Cálculo de Integrais em Diversas Regiões e Aplicações de Teoremas

Questão 1 03 ponto Calcule R fx y dA em cada um dos seguintes casos a fx y x² y² R é o triângulo de vértices 0 0 0 2 e 2 0 b fx y xy R é o quadrilátero delimitado pelas retas y x y 2x x 1 e x 2 c fx y 1x5y R é o triângulo de vértices 1 3 3 3 e 3 1 d fx y xy y² R é o triângulo de vértices 0 0 0 1 e 1 1 Questão 2 03 ponto Fazendo uma mudança para coordenadas polares calcule as integrais a ₀² ₀4y² x² y² dx dy b ₀ ln2 ₀ ln2² y² exy dx dy c ₀¹ 4x² y²1 x² y² dy dx d ¹¹ ₀1x² x² y² dy dx e ¹¹ lnx² y² 1 dx dy f ¹¹ ₀1x² 21 x² y²² dy dx Questão 3 03 ponto Calcule a O volume do sólido limitado pelas esferas x² y² z² 16 b ₕ x²y²z²32 dx dy dz onde V é a região delimitada pelas esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 9 Questão 4 03 ponto Calcule ₕ 1x² y² z²32 dx dy dz onde V é a região delimitada pelos planos z 0 e z 5 e pelos cilindros x² y² 4 e x² y² 9 Questão 5 03 ponto Calcule a integral de linha ₗ F dr onde C é dada pela função vetorial rt a Fxy xy² 3y j rt 11t i t³ j 0 t 1 b Fxyz x yi y z j z²k rt t² i t³ j t² k 0 t 1 Questão 6 03 ponto Determine uma função f tal que F f a Fxy xy² i xy² j b Fxyz x² i y² j Questão 7 03 ponto Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva a ₗ xy² dx 2x² dy C é o triângulo com vértices 0022 e 24 b ₗ cos y dx x² sin y dy C é o retângulo com vértices 0 0 5 0 5 2 e 0 2 Questão 8 03 ponto Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial a Fxyz xyz i x² y² k b Fxyz x² y² i xy² z j xyz² k Questão 9 03 ponto Use o Teorema de Stokes para calcular ₗ F dr Em cada caso C é orientado no sentido antihorário quando visto de cima a Fxyz xy²i yz²j zx²k C é o triângulo com vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 b Fxyz yzi 2xzj exy k C é o círculo x² y² 16 z 5 Questão 10 03 ponto Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície S F dS ou seja calcule o fluxo de F através de S a Fxyz xy e² i xy² z³ j ye z k S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x3 y2 z1 b Fxyz x³ y³i y³ z³j z³ x³k S é a esfera com origem no centro e raio 2