentido positivo determinado pelos valores crescentes de x em a b não é o mesmo que o sentido positivo do ligado Podemos porém parametrizar C2 usando propriedade da Subsecção 934 temos Cf 2 x 8 x E ab Cf 1 x gx E a b