Prova Sistemas Controlados por Computador - Projeto de Controladores PI e PID

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Disciplina Sistemas Controlados por Computador Série Especial Professor Alesi Augusto de Paula 12023 Valor 100 pontos Data Nome AVISO As perguntas a seguir devem ser respondidas em um editor de texto algumas contas podem ser feitas em folha de papel e depois digitalizadas se a qualidade for boa Ao final desta prova um arquivo PDF deve ser gerado para posterior envio devendo constar tanto a memória de cálculo quanto um Apêndice para o script de Matlab proposto em simulações Os resultados de simulação devem ser devidamente discutidos para corroborar as respostas Baixar e verificar se o upload foi feito com sucesso através do SIGAA Havendo erros a nota será zerada automaticamente e não aceitarei envio pelo email QUESTÕES Considere o circuito ilustrado na Figura 1 e responda as seguintes perguntas Figura 1 Planta de tempo contínuo também chamada de sistema original e malha aberta a Obtenha a função de transferência 𝐺𝑠 𝑉2𝑠𝑉𝑠𝑠 em termos de R1 R2 C1 e C2 Em seguida assuma que R1 4631 kΩ R2 4618 kΩ C1 970 nF e C2 962 nF e use estes valores daqui para frente b Proponha uma boa aproximação de 1ª ordem do tipo 𝐺𝑠 𝐾 𝜀𝜃𝑠 𝜏𝑠1 para o sistema anterior Comprove a qualidade da aproximação proposta através de simulação em Matlab c Projete um controlador PI por síntese direta 𝐷PI𝑠 de tal forma que o sistema de malha fechada ilustrado na Figura 2 I seja duas vezes mais rápido do que o sistema original malha aberta e II o seu erro em estado estacionário seja nulo para uma referência degrau unitário Em seguida projete um controlador PID por síntese direta 𝐷PID𝑠 Figura 2 As funções Ds e 𝐺𝑝𝑠 se referem a controlador e planta respectivamente enquanto 𝑐𝑡 𝑣2𝑡 d Faça uma simulação com ambos os sistemas de malha aberta original e de malha fechada controlado e mostre que o requerimento de projeto foi atendido com os controladores do item c esboçando em uma mesma figura a saída de cada sistema e Escolha um período de amostragem T adequado para discretização do sistema de malha aberta justifique a escolha Em seguida considerando o sistema de dados amostrados ilustrado na Figura 3 aproxime os controladores do item c para o caso discreto utilizando os métodos Mapeamento de polos e zeros Tustin Euler em retrocesso Euler em avanço ZOH e FOH Depois compare a resposta obtida com cada um dos controladores digitais sendo aplicado como 𝐷𝑧 Dica A função c2d pode ser usada com matched tustin zoh e foh para obter uma versão discreta do modelo a tempo contínuo Figura 3 A função Dz se refere ao controlador digital enquanto 𝑐𝑡 𝑣2𝑡 f Assuma que 𝐷𝑧 𝐾 na Figura 3 Então determine a faixa de valores do ganho proporcional 𝐾 que garante estabilidade para o sistema de malha fechada usando ambos os critérios de Jury e Routh Dica No caso de Routh verifique se a passagem de Gz para Gw foi feita com sucesso usando a função d2c com tustin g Obtenha um modelo em espaço de estados a tempo contínuo para representar o sistema original Figura 1 com estados sendo as tensões sobre cada capacitor ie 𝑣1𝑡 e 𝑣2𝑡 Deixe a saída do modelo ser 𝑣2𝑡 Em seguida obtenha a versão discreta na forma de espaço de estados da planta usando o mesmo período de amostragem T do item e h Se possível for projete um controlador do tipo 𝑢𝑘 𝑀𝑥𝑘 para que o sistema realimentado seja duas vezes mais rápido do que o de malha aberta Em seguida simule e mostre que o requisito de projeto foi atendido i Considerando o projeto do item h encontre o valor 𝑁 da lei de controle 𝑢𝑘 𝑁𝑟𝑘 𝑀𝑥𝑘 a fim de que a saída do sistema realimentado siga uma referência degrau unitário com erro nulo em estado estacionário Em seguida simule o sistema controlado j Se possível for projete um filtro do tipo 𝑒𝑘 1 𝐴 𝐺𝐶𝐴𝑒𝑘 para observar os estados do sistema de malha aberta k Simule a ação combinada do observador de estados do item j com a lei de controle do item i e mostre a convergência alcançada Dica O sistema original possui um estado inicial 𝑥0 enquanto o estimador de estados possui uma estimativa inicial 𝑥0 𝑥0 Inicialmente 𝑥0 deve gerar a medição 𝑦0 enquanto 𝑥0 deve gerar a lei de controle 𝑢0 𝑁𝑟0 𝑀𝑥0 Em um laço for que varia o instante de tempo discreto k use a estimativa 𝑥𝑘 para calcular a lei de controle 𝑢𝑘 𝑁𝑟𝑘 𝑀𝑥𝑘 depois use este valor como entrada da equação de espaço de estados do sistema original discretizado para obter o estado futuro 𝑥𝑘 1 Use o estado 𝑥𝑘 1 para encontrar a nova medição 𝑦𝑘 1 a qual será usada no estimador para computar 𝑥𝑘 1 com isso a nova entrada 𝑢𝑘 1 e assim por diante Note que a equação dinâmica 𝑥𝑘 1 do sistema original depende tanto do estado verdadeiro 𝑥𝑘 quanto da entrada 𝑢𝑘 e dentro de 𝑢𝑘 está embutido 𝑥𝑘 Portanto em uma mesma iteração rodamos ora a equação do estimador e ora a equação do modelo realimentado letra g bônus Escrevendo as equações dos capacitores temos C1 dvC1dt iC1 C2 dvC2dt iC2 Aplicando as Leis de Kirchhoff temos iR1 iC1 iR2 Vs vC1R1 iC1 vC1 vC2R2 iC2 iR2 vC1 vC2R2 Aplicando iC1 e iC2 da equação dos capacitores leva a C1 dvC1dt 1R1 Vs vC1 1R2 vC2 vC1 C2 dvC2dt 1R2 vC1 vC2 Simplificando temos dvC1dt 1C1 1R1 1R2 vC1 1C1 R2 vC2 1C1 R1 Vs dvC2dt 1C2 R2 vC1 vC2 A equação de estados considerando x1 vC1 x2 vC2 e u Vs é ẋ1 ẋ2 1C1 1R1 1R2 1C1 R2 1C2 R2 1C2 R2 x1 x2 1C1 R1 0 u y 0 1 x1 x2 Substituindo os valores A 4459 2232 2251 2251 B 2226 0 C 0 1 A discretização é feita usando o método ZOH e a função c2d do MATLAB ao qual obtemos Ad 06577 01613 01626 08172 Bd 01810 00202 Cd 0 1 letra i O sistema com sinal de controle uk Nrk Mxk tem a forma ẋ Ax BMx BNr A BMx BNr y Cx Admitindo que o sistema seja estável em regime permanente ẋ 0 e logo A BMxss BNr 0 xss A BM1 BNr então yss Cxss CA BM1 BNr Mas desejamos projetar N tal que yss r assim CA BM1 BN 1 N CA BM1 B1 Os ganhos obtidos na letra h são M 17532 02329 e note que N é um valor real então N 1 CA BM1 B 29861 letra j A matriz de observabilidade do sistema é O C CA 0 1 01626 08172 cujo posto é 2 isto é o sistema tem estados completamente observáveis O ganho G do observador é obtido considerando uma dinâmica 5 vezes mais rápida que a planta em malha aberta Assim desejamos polos do observador discreto alocados em po exp5Tp 00536 06518 sendo p os polos de malha aberta do sistema Projetando o ganho pela fórmula de Ackermann tomando G ackerACpo obtemos G 124762 74149 letra k Adicionando a realimentação dos estados e o observador o diagrama de blocos do sistema é mostrado a seguir diagrama de blocos da malha de controle com realimentação e observador Observe então que tomando u Nr Mx e que x A GCy ŷ A GCe como esperado Assim ẋ A BMx BMe BNr ė A GCe y Cx Então podemos obter o sistema composto dos estados x e fazendo ẋk ėk A BM BM 0 A GCxk ek BN 0 rk yk C 0xk ek Assim a simulação pode ser feita diretamente com o comando lsim do MATLAB sem a necessidade de um laço for Apenas devese observar que o sistema posto da forma acima retornará como estados xk e ek Mas desejamos x ao invés de ek para isso fazemos xk xk ek Outro detalhe importante é a escolha dos estados iniciais Podemos escolher x0 03 03T e nesta forma como x 0 0T definimos e0 x0 Os resultados são apresentados logo a seguir em que vemos que a malha fechada teve o desempenho de ts 24 s malha aberta ts 48 s com a metade do tempo de malha aberta seguiu a referência com ganho unitário e que os estados observados convergem rapidamente para os estados reais da planta Portanto o projeto está validado pela simulação a Saída do sistema b Estados do sistema