Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial e Integral Dupla

Questão 5 05 ponto Calcule C x4 dx xy dy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 0 0 a 1 0 de 1 0 a 0 1 e de 0 1 a 0 0 a 16 b 13 c 0 d 15 e Nenhuma das Alternativas Questão 6 05 ponto Calcule o rotacional de Fx y z y2z3 i 2xyz3 j 3xy2z2 k a Rot F 0 b Rot F 2x2 y2 2xz3 6xy2 z c Rot F 0 2xz3 6xy2 z d Rot F 3xy 3xz3 3xy2 z e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 7 05 ponto Marque V verdadeiro ou F falso F Se F é contínuo e c1 e c2 são caminhos que tenham os mesmos pontos iniciais e finais então a c1 F dr c2 F dr pela definição de dependência de caminho F Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o seu ponto final F O campo é dito conservativo quando F f V Se F é um campo conservativo em D então C F dr 0 para toda curva fechada C em D a F F F V b F V F V c V V V V d F V F F e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 8 05 ponto Calcule C F dr onde Fx y z xy i yz j zx k e C é a cúbica retorcida dada pela função vetorial rt t i t2 j t3 k onde 0 t 1 a 1427 b 2827 c 2728 d 2628 e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 1 05 ponto Calcule a integral dada em coordenadas polares por 0π4 02 cos θ r dr dθ a π 24 b π 24 c π4 d π2 e Nenhuma das Alternativas Questão 2 05 ponto Calcule a integral dupla da função fx y xy2 sobre o retângulo D x y R2 0 x 1 e 0 y 1 a 13 b 14 c 16 d 23 e Nenhuma das alternativas anteriores Questão 3 05 ponto Determine o campo vetorial gradiente f de fx y x2 y f f 2x 1 g f x33 y22 h f 2x x2 y 1 i f x2 y j Nenhuma das Alternativas Questão 4 05 ponto Calcule a integral D x3 3ydA onde D é a região delimitada pelas curvas y x2 e y 2x a 1215 b 12715 c 115 d 1415 e Nenhuma das Alternativas Questão 1 05 ponto Calcule a integral dada em coordenadas polares por 0π4 02 cos θ r dr dθ Vejamos 0π4 02 cos θ r dr dθ 0π4 r2202 cos θ dθ 12 0π4 2 cos θ2 dθ 12 0π4 4 cos2 θ dθ 2 0π4 cos2 θ dθ 2 sen 2θ4 θ2 0π4 0π4 02 cos θ r dr dθ sen 2θ2 θ 0π4 12 sen2 π4 π4 0 0π4 02 cos θ r dr dθ 12 1 π4 12 π4 π 24 ITEM A Questão 2 05 ponto Calcule a integral dupla da função fx y xy2 sobre o retângulo D x y R2 0 x 1 e 0 y 1 Região de Integração logo a integral será y 0 y 1 D fx y dx dy 01 01 xy2 dy dx 1 0 x 1 x 01 y2 dy dx 01 x dx 01 y2 dy x2 2 01 y3 3 01 12 13 16 Portanto D fx y dx dy 16 ITEM C Questão 4 05 ponto Calcule a integral D x3 3ydA onde D é a região delimitada pelas curvas y x2 e y 2x Região de Integração Interseções x2 2x x2 2x 0 xx2 0 x0 ou x2 Portanto teremos D x3 3ydA 02 x22x x3 3y dy dx 02 x3 y 3y22 x22x dx 02 x32x 32x22 x3x2 3x222 dx 02 2x4 6x2 x5 3x42 dx 2x55 6x33 x66 3x525 02 x66 x510 2x302 266 2510 223 323 165 16 D x3 3y dA 12815 ITEM E Questão 5 05 ponto Calcule C x4 dx xy dy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 00 a 10 de 10 a 01 e de 01 a 00 Região de Integração Agora parametrizemos os caminhos que formam C 00 a 01 γ1t 0t 0 t 1 01 a 10 γ2t t 1 t 0 t 1 10 a 00 γ3t 1 t 0 0 t 1 Dessa forma sendo Fxy x4 î xy ĵ e C1 trγ1 C2 trγ2 C3 trγ3 temos C Fds C1 C2 C3 Fds C1 Fds C2 Fds C3 Fds Agora fazemos Fγ1t 04 î 0t ĵ 0 γ1t 01 C1 Fds 01 Fγ1t γ1t dt 0 Fγ2t t4 î t1 t ĵ γ2t 1 1 Fγ2t γ2t t4 î t t2 ĵ 1 î 1 ĵ Fγ2t γ2t t4 t2 t Logo C2 Fds 01 Fγ2t γ2t dt 01 t4 t2 t dt t55 t33 t2201 C2 Fds 15 13 12 130 Fγ3t 1 t4 î 1 t0 ĵ 1 t4 î γ3t 1 0 Portanto teremos C3 Fds 01 Fγ3t γ3t dt 01 1 t4 î 1 î dt 01 1 t4 dt C3 Fds 01 t 14 dt z 15 501 0 15 15 Por fim temos que C Fds C1 Fds C2 Fds C3 Fds 0 130 15 16 C Fds 16 Mudando a orientação C Fds 16 ITEM A Questão 3 05 ponto Determine o campo vetorial gradiente f de fxy x2 y Sabemos o vetor gradiente é o vetor dado pelas seguintes funções coordenadas fxy f x f y Logo sendo fxy x2 y temos f x x x2 y 2x f x 2x f y y x2 y 1 f y 1 Portanto fxy 2x 1 ITEM A Questão 4 05 ponto Calcule a integral D x3 3y dA onde D é a região delimitada pelas curvas y x2 e y 2x Região de Integração Interseções x2 2x x2 2x 0 xx 2 0 x 0 ou x 2 Portanto teremos D x3 3y dA 02 x22x x3 3y dy dx 02 x3 y 3y22x22x dx 02 x3 2x 32x2 2 x3 x2 3 x22 2 dx 02 2x4 6x2 x5 3x42 dx 2x55 6x33 x66 3x52502 x66 x510 2x302 266 2510 223 323 165 16 D x3 3y dA 12815 ITEM E Questão 6 05 ponto Calcule o rotacional de Fxyzy2 z3 i 2xyz3 j 3xy2 z2 k Seja F P i Q j R k onde PQR ΩR³ R diferenciáveis em Ω temos rotF x F i j k x y z P Q R rotF Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k Para o nosso campo F temos Pxyzy² z³ P0 2y z³ 3y² z² Qxyz 2xyz³ Q2yz³ 2x z³ 6xyz² Rxyz 3xy² z² R3y² z² 6xyz² 6xy² z Portanto rotF será rotF 6xyz² 6xyz² i 3y² z² 3y² z² j 2yz³ 2yz³ k Ou seja rotF 0 ITEM A Questão 7 05 ponto Marque V verdadeiro ou F falso F Se F é contínuo e C₁ e C₂ são caminhos que tenham os mesmos pontos iniciais e finais então a c₁ Fdr c₂ Fdr pela definição de dependência de caminho FALSO F de fato precisa ser contínuo mas também precisa ser campo conservativo Ou seja F precisa ser o gradiente de alguma função potencial F Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o seu ponto final VERDADEIRO γ ab R² é dita fechada se γa γb Ou seja se seu ponto final coincide com o ponto inicial F O campo é dito conservativo quando F f FALSO Exatamente o contrário Um campo é dito conservativo quando é o gradiente de alguma função potencial Ou seja F f V Se F é um campo conservativo em D então C Fdr0 para toda curva fechada C em D VERDADEIRO Este é o chamado teorema da independência de caminho Portanto a sequência é F V F V ITEM B Questão 8 05 ponto Calcule C Fdr onde Fxyz xy i yz j zx k e C é a cúbica retorcida dada pela função vetorial rt t i t² j t³ k onde 0 t 1 Do enunciado temos Fxyz xy i yz j zx k e C é o traço da curva rt t i t² j t³ k 0 t 1 Perceba que rt 1 i 2t j 3t² k Além disso Frt é dada por Frt z x² i t² z³ j t² t k Frt t³ i t⁵ j t⁴ k Assim temos Frt rt t³ i t⁵ j t⁴ k1 i 2t j 3t² k Frt rt t³ 1 t⁵ 2t t⁴ 3t² Frt rt 5t⁶ t³ Por fim sabemos que C Fdr ₀¹ Frt rt dt ₀¹ 5t⁶ t³ dt C Fdr 5t⁷7 t⁴4 ₀¹ C Fdr 57 14 C Fdr 2728 ITEM C