Calculo Vetorial - Teorema da Divergencia e Integrais Multiplas

Cálculo 8 Funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfíce Substituindo esse valor em 6 obtemos c v d r Ar rot v P n A expressão 7 nos diz que a circulação em torno de Cr será maior quando o vetor n tiver a mesma direção do vetor rot v P Podemos então dizer que rot v P determina o eixo em torno do qual a circulação é máxima nas proximidades do ponto P Em Dinâmica do Fluidos o vetor rot v é chamado vórtice do escoamento Usando a equação 7 também podemos dar uma definição alternativa do rotacional de um campo vetorial f como segue rot f n lim r0 1Ar c f d r 8 A equação 8 define a componente de rot f na direção de um vetor n perpendicular ao disco Sr Se tomamos sucessivamente o disco Sr contido em cada um dos planos coordenados com uma orientação conveniente obtemos as componentes do rot f nas direções î ĵ e k isto é obtemos as componentes cartesianas de rot f Fisicamente essa definição nos diz que a componente de rot f em uma dada direção n é a densidade de circulação circulação por unidade de área de f em torno de n 1015 Teorema da Divergência O teorema da divergência expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido Esse teorema também é conhecido como teorema de Gauss e é de grande importância em aplicações físicas 10151 Teorema Seja T um sólido no espaço limitado por uma superfície orientável S Se n é a normal unitária exterior a S e se f x y z f1x y z î f2x y z ĵ f3x y z k é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em um domínio que contém T então S f n dS T div f dV 1 ou S f1 dy dz f2 dz dx f3 dx dy T f1x f2y f3z dx dy dz 2 Prova parcial Para mostrar 2 basta mostrar as três equações S f1 dy dz T f1x dx dy dz 3